2.3: N-вимірний векторний простір V (n)
- Page ID
- 79694
Маніпулювання спрямованими величинами, такими як швидкості, прискорення, сили тощо, має чимале значення в класичній механіці та електродинаміці. Необхідність спрощення досить складних операцій призвела до розвитку абстракції: концепції вектора.
Точний сенс цього поняття мається на увазі в правилах, що регулюють його маніпуляції. Ці правила діляться на три основні категорії: вони відносяться до
1. додавання векторів,
2. множення векторів на числа (скаляри),
3. множення векторів на вектори (внутрішній добуток і векторний добуток.
Хоча тонкі проблеми, пов'язані з 3, будуть розглянуті в наступному розділі, ми продовжимо тут, щоб показати, що правила, що підпадають під 1 і 2, знаходять своє точне вираження в абстрактній теорії скінченновимірних векторних просторів.
Правила, пов'язані з додаванням векторів, можуть бути стисло виражені наступним чином: вектори - це елементи множини V, що утворює абелеву групу під операцією додавання, коротко адитивну групу.
Обернене вектора є його негативним, нульовий вектор грає роль єдності.
Числа, або «скаляри», згадані під (ii), зазвичай приймаються дійсними або комплексними числами. З багатьох міркувань, пов'язаних з векторними просторами, немає необхідності вказувати, який із цих варіантів обраний. Насправді все, що нам потрібно, це те, що скаляри утворюють поле. Більш явно, вони є елементами множини, яка закрита стосовно двох двійкових операцій: додавання та множення, які задовольняють загальним комутативним, асоціативним та розподільним законам; операції є оборотними за умови, що вони не передбачають ділення на нуль.
Векторний простір V (F) над полем F формально визначається як сукупність елементів, що утворюють адитивну групу, яку можна помножити на елементи поля F.
Зокрема, розглянемо дійсні і комплексні векторні поля V (R) і V (C) відповідно.
Попутно зазначу, що використання поняття поля відкриває шлях для набагато більшої різноманітності тлумачень, але це не представляє інтересу в теперішньому контексті. На відміну від цього, той факт, що ми розглядаємо «вектор» як невизначене поняття, дозволить нам запропонувати в продовженні інтерпретації, які виходять за рамки класичного, як спрямовані величини. Таким чином, наведене вище визначення узгоджується з інтерпретацією вектора як пари чисел, що вказують кількості двох хімічних видів, присутніх у суміші, або, як варіант, як точка у фазовому просторі, охопленому координатами та моментами системи точок маси.
Зараз ми узагальнимо ряд стандартних результатів теорії векторних просторів.
Припустимо, у нас є безліч ненульових векторів\(V\),\(\left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \ldots, \vec{x}_{n}\right\}\) в яких задовольняють відношення
\[\sum_{k} a_{k} \vec{x}_{k}=0\label{1}\]
де скаляри\(a_{k} \in F\), а не всі вони зникають. У цьому випадку вектори, як кажуть, лінійно залежні. Якщо, навпаки, відношення\ ref {1} має на увазі, що все\(a_{k}=0\), то ми говоримо, що вектори лінійно незалежні.
У першому випадку є хоча б один вектор. set що.може бути записаний у вигляді лінійної комбінації інших:
\[\vec{x}_{m}=\sum_{1}^{m-1} b_{k} \vec{x}_{k}\label{2}\]
Визначення 2.1. (Лінійний) базис у векторному просторі\(V\) являє собою набір\(E=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \ldots, \vec{e}_{n}\right\}\) лінійно незалежних векторів таким чином, що кожен вектор в\(V\) є лінійною комбінацією\(\vec{e}_{n}\). Кажуть, що основа охоплює або генерує простір.
Векторний простір є скінченно-вимірним, якщо він має скінченну основу. Фундаментальна теорема лінійної алгебри полягає в тому, що кількість елементів у будь-якій основі в скінченно-розмірному просторі така ж, як і в будь-якій іншій основі. Це число\(n\) є основою незалежної розмірності\(V\); включимо його в позначення векторного простору:\(V(n, F)\)
З огляду на певну основу, ми можемо висловити будь-яку\(\vec{x} \in V\) як лінійну комбінацію.
\[\vec{x}=\sum_{1}^{n} x^{k} \vec{e}_{k}\label{3}\]
де\(x^{k}\) координати однозначно визначаються\(E\). Вони\(x^{k} \vec{e}_{k}(k=l, 2, \ldots, n)\) називаються складовими\(\vec{x}\). Використання надскриптів полягає в тому, щоб запропонувати контраст між властивостями перетворення координат і основою, які будуть виведені незабаром.
