11.1: Керований гармонічний осцилятор

Як введення в техніку функції Гріна, ми вивчимо керований гармонічний осцилятор, який є затухаючим гармонічним осцилятором, що піддається довільної рушійній силі. Рівняння руху\[\left[\frac{d^2}{dt^2} + 2 \gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2\right] x(t) = \frac{f(t)}{m}.\] тут,\(m\) це маса частинки,\(\gamma\) це коефіцієнт загасання, і\(\omega_0\) є власною частотою генератора. Ліва частина рівняння така ж, як і в затухаючому гармонічному рівнянні осцилятора (див. Розділ 5). З правого боку ми вводимо залежну від часу рушійну силу\(f(t)\), яка діє поряд з існуючими пружинами та демпфуючими силами. З огляду на довільно складне\(f(t)\), наша мета - визначити\(x(t)\).

Функція Гріна для керованого гармонічного осцилятора

Перш ніж розв'язати задачу веденого гармонічного осцилятора для загальної рушійної сили\(f(t)\), розглянемо спочатку наступне рівняння:\[\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2} + 2 \gamma \frac{\partial}{\partial t} + \omega_0^2\right] G(t, t') = \delta(t-t'). \label{greenfuneq}\] Функція\(G(t,t')\), яка залежить від двох змінних\(t\) і\(t'\), називається Функція Гріна. Зверніть увагу, що диференціальний оператор з лівого боку включає лише похідні в\(t\).

Функція Гріна описує рух затухаючого гармонічного осцилятора, що піддається певній рушійній силі, яка є дельта-функцією, описуючи нескінченно гострий імпульс з центром\(t = t'\):\[\frac{f(t)}{m} = \delta(t-t').\] Ось акуратна річ про\(G(t,t')\): як тільки ми це знаємо, ми можемо знайти конкретне рішення керованого рівняння гармонічного осцилятора для будь-якого\(f(t)\). Рішення має форму\[x(t) = \int^\infty_{-\infty} dt' \; G(t,t') \; \frac{f(t')}{m}.\] Щоб показати, що це дійсно рішення, підключіть його до рівняння руху:\[\begin{align} \left[\frac{d^2}{dt^2} + 2 \gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2\right]\, x(t) &= \int^\infty_{-\infty} dt' \; \left[\frac{\partial^2}{\partial t^2} + 2 \gamma \frac{\partial}{\partial t} + \omega_0^2\right] G(t,t') \frac{f(t')}{m} \\ &= \int^\infty_{-\infty} dt' \; \delta(t-t')\, \frac{f(t')}{m} \\ &= \frac{f(t)}{m}.\end{align}\] Зверніть увагу, що ми можемо переміщати диференціальний оператор всередині інтеграла, оскільки\(t\) і\(t'\) є незалежними змінними.

Концепція функції Гріна заснована на принципі суперпозиції. Рух осцилятора індукується рушійною силою, але значення\(x(t)\) часу\(t\) не залежить тільки від миттєвого\(f(t)\) значення часу\(t\); замість цього, це залежить від значень\(f(t')\) над усім минулі часи\(t' < t\). Таким чином, ми можемо\(f\) розкласти на суперпозицію імпульсів, описаних дельта-функціями в різний час. Потім\(x(t)\) відбувається суперпозиція коливань, що виробляються окремими імпульсами.

