Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Одномодульна група SL (n, R) та інваріантність об'єму

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79687

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Загальновідомо, що об'єм паралелепіпеда, що охоплюється лінійно незалежними векторами, задається детермінантою векторних компонентів. Тому очевидно, що перетворення з одномодульною матрицею залишає цей вираз для об'ємного інваріантного.

    Проте ситуація має деякі тонкі аспекти, які вимагають більш детального вивчення. Хоча розрахунок об'єму та площі є однією з стандартних процедур геометрії, це зазвичай здійснюється в метричних просторах, в яких довжина та кут мають своє добре відоме евклідове значення. Однак це занадто обмежувальне припущення, і детермінантна формула може бути виправдана і в межах афінної геометрії без використання метричних понять.

    Оскільки ми неодноразово стикаємося з подібними ситуаціями, коротко пояснимо основну ідею для випадку областей у двовимірному векторному просторі\(V(2, R)\).

    Просуваємо два постулати:

    1. Площа - додаткова величина: площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

    2. Поступально конгруентні фігури мають рівні площі.

    (Справа в тому, що евклідова конгруенція «передбачає також обертальну конгруентність, яка нам недоступна через відсутність метрики.) Тепер ми продовжуємо послідовні кроки, як показано на малюнку 2.2.

    clipboard_ea88c1b305afc614e1d138f549adb0649.pngclipboard_e25b3588a4893f2010bf4fc97a680d39d.pngclipboard_efd6c545a1618bd8c90f24eba7e912a95.png
    Малюнок 2.2: Поступальна конгруентність і рівна площа.

    Розглянемо спочатку вектори

    \ [\ почати {масив} {л}
    \ vec {x} =x^ {1}\ vec {e} _ {1}\
    \ vec {y} =y^ {2}\ vec {e} _ {2}
    \ end {масив}\]

    де координати цілі числа (рис. 2.2а). Площа щодо одиничної осередку виходить шляхом простого підрахунку як\(x^{1} y^{2}\). Той же результат може бути виправданий для будь-яких реальних значень координат шляхом поділу і граничного процесу.

    Нам дозволяється писати цей результат у детермінантній формі:

    \ [x^ {1} y^ {2} =\ ліворуч |\ почати {масив} {cc}
    x^ {1} & 0\
    0 & y^ {2}
    \ end {масив}\ right|\ етикетка {1}\]

    Якщо вектори

    \ [\ почати {масив} {л}
    \ vec {x} =x^ {1}\ vec {e} _ {1} +x^ {2}\ vec {e} _ {2}
    \ vec {y} =y^ {1}\ vec {e} _ {1} +y^ {2}\ vec {e} _ {2} _ {2}
    \ кінець {масив}\]

    не збігаються з осями координат, збіг може бути досягнутий не більше ніж за два кроки (рис. 2.2b і 2.2c) за допомогою поступальної конгруентності паралелограмів (0123) (012'3') (012» 3').

    Елементарним геометричним аргументом можна зробити висновок, що область, що\(\vec{x} \text { and } \vec{y}\) охоплюється, дорівнює площі, що охоплюється на\(\hat{e}_{1} \text { and } \hat{e}_{2}\) помножену на визначник

    \ [\ left|\ почати {масив} {ll}
    x^ {1} & x^ {2}\\
    y^ {1} & y^ {1} & y^ {2}
    \ end {масив}\ право|\ етикетка {2}\]

    Цей результат може бути виправданий також більш витонченим способом: геометричні операції на малюнках b і c складаються з додавання кратного вектору\(\vec{y} \text { to the vector } \vec{x}\), або додавання кратного другому рядку визначника до першого рядка, і ми знаємо, що такі операції залишають значення визначника незмінний.

    Зв'язок між детермінантою та площею може бути узагальнений до трьох і більше вимірів, хоча прямий геометричний аргумент стає все більш громіздким.

    Цей дефект буде усунений найбільш ефективно з точки зору алгебри Грассмана, яка буде розроблена в главі VII.