Використання основ, званих також системами координат, або кадрів зручно для обробки векторів — таким чином додавання здійснюється шляхом додавання координат. Однак вибір тієї чи іншої основи вносить елемент свавілля в формалізм і це вимагає контрзаходів.
Припустимо, ми введемо нову основу за допомогою несингулярного лінійного перетворення:
\[\vec{e}_{i}^{\prime}=\sum_{k} S_{i}^{k} \vec{e}_{k}\label{4}\]
де матриця перетворення має незникаючий детермінант
\[\left|S_{i}^{k}\right| \neq 0\label{5}\]
забезпечення\(\vec{e}_{i}^{\prime}\) формування лінійно незалежного множини, тобто прийнятної основи. У контексті лінійної теорії це найзагальніша трансформація, яку ми маємо розглянути.
Ми забезпечуємо еквівалентність різних основ, вимагаючи, щоб
\[\vec{x}=\sum x^{k} \vec{e}_{k}=\sum x^{i \prime} \vec{e}_{i}^{\prime}\label{6}\]
Вставляючи рівняння\ ref {4} в рівняння\ ref {6} ми отримуємо
\ [\ почати {вирівняний}
\ vec {x} &=\ сума x^ {i^ {\ прайм}}\ лівий (\ сума S_ {i} ^ {k}\ vec {e} _ {k}\ праворуч)\\
&=\ сума\ ліворуч (\ сума x ^ {i\ правий} S_ {i} ^ {k}\ праворуч)\ vec {e} _ {k}
\ кінець вирівняні}\ мітка {7}\]
і, отже, у поєднанні з рівнянням\ ref {5}
\[x^{k}=\sum S_{i}^{k} x^{i^{\prime}}\label{8}\]
Зверніть увагу на характеристику «повороту» індексів при переході від Equation\ ref {4} до Equation\ ref {8} з одночасним зміною ролей старого і нового кадру. Основну причину можна краще оцінити, якщо вищевказаний розрахунок буде проводитися в символічній формі.
Запишемо координати та базисні вектори у вигляді матриць\(n × 1\) стовпців
\ [X =\ лівий (\ почати {масив} {c}
x^ {1}\
\ vdots\\
x^ {k}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ квадрат E=\ лівий (\ початок {масив} {c}
\ vec {e} _ {1}\
\ vdots\
\ vec {e} _ {k}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ мітка {9}\]
Рівняння\ ref {6} з'являється тоді як матричний добуток
\[\vec{x}=X^{T} E=X^{T} S^{-1} S E=X^{\prime T} E^{\prime}\label{10}\]
де верхній індекс означає «транспонувати».
Забезпечуємо узгодженість, встановивши
\[E^{\prime}=S E\label{11}\]
\[X^{\prime T}=X^{T} S^{-1}\label{12}\]
\[X^{\prime}=S^{-1 T} X\label{13}\]
Таким чином, ми чітко приходимо до результатів, що містяться у рівняннях\ ref {4} та\ ref {8}. Ми бачимо, що «об'єктивні» або «інваріантні» уявлення векторів засновані на процедурі перетворення основ і координат так званим контрагентним способом.
\(\vec{x}\)Сам вектор іноді називають контраваріантним вектором, який його відрізняють за властивостями перетворення від коваріантних векторів, які будуть введені пізніше.
Існує ще один момент, який слід зазначити у зв'язку з факторизацією вектора на базиси та координати.
Вектори, з якими ми будемо мати справу, зазвичай мають розміри, такі як довжина, швидкість, імпульс, сила тощо. У таких випадках важливо, щоб розмірність була поглинена базисними векторами\(\vec{e}_{k}\). На відміну від них\(x^{k}\) координати - це елементи поля F, добуток якого все ще знаходяться в F, вони просто числа. Не дивно, що множення векторів з іншими векторами становить тонку проблему. Векторні простори, в яких є положення про таку операцію, називаються алгебрами; вони заслуговують ретельного вивчення.
Слід наостанок зазначити, що є цікаві випадки, коли вектори мають безрозмірний характер. Вони можуть бути побудовані з елементів поля\(F\), які розташовані у вигляді n-кортежів, або у вигляді\(m × n\) матриць.
\(n×n\)Випадок особливо цікавий, оскільки множення матриць перетворює ці векторні простори в алгебру в щойно визначеному значенні.