11.2: Просторово-часові функції Гріна

Метод функції Гріна також може бути використаний для вивчення хвиль. Для простоти ми обмежимося наступним обговоренням хвилями, що поширюються через рівномірне середовище. Крім того, ми просто розглянемо 1D простір; узагальнення до більш високих просторових розмірів є простим.

Як обговорювалося в розділі 6, поширення хвиль можна моделювати хвильовим рівнянням,\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \left(\frac{1}{c}\right)^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \psi(x,t) = 0,\] де\(\psi(x,t)\) є складною хвильовою функцією і\(c\) є швидкість хвилі. Відтепер для спрощення рівнянь поставимо\(c = 1\). (Ви можете змінити це спрощення, замінивши всі екземпляри\(t\) з\(c t\), і\(\omega\) з\(\omega/c\), в наступних формулах.)

Хвильове рівняння описує, як хвилі поширюються після того, як вони вже створені. Щоб описати, як хвилі генеруються в першу чергу, ми повинні змінити хвильове рівняння, ввівши член з правого боку, який називається джерелом:\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \psi(x,t)\, = f(x,t).\] Вихідний термін перетворює хвильове рівняння в неоднорідне рівняння з частинними похідними, подібне до рушійної сили для керований гармонічний генератор.

Функція Гріна в часовій області

Функція Гріна у часовій області хвильового рівняння визначається шляхом встановлення вихідного терміна на дельта-функції як у просторі, так і в часі:\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] G(x,x';t-t') = \delta(x-x')\, \delta(t-t').\] Як видно,\(G\) є функцією двох просторових змінних\(x'\),\(x\) а також двох тимчасових змінні\(t\) і\(t'\). Це відповідає хвилі, що генерується імпульсом\[f(x,t) = \delta(x-x')\,\delta(t-t').\] Диференціальний оператор у рівнянні функції Гріна включає лише\(x\) і\(t\), тому ми можемо розглядати\(x'\) і\(t'\) як параметри, що визначають, де знаходиться імпульс. локалізується в просторі і часі. Ця функція Гріна повинна залежати від змінних часу тільки в комбінації\(t-t'\), як ми бачили в нашому попередньому обговоренні функції гармонічного осцилятора Гріна (див. Розділ 11.1). Щоб підкреслити це, ми написали це як\(G(x,x';t-t')\).

Функція Гріна описує, як джерело, локалізоване в просторово-часовій точці, впливає на хвильову функцію в інших позиціях і часі. Після того, як ми знайшли функцію Гріна, її можна використовувати для побудови розв'язків довільних джерел:\[\psi(x,t) = \int dx' \,\int_{-\infty}^\infty dt'\; G(x,x';t-t') \, f(x', t').\]

Функція Гріна частотної області

Функція Гріна частотної області отримується шляхом перетворення Фур'є функції Гріна в часовій області в\(t-t'\) координату:\[G(x,x';\omega) = \int_{-\infty}^\infty d\tau\; e^{i\omega \tau}\, G(x,x'; \tau).\] Вона підпорядковується диференціальному рівнянню\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \omega^2 \right] G(x,x';\omega) = \delta(x-x').\] Так само, як ми можемо записати розв'язку часової області до хвильового рівняння через час- green, ми можемо зробити те ж саме для частотно-доменного рішення:\[\Psi(x,\omega) = \int dx' \; G(x,x';\omega) \, F(x', \omega),\] де\[\Psi(x,\omega) = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega t} \, \psi(x,t), \quad F(x,\omega) = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega t} \, f(x,t).\]

Вихідні граничні умови

Поки що ми не вказували граничні умови уздовж\(x\). Існує кілька можливих варіантів граничних умов, що відповідають різним фізичним сценаріям. Наприклад, якщо хвилі захоплені в кінцевій області\(x \in (x_a,x_b)\), з відбиваючими стінами, ми б наклали граничні умови Діріхле:\(G(x,x';\omega) = 0\) for\(x,x' = (x_a~\mathrm{or}~x_b)\).

Ми зупинимося на цікавому випадку необмеженого просторового домену:\(x \in (-\infty, \infty)\). Це описує, наприклад, гучномовець, що випромінює звукові хвилі в нескінченний порожній простір. Відповідні граничні умови для цього випадку називаються вихідними граничними умовами. Функція Гріна повинна відповідати хвилі, що рухається ліворуч від джерела, а правій хвилі - праворуч від джерела.\(x\)\(x\)

Ми можемо вгадати форму функції Гріна, яка підпорядковується цим граничним умовам:\[G(x,x';\omega) = \left\{\begin{array}{ll}A \, e^{-i\omega (x-x')}, & x \le x', \\ B \, e^{i\omega (x-x')}, & x \ge x'\end{array}\right. \quad \mathrm{for}\;\mathrm{some}\;\; A, B \in \mathbb{C}.\] Неважко переконатися, що ця формула для\(G(x,x',\omega)\) задовольняє хвильовому рівнянню обох областей\(x < x'\) і\(x > x'\), а також задовольняє вихідну межу умови. Щоб визначити\(B\) коефіцієнти\(A\) і, зверніть увагу, що\(G(x,x')\) повинні бути безперервними при\(x = x'\), так\(A = B\). Потім інтеграція рівняння функції Гріна\(x'\) дає\[\begin{align} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{x'-\epsilon}^{x'+\epsilon} \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \omega^2\right]G(x-x') &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{x'-\epsilon}^{x'+\epsilon} \delta(x-x') \\ = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{ \left.\frac{\partial G}{dx} (x,x') \right|_{x = x'+\epsilon} - \left.\frac{\partial G}{\partial x} (x,x') \right|_{x = x'-\epsilon}\right\} &= i\omega (B + A) = 1.\end{align}\] Поєднання цих двох рівнянь дає\(A = B = 1/2i\omega\). Отже,\[G(x,x';\omega) = \frac{e^{i\omega |x-x'|}}{2i\omega}. \label{outgoing-green-1d}\]