2.5: Короткий огляд лінійних груп

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79688

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Лінійний векторний простір\(V (n, F)\) дає нам можливість визначити ряд лінійних груп, які ми будемо використовувати в продовженні.

Почнемо з групи несингулярних лінійних перетворень, визначених рівняннями 2.3.4 та 2.3.5 розділу 2.3 і позначено як\(\mathcal{G L}(n, R)\) «загальна лінійна група над полем F». Якщо матриці повинні мати одиничні детермінанти, вони називаються одномодульними, а група -\(\mathcal{S L}(n, F)\) для простої лінійної групи.

Розглянемо тепер групу\(\mathcal{G L}(n, R)\) над реальним полем, і припустимо, що визначається внутрішній твір:

\[x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\ldots+x_{n} y_{n}=X^{T} Y\label{1}\]

Перетворення, які залишають цю форму інваріантною, називаються ортогональними. Використовуючи рівняння 2.3.10 і 2.3.12 секціїSec:Vec-простір, ми бачимо, що вони задовольняють умові

\[O^{T} O=\mathcal{I}\label{2}\]

де\(\mathcal{I}\) - матриця одиниць. Відповідна група називається\(\mathcal{O}(n)\).

З\ ref {2} випливає, що детермінант\(O\) є\(\operatorname{det} O=|O|=\pm 1\). Матриці з додатною детермінантою утворюють підгрупу\(\mathcal{S O}(n)\).

Ортогональні групи мають важливе геометричне значення, вони залишають так звані метричні властивості, довжини і кути інваріантними. Група\(SO(n)\) відповідає чистим обертанням, ці операції можуть бути безперервно пов'язані з ідентичністю. Навпаки, перетворення з негативними детермінантами передбачають інверсію, а отже, і дзеркальне відображення та неправильні обертання. Набір матриць з\(|O|=-1\), не утворює групу, так як не містить одиничного елемента.

Геометрична інтерпретація\(\mathcal{G L}(n, R)\) пояснюється не так легко. Замість метричної евклідової геометрії ми приходимо до менш звичної афінної геометрії, практичне застосування якої не настільки пряме. Ми повернемося до цих питань у главі VII. Однак у наступному розділі ми покажемо, що геометрична інтерпретація групи одномодульних перетворень\(\mathcal{S L}(n, R)\) полягає в тому, щоб залишити обсяг інваріантним.

Перейдемо тепер до розширення поняття метричної геометрії. Зауважимо спочатку, що замість того, щоб вимагати інваріантності виразу\ ref {1}, ми могли б обрати довільну позитивну певну квадратичну форму для встановлення метрики. Однак правильний вибір основи в\(\mathcal{V}(n, R)\) призводить нас до Equation\ ref {1}.

Якщо інваріантна квадратична форма невизначена, вона зводиться до канонічної форми

\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots-x_{k+l}^{2}\label{3}\]

Відповідна група інваріантності псевдоортогональна позначається як\(O(k, l)\).

У цій категорії група Лоренца представляє\(SO(3, 1)\) фундаментальний фізичний інтерес. На даний момент ми приймаємо це як факт, і достатній стимул для нас вивчити математичну структуру\(SO(3, 1)\) в розділі\(3\). Однак згодом у розділі ми розглянемо фізичні принципи\(4\), які відповідають за важливу роль цієї групи. Характер математичного дослідження можна лаконічно пояснити наступним чином.

Загальна\(n × n\) матриця над дійсним полем містить\(n^{2}\) незалежні параметри. Умова\ ref {2} скорочує це число до\(n(n-l) / 2\). \(n = 3\)За кількістю параметрів скорочується від дев'яти до трьох, за\(n = 4\) від шістнадцяти до шести. Параметр count такий же\(SO(3, 1)\), як і для\(SO(4)\). Однією з практичних проблем, пов'язаних із застосуванням цих груп, є уникнення роботи з надлишковими змінними та вибір таких незалежних параметрів, які можна легко ідентифікувати за допомогою геометрично та фізично відповідних величин. Це проблема, про яку йдеться в розділі\(3\). Відзначимо, що\(SO(3)\) це підгрупа групи Лоренца, і ці дві групи найкраще обробляються в одних рамках.

Вийде, що правильну параметризацію можна досягти найкраще за допомогою допоміжних векторних просторів, визначених над комплексним полем. Тому ми завершуємо наш список груп додаванням унітарних груп.

Розглянемо групу\(\mathcal{G L}(n, C)\) і накладемо інваріантну ермітієву форму

\[\sum a_{i k} x_{i} x_{k}^{*}\]

які можуть бути доведені до канонічного вигляду

\[x_{1} x_{1}^{*}+x_{2} x_{2}^{*}+\ldots+x_{n} x_{n}^{*}=X^{\dagger} X\label{4}\]

де\(X^{\dagger}=X^{* T}\) є гермітійським стиком Х, а зірка позначає сполучений комплекс. Вираз\ ref {4} є інваріантним при перетвореннях матрицями, які задовольняють умові

\[U^{\dagger} U=\mathcal{I}\label{5}\]

Ці матриці називаються унітарними, вони утворюють унітарну групу\(\mathcal{U}(n)\). Їх детермінанти мають абсолютну величину одиницю. Якщо детермінант дорівнює одиниці, то унітарні матриці теж, одномодульні, ми маємо просту унітарну групу\(\mathcal{S U}(n)\).