7.1: Завдання 1—7

Це домашні завдання з весняної версії 1977 курсу фізики 8.352. У оригінальних примітках завдання нумерувалися послідовно, але дані в окремих завданнях.

1. (а) Встановити всі абстрактні групи, що мають порядок\(2 \leq N \leq 6\). Обчислити типові продукти. Які групи є Абелеви? Вкажіть принаймні дві ізоморфні реалізації для кожної групи.

(b) Визначте підгрупи. Які є інваріантними?

2. Запишіть перестановки n = 3 і n = 4 об'єктів. Оформіть результат компактно. Розглянемо спочатку підгрупу парних перестановок (чергуються групи). Скористайтеся циклами.

3. Знайдіть спільний ефект двох дзеркальних площин (див. Рис. Розглянемо також паралельні дзеркала.

Малюнок B.1: Дзеркальні площини.

4. Сферичний хвильовий імпульс розходиться від просторово-часової точки\((0,0,0,0)\) в інерційній рамці\(\Sigma\). Розглянемо кадр, що\(\Sigma^{\prime}\) рухається вздовж напрямку z зі швидкістю\(\beta=\tanh \mu\). Спостерігач в\(\Sigma^{\prime}\) бачить також сферичні хвильові фронти. Однак просторово-часові точки, що складають поверхню,\(r^{\prime}=c t^{\prime}=\text { const }\) не виглядають синхронно, отже, сферичні\(\Sigma\). Показати, що поверхні є еліпсоїдами обертання з одним загальним фокусом. Знайти великі і другорядні осі a, b, і ексцентриситет з точки зору\(r^{\prime} \text { and } \beta\). Знайдіть також довжини перигелія і афелія. Використовуйте полярні координати.

5. Розглянемо склад ротацій в\(\mathcal{S U}(2)\) формалізмі:

\(U^{\prime \prime}=U^{\prime} U\)

де\(U=l_{0}=-i \vec{l} \cdot \vec{\sigma}\), з

\(l_{0}=\cos \frac{\phi}{2}, \quad \vec{l}=\sin \frac{\phi}{2} \hat{u}\)

(а) Експрес\(\left\{l_{0}^{\prime \prime}, \vec{l}^{\prime \prime}\right\} \text { in terms of }\left\{l_{0}^{\prime}, \vec{l}^{\prime}\right\} \text { and }\left\{l_{0}, \vec{l}\right\} .\)

(б) Зверніться до теореми Родрієса-Гамільтона (рис. 2.1) і отримайте косинусний закон сферичної тригонометрії.

(c) Отримати закон синуса.

6. Перевірте свої загальні вирази, застосувавши особливі випадки:

(а)\(U^{\prime \prime}=U U=U^{2}\)

(b)\ (\ begin {масив} {l}
\ hat {u} =\ frac {1} {\ sqrt {3}} (1,11),\ phi =\ frac {2\ pi} {3}\
\ hat {u} ^ {\ прайм} =\ frac {1} {\ sqrt {3}} (1,0,0),\ phi=\ frac {пі\} {2}
\ end {масив}\)

Зауважте, що\(U \text { and } U^{\prime}\) генерувати операції симетрії на кубі.

7. Розглянемо одновимірний рух частинки спокою масою m, під впливом сили\(e E_{z} . \text { At } t=0\) частинка знаходиться в стані спокою. Покажіть, що траєкторія представлена в\(z, ct\) площині у вигляді гіперболи і знайдіть напівдіаметр. Розробіть аналогію з проблемою циклотрона, наскільки зможете. Обговоріть значення наближення

\(\gamma^{-1}=\sqrt{1-\beta^{2}} \simeq 1\)

8. Розглянемо електромагнітне поле

\(\vec{f}=\vec{E}+i \vec{B}\)

в невеликому просторово-часовому регіоні. Інваріант Лоренца поля:

\(f^{2}=E^{2}-B^{2}+2 i E \cdot B=I_{1}+i I_{2}=g^{2} \exp (2 i \psi)\)

(а) Розглянемо випадок\(f^{2} \neq 0\). У цьому випадку існує канонічний кадр, в якому\(E_{c a n} \| B_{c a n}\) і\(\zeta=B_{\text {can }} / E_{\text {can }}\), крок, є дійсним числом (яке може бути 0 або ∞). Обговоріть можливі значення відповідно до ознак\(I_{1} \text { and } I_{2}\). Підсумуйте свої висновки в таблиці, подібній до наведеної в таблиці B.1.

\ (\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l|l|l}
I_ {2}\ середина I_ {1} & + & 0 & -\
\ hline+ & &\\\ hline 0 & &
\\ hline 0 &\
\ hline- & &
\\ end {масив}
\ кінець {рівняння}\)

Таблиця B.1: Таблиця для завдання 8

(б) Експрес з\(E_{c a n}, B_{c a n}, \zeta\) точки зору\(I_{1}, I_{2} \text { and } g, \psi\).

