10.9: Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть залежність між коефіцієнтами\(\{\alpha_n, \beta_m\}\) в синусоїдах/косинусних рядах Фур'є і коефіцієнтами\(f_n\) в комплексному експоненціальному ряді Фур'є:\[\begin{align} f(x) &= \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{a}\right) + \sum_{m=0}^\infty \beta_m \cos\left(\frac{2 \pi m x}{a}\right) \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty f_n \exp\left(\frac{2\pi i n x}{a}\right). \end{align}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо трикутну хвилю\[f(x) = \left\{\begin{array}{rr}- x, &-a/2 \le x < 0, \\ x, & 0 \le x < a/2\end{array}\right.\]

1. Вивести розширення рядів Фур'є.

2. Побудуйте ряд Фур'є чисельно і покажіть, що він сходиться до трикутної хвилі, коли кількість членів збільшується.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Періодична функція\(f(x)\) (з періодом\(a\)) записується у вигляді комплексного ряду Фур'є з коефіцієнтами\(\{f_0, f_{\pm1}, f_{\pm2}, \dots\}\). Визначте залежність (и) між коефіцієнтами Фур'є за кожним із наступних сценаріїв:

1. \(f(x)\)реальний для всіх\(x\).

2. \(f(x) = f(-x)\)для всіх\(x\)

3. \(f(x) = f(-x)^*\)для всіх\(x\).

Відповідь

Коефіцієнти Фур'є задаються\[f_n = \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; e^{-i k_n x}\, f(x), \quad \mathrm{where}\;\, k_n = \frac{2\pi n}{a}.\] First, розглянемо випадок, коли\(f(x)\) є дійсним. Візьмемо комплексний сполучений обох сторін:\[\begin{align} f_n^* &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; \left(e^{-i k_n x}\, f(x)\right)^* \\ &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; e^{i k_n x}\, f(x)^* \\ &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; e^{i k_n x}\, f(x) \\ &= f_{-n}.\end{align}\] Отже,\[f_{n} = f_{-n}^*.\] для другого випадку\(f(x) = f(-x),\) виконайте зміну змінних\(x = -u\) в інтегралі Фур'є:\[\begin{align} f_n &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} du\; e^{i k_n u}\, f(u) \\ &= f_{-n}.\end{align}\] Для\(f(x) = f(-x)^*\), однакова зміна змінних дає\[f_n = f_n^*.\]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Доведіть властивості перетворення Фур'є, переліченого в розділі 10.4.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайти перетворення Фур'є\(f(x) = \sin(\kappa x)/x.\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Доведіть, що якщо\(f(x)\) є реальною функцією, то його перетворення Фур'є задовольняє\(F(k) = F(-k)^*\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Доведіть,\(a\) що\[\delta(ax) = \frac{1}{a}\,\delta(x),\] де будь-який ненульовий дійсне число.

Відповідь

З визначення дельта-функції як вузькопікової межі гаусового хвильового пакета:\[\delta(ax) = \lim_{\gamma \rightarrow 0} \, \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ikax} \, e^{-\gamma k^2}.\] Виконати зміну змінних\(k = q/a\) і\(\gamma = \gamma' \, a^2\):\[\begin{align} \delta(ax) &= \lim_{\gamma' \rightarrow 0} \, \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\frac{dq}{2\pi} \, e^{iqx} \, e^{-\gamma' q^2} \\ &= \frac{1}{a} \delta(x).\end{align}\]

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Обчисліть\(a\),\[\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \; x^2\, \delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-a\right),\] де знаходиться дійсне число.

Відповідь

Виконайте зміну змінних з декартових координат\((x,y)\) на полярні координати\((r,\phi)\):\[\begin{align} \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \; x^2\, \delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-a\right) &= \int_0^{\infty} dr \int_{0}^{2\pi} rd\phi\, \cdot\, r^2\cos^2\phi\; \delta(r-a) \\ &= \left(\int_0^{\infty} dr \, r^3\, \delta(r-a)\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\!d\phi \, \cos^2\phi\right) \\ &= \begin{cases}\pi a^3, & a \ge 0 \\ 0, & a < 0.\end{cases} \end{align}\]