Пошук функції Гріна

Щоб знайти функцію Гріна, ми можемо скористатися перетворенням Фур'є. Припустимо, що перетворення Фур'є по відношенню до\(t\) є\(G(t,t')\) збіжним, і що осцилятор не критично затухає (тобто\(\omega_0 \ne \gamma\); див. Розділ 5.3). Перетворення Фур'є функції Гріна (також звана функцією Гріна в частотній області)\[G(\omega, t') = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega t}\, G(t,t').\] тут, ми використовували конвенцію знаків для перетворення Фур'є в часовій області (див. Розділ 10.3). Застосування перетворення Фур'є до обох сторін рівняння функції Гріна та використання похідних поводяться при перетворенні Фур'є (див. Розділ 10.4), дає\[\left[- \omega^2 - 2i \gamma\omega + \omega_0^2\right] G(\omega,t') = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega t}\, \delta(t-t') = e^{i\omega t'}. \label{green-omega}\] Диференціальне рівняння для\(G(t,t')\), таким чином, було перетворено в алгебраїчне рівняння для \(G(\omega,t')\), чиє рішення\[G(\omega, t') = - \frac{e^{i\omega t'}}{\omega^2 + 2i\gamma\omega - \omega_0^2}.\] Нарешті, ми отримуємо рішення часової області за допомогою зворотного перетворення Фур'є:\[\begin{align} G(t,t') &= \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, e^{-i\omega t} G(\omega, t') \\ &= - \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, \frac{e^{-i\omega (t-t')}}{\omega^2 + 2i\gamma\omega - \omega_0^2}.\end{align}\] Знаменник інтеграла є квадратичним виразом, тому це може бути перезаписано як:\[G(t,t') = - \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, \frac{e^{-i\omega (t-t')}}{(\omega - \omega_+)(\omega - \omega_-)} \quad\mathrm{where}\;\; \omega_{\pm} = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.\] Це може бути оцінено шляхом інтеграції контуру. Integrand має два полюси, які є саме складними частотами затухаючого гармонічного осцилятора; обидва лежать у негативній комплексній площині. Бо лема Джордана вимагає\(t < t'\), щоб ми закрили контур у верхній півплощині, не охоплюючи жоден полюс, тому інтеграл дорівнює нулю. Для\(t > t'\), ми повинні закрити контур в нижній півплощині, охоплюючи обидва полюси, тому результат\[\begin{align} G(t,t') &= i \Theta(t-t') \, \left[ \frac{e^{-i\omega_+ (t-t')}}{\omega_+ - \omega_- } + \frac{e^{-i\omega_- (t-t')}}{\omega_- - \omega_+}\right] \\ &= \Theta(t-t') \;e^{-\gamma(t-t')} \; \times \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\, \sin\left[\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} (t-t')\right], & \gamma < \omega_0, \\ \frac{1}{\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}\, \sinh\left[\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} (t-t')\right], & \gamma > \omega_0. \end{array}\right. \label{greensol}\end{align}\] тут,\(\Theta(t-t')\) відноситься до функції\[\Theta(\tau) = \left\{\begin{array}{ll} 1, &\;\;\;\textrm{for} \; \tau \ge 0\\ 0,&\;\;\; \textrm{otherwise.}\end{array}\right.\] кроку Результат нанесений на малюнку нижче для двох різних варіантів\(\gamma\) і \(\omega_0\). Рішення для критично затухаючого випадку\(\gamma = \omega_0\), залишається як вправа.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Особливості функції Гріна

Як зазначалося раніше, функція Гріна в часовій області має фізичний сенс: вона являє собою рух осцилятора у відповідь на імпульс сили,\(f(t) = m\, \delta(t-t')\). Розглянемо результат, отриманий у попередньому розділі, більш детально, щоб побачити, чи відповідає він нашій фізичній інтуїції.

Перше, на що слід звернути увагу, це те, що функція Гріна залежить від\(t\) і\(t'\) тільки в комбінації\(t-t'\). Це має сенс: реакція генератора на імпульс сили повинна залежати тільки від часу, що минув з моменту появи імпульсу. Ми можемо скористатися цією властивістю, перевизначаючи функцію Грін частотної області, як\[G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega (t-t')}\, G(t-t'),\] яка потім підкоряється\[\left[- \omega^2 - 2i \gamma\omega + \omega_0^2\right] G(\omega) = 1.\] Це приємніше працювати, ніж Eq. \(\eqref{green-omega}\)так як немає сторонньої\(t'\) змінної присутній.

Далі зверніть увагу на те, як поводиться функція Гріна безпосередньо до і після пульсу. Його значення дорівнює нулю для всіх\(t - t' < 0\) (тобто до пульсу). Про цю особливість і піде більш докладно мова в наступному розділі. Більше того, немає розриву в\(x(t)\) ат\(t - t' = 0\); імпульс сили не змушує генератор миттєво «телепортуватися» в інше положення. Замість цього він створює розрив швидкості осцилятора.