(c) Припустимо\(\zeta \neq 0, \infty\),\(\infty\). Візьміть\(\hat{x} \text { along } E_{c a n}\). Розглянемо пасивне перетворення Лоренца в\(\hat{z}\) напрямку, до кадру швидкості\(v(\beta=v / c=\tanh \mu)\) по відношенню до канонічного кадру. Знайти\(\tan \theta_{E}, \tan \theta_{B}, \tan \left(\theta_{E}-\theta_{B}\right)\) через\(\beta, \zeta \text { and also } \mu, \psi\) де кути, на які\(\theta_{E} \text { and } \theta_{B}\) обертаються електричне і магнітне поля при перетворенні Лоренца, як показано на малюнку В.2.

Малюнок В.2: Задача 8 координатний кадр і кути.

(d) Розглянемо зараз випадки\(\zeta=0 ; \zeta=\infty\). Візьміть\(\hat{x}\) в сторону незникаючого канонічного поля. Обговоріть ефект перетворення Лоренца, подібний до того, що розглядається в (c). Дайте співвідношення величин електричного і магнітного полів після перетворення Лоренца.

9. (a) Знайти полярне розкладання матриці

\ (\ begin {рівняння}
\ left (\ begin {масив} {ll}
1 &\ дельта\\
0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}\)

Перевірити співвідношення (11б) на стор II-53. Розглянемо випадки\(\delta=1 \text { and } \delta<<1\).

(б) Знайти

\(\mathcal{P}_{\hat{a}}(\vec{p} \cdot \vec{\sigma}) \mathcal{P}_{\hat{a}}\)

де

\(\mathcal{P}_{\hat{a}}=\frac{1}{2}(1+\hat{a} \cdot \vec{\sigma})\)

10. Перевірте Eq (23) - (26) на II-42, 43.

11. Показати, що матриця полів\(F=(\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}\) може бути виведена з матричного еквівалента чотирипотенціалу. Які умови, якщо такі є, повинні бути накладені останнім?

12. (а) Висловити відображення чотиривектора\(K=k_{0} 1+\vec{k} \cdot \vec{\sigma}\) в рухомій площині. Нормаль площини є\(\hat{a}\). Його швидкість є\(v=v \hat{a} \text { with } v / c=\tanh \mu\). (Підказка: перетворити на решту кадру дзеркала.)

(б) Показати, що комбінація двох дзеркал\(\vec{v}_{1}=v_{1} \hat{a}_{1}, \text { and } \vec{v}_{2}=v_{2} \hat{a}_{2}\) дає перетворення Лоренца.

13. Перевірте еквівалентність рівнянь (4) та (5) у розділі 4.2 шляхом перетворення кожного фактора від простору до корпусу.

14. Показати, що відношення

\[|\xi\rangle\langle\xi|=\frac{1}{2}(1+\hat{k} \cdot \vec{\sigma})\label{1}\]

можна отримати за допомогою стереографічної проекції. Підказка: Спроектуйте сферу\(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}=1\) від південного полюса до екваторіальної площини, інтерпретовану як складну z-площину. Експрес\(k_{1}, k_{2}, k_{2}\) в терміні\(z, z * \text { and set } z=\xi_{1} / \xi_{0}\) с\(\left|\xi_{0}\right|^{2}+\left|\xi_{1}\right|^{2}=1\).

15. Знайдіть унітарну матрицю\(U\), яка з'єднує tvo заданого набору спінорів один з одним:

\[(|\eta\rangle,|\bar{\eta}\rangle)=(|\xi\rangle,|\bar{\xi}\rangle) U\label{2}\]

Висловлюйте спочатку його елементи, потім його складові в плані\(\xi_{0}, \xi_{1}, \eta_{0}, \eta_{1}\).

16. Алгебру Паулі можна розглядати як узагальнення елементарної векторної алгебри, і знання останньої корисно в матричних маніпуляціях.

Однак можна підійти до проблеми і з зворотної точки зору і вивести векторні відносини за допомогою матричних операцій. Визначте

\(A=\vec{a} \cdot \vec{\sigma}, \quad B=\vec{b} \cdot \vec{\sigma}, \quad C=\vec{c} \cdot \vec{\sigma}\)

і асоційовані

\[\vec{a} \cdot \vec{b} \quad \text { with } \quad \frac{1}{2}\{A, B\}=\frac{1}{2}(A B+B A)\label{3}\]

\[\vec{a} \times \vec{b} \text { with } \frac{1}{2 i}\{A, B\}=\frac{1}{2 i}(A B-B A)\label{4}\]

Розглянемо ідентичність Якобі

\[[[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0\label{5}\]

і умова асоціативності:

\[A(B C)-(A B) C=0\label{6}\]

(Equation\ ref {5} легко перевіряється для комутаторів. Про його значення див. [Hal74].) Перекласти рівняння\ ref {5} і\ ref {6} за допомогою рівнянь\ ref {3} і\ ref {4} і отримати знайомі співвідношення для потрійних векторних добутків.

