2.4: Як множити вектори? евристичні міркування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79692

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

При оцінці різних методів множення векторів на вектори ми починаємо з критичного аналізу процедури елементарного векторного числення, заснованого на спільному використанні внутрішнього або скалярного добутку і векторного добутку.

Перший з них легко узагальнюється\(V (n, R)\), і ми посилаємося на літературу для подальшої деталізації. На відміну від цього, векторний добуток прив'язаний до трьох вимірів, і для того, щоб узагальнити його, ми повинні визнати, що він зазвичай використовується в двох контекстах, для виконання абсолютно різних функцій.

Спочатку діяти як оператор обертання, щоб забезпечити приріст\(\delta \vec{a} \text { of a vector } \vec{a}\) за рахунок повороту на кут\(\delta \theta \text { around an axis } \hat{n}\):

\[\delta \vec{a}=\delta \theta \hat{n} \times \vec{a}\label{1}\]

\(\delta \theta \hat{n}\)Ось безрозмірний оператор, який перетворює вектор в інший вектор в тому ж просторі.

По-друге, надати «площу», розмірність якої є добутком розмірності факторів. Крім геометричного корпусу, у нас є і такі конструкції, як кутовий момент

\[\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\label{2}\]

Продукт тут «екстер'єр» до оригінального векторного простору.

За цією подвійною роллю векторного продукту стоїть цікава історія. Векторна алгебра Гіббса виникла в результаті спроби узгодження і спрощення двох геніальних, але складних геометричних алгебр, які були висунуті майже одночасно в 1840-х роках. Теорія кватерніонів сера Вільяма Роуана Гамільтона адаптована до задач обертання в трьох- і чотиривимірних просторах, тоді як Ausdehnungslehre Германа Грассмана (Теорія розширень) стосується обсягів у просторах довільної кількості вимірів. Дихотомія відповідає рівнянню\ ref {1} та\ ref {2}.

Взаємодоповнюючий характер двох обчислень в той час не був визнаний, і прихильники двох методів були в жорсткій конкуренції. Гіббс знайшов свій вихід із труднощів, видаливши всі складні та суперечливі елементи з обох конкрементів і зменшивши їх до загального ядра. Результатом є наше добре відоме елементарне векторне обчислення з його векторним добутком подвійного призначення, яке здавалося адекватним для тривимірного/простору.

За іронією долі, Гіббсівське числення стало широко прийнятим в той час, коли заслуга чотиривимірних обертань Гамільтона була виправдана в контексті чотиривимірного світу Ейнштейна-Мінковського.

Хоча можна адаптувати кватерніони для роботи з групою Лоренца, практичніше використовувати замість цього алгебру складних матриць два на два, так звану алгебру Паулі, і складні вектори (спінори), на яких працюють ці матриці. Ці методи є нащадками кватерніонної алгебри, але вони більш загальні, і більше відповідають квантово-механічним прийомам. Ми перейдемо до їх розвитку в наступному розділі.

В останні роки також відродилися деякі ідеї Грассмана, і зовнішнє числення тепер є стандартною технікою диференціальної геометрії (диференціальні форми, числення многовидів). Ці питання мають відношення до геометрії фазового простору, і ми обговоримо їх пізніше.