Ми можемо обчислити розрив швидкості, інтегруючи рівняння функції Гріна на нескінченно малий проміжок часу навколо\(t'\):\[\begin{align} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{t'-\epsilon}^{t'+\epsilon} dt \left[\frac{\partial^2}{\partial t^2} + 2\gamma\frac{\partial}{\partial t} + \omega_0^2\right] G(t,t') &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{t'-\epsilon}^{t'+\epsilon} dt \; \delta(t-t') \\ = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{ \left.\frac{\partial G(t,t')}{\partial t}\right|_{t = t' +\epsilon} - \left.\frac{\partial G(t,t')}{\partial t}\right|_{t = t' - \epsilon}\right\} &= 1.\end{align}\] На останньому рядку вираз ліворуч представляє різницю між швидкостями безпосередньо після і перед імпульсом. Очевидно, що імпульс надає одну одиницю швидкості при\(t=t'\). Дивлячись на рішення, отримані в розділі 11.1, ми можемо переконатися, що\(\partial G/\partial t = 0\) прямо перед пульсом, і\(\partial G/\partial t = 1\) відразу після нього.

Бо\(t - t' > 0\), прикладена сила повертається до нуля, і система поводиться як некерований гармонічний генератор. Якщо осцилятор недостатньо затухає (\(\gamma < \omega_0\)), він зазнає загасаючого коливання навколо походження. Якщо генератор надмірно затухає (\(\gamma > \omega_0\)), він рухається вперед на відстань, а потім осідає експоненціально назад до початку.

причинно-наслідковий зв'язок

Ми бачили, що рух\(x(t)\) повинен залежати від рушійної сили\(f(t')\) в усі минулі часи\(t' < t\), але не повинен залежати від сили в майбутньому. Через зв'язок\[x(t) = \int_{-\infty}^\infty dt'\; G(t,t')\, \frac{f(t')}{m},\] це означає, що функція Гріна повинна задовольняти\[G(t,t') = 0 \;\; \mathrm{for}\;\; t -t' < 0.\] Ця умова називається причинно-наслідковою причиною, оскільки вона еквівалентна тому, що причина повинна передувати ефекту. Функція Гріна з цією функцією називається причинно-наслідковою функцією Гріна.

Для керованого гармонічного осцилятора функція Гріна в часовій області задовольняє диференціальному рівнянню другого порядку, тому її загальний розв'язок повинен містити два вільних параметра. Конкретне рішення, яке ми вивели вище, Eq. \(\eqref{greensol}\), Виявляється єдиним причинним рішенням. Є кілька способів зрозуміти, чому.

Перший спосіб полягає в тому, щоб спостерігати\(t > t'\), що функція Гріна задовольняє диференціальне рівняння для некерованого гармонічного осцилятора. Але виходячи з обговорення в Розділі 11.1, причинно-наслідкова функція Гріна повинна підкорятися двом умовам\(t = t' + 0^+\): (i)\(G = 0\) та (ii)\(\partial G / \partial t = 1\). Вони діють як дві граничні умови для некерованого гармонічного рівняння осцилятора, що породжує конкретне рішення, яке ми знайшли.

Інший спосіб побачити, що причинно-наслідкова функція Гріна унікальна - це уявити додавання до нашого конкретного рішення будь-якого рішення\(x_1(t)\) для некерованого гармонічного осцилятора. Легко перевірити, що\(G(t,t')\) отриманий результат також є рішенням Eq. \(\eqref{greenfuneq}\). Оскільки загальне рішення для\(x_1(t)\) містить два вільних параметра, ми, таким чином, знайшли загальне рішення для\(G(t,t')\). Але рішення для все\(x_1(t)\) нескінченно в\(t \rightarrow -\infty\) межі, крім тривіального рішення\(x_1(t) = 0\). Цей вибір відповідає причинно-наслідковій функції Гріна\(\eqref{greensol}\).