17. Дайте явні спіноріальні вирази для наступних форм поляризації:\(|x\rangle\) (лінійна поляризація по осі х);\(|\theta / 2\rangle\) (поляризована під кутом θ /2 з віссю х);\(|R\rangle\) (права кругово поляризована).

(а) Скористайтеся\(\hat{\kappa}(\phi, \theta, \psi)\) схемою та призначте\(\phi=\psi=\theta=0 \text { to }|x\rangle=(1,0)\). Експрес з\(|\theta / 2\rangle,|\theta / 2\rangle,|R\rangle,|\bar{R}\rangle\) точки зору\(|x\rangle \text { and }|\bar{x}\rangle\).

(б) Скористайтеся\(\hat{s}(\alpha, \beta, \gamma)\) схемою. Призначити\(\beta=0, \alpha=\gamma=\pi / 2 \text { to }|R\rangle\). Висловіть вищезгадані спінори з точки зору\(|R\rangle \text { and }|\bar{R}\rangle\). Зверніть увагу, що результати (a) і (b) узгоджуються один з одним.

18. Дайте матриці зображення чверті хвилі, пластини, полуволновой пластини, ротатора і плоского поляризатора в обох\(\hat{k} \text { and the } \hat{s}\) схемах.

19. (a) Ми знаємо про оптичний інструмент лише те, що він перетворюється\(|R\rangle \text { into }|\bar{R}\rangle\) і навпаки. Знайдіть найбільш загальний матричний оператор, що відповідає цьому факту.

(б) Заточити цю відповідь, використовуючи додаткову інформацію про те, що прилад пропускає промінь\(|x\rangle\) без змін. Як називається цей пристрій?

20. Розглянемо довільний ерміт\ (\ begin {рівняння}
2\ times 2\ text {матриця:} s=s_ {0} +\ vec {s}\ cdot\ vec {\ vec {\ vec} {sigma}\ text {з} s_ {0} ^ {s} ^ {2}\ neq 0
\ end {рівняння}\) загалом.

(а) Показати, що можна розкласти S на суму двох матриць з детермінантним нулем. Тобто:

\(S=K^{\prime}+K^{\prime \prime}\)

де

\ (\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
K^ {\ прайм} =k_ {0} ^ {\ прайм} +\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {\ сигма}\ квад k_ {0} ^ {\ прайм 2} -\ vec {k}
^ {\ прайм 2} =0 0} ^ {\ прайм\ прайм} +\ vec {k} ^ {\ прайм\ прайм}\ cdot\ vec {\ сигма}\ квад k_ {0} ^ {\ прайм\ прайм 2} -\ vec {k} _ {0} ^ {\ прайм\ прайм} 2=0
\ кінець {масив}
\ кінець {рівняння}\)

(b) Показати, що якщо хтось нав'язує:

\ (\ begin {рівняння}
\ почати {вирівняний}
&
\ почати {вирівняний}\ vec {k} ^ {\ прайм} &=k^ {\ прайм}
\ hat {k}\\ vec {k} ^ {\ прайм\ прайм}\ hat {k}
\ кінець {вирівняний}\\
vec {k} ^ {\ прайм}\ текст {і} vec {k} ^ {\ прайм \ прайм}\ квад\ текст {паралельно}
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {рівняння}\)

розкладання стає унікальним. Знайти\(k_{0}^{\prime}, k_{0}^{\prime \prime}, k^{\prime}, k^{\prime \prime}, \hat{k}\).

21. Розглянемо приблизно монохроматичний промінь неполяризованого світла, було запропоновано розглядати такий промінь як випадкову послідовність еліптично поляризованого світла, завдяки чому параметри еліптичності\(\alpha, \beta\) змінюються повільно в порівнянні з,\(1 / \omega\) але швидко в порівнянні з часом спостереження (див. [Гур 45]). Автор показує, що середня еліптичність задається медіанним значенням

\(\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)_{m}=\tan \left(15^{\circ}\right)\)

Такий результат можна отримати дуже просто. Припустимо, що всі представницькі точки сфери Пуанкаре однаково вірогідні. Враховуйте кількість:

\(S=\frac{2 a_{1} a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)

для довільної точки на сфері. Візьміть середнє значення\(|S|\) над\(\text { Poincaré }\) сферою, використовуючи статистичне припущення вище. Вивести значення

\(\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)_{0}\)

що відповідає\(\langle|S|\rangle\).