2.2: Геометрія тривимірної групи обертання. Теорема Родрігеса-Гамільтона
- Page ID
- 79690
Існує три типи перетворень, які відображають евклідовий простір на себе: переклади, обертання та інверсії. Стандартне позначення для правильної групи обертання є\(\mathcal{O}^{+}, \text {or } \mathcal{S O}(3)\) коротким для «простої ортогональної групи в трьох вимірах». «Простий» означає, що детермінант перетворення полягає в тому\(+1\), що ми маємо належні обертання з виключенням інверсії координат:
\[\begin{array}{l}x \rightarrow-x \\y \rightarrow-y \\z \rightarrow-z\end{array} \label{1}\]
На відміну від групи перекладів,\(\mathcal{S O}(3)\) це неабелевская, а її теорія, починаючи з адекватного вибору параметрів, досить складна. Тим не менш, його теорія була розроблена в значній мірі протягом 18 століття Ейлером.
У класичній механіці проблема обертання не вважається принциповим значенням. Гамільтоновий формалізм виражається зазвичай в терміні точкових мас, які не обертаються. Існує вбудований ухил на користь поступального руху.
Інша ситуація в квантовій механіці, де обертання відіграє першорядну роль. У нас є вагомі підстави приділяти ранню увагу ротаційній групі, хоча на цьому етапі ми повинні обмежитися суто геометричною дискусією, яка пізніше буде перенесена в алгебраїчну форму.
Відповідно до добре відомої теореми Ейлера, довільне зміщення твердого тіла з єдиною нерухомою точкою може бути задумано як обертання навколо нерухомої осі, яке можна задати через кут повороту\(\phi\), так і одиничного вектора\(\hat{u}\) уздовж напрямку осі обертання. Умовно сенс обертання визначається правилом правої руки. Символічно ми можемо писати\(R=\{\hat{u}, \phi\}\).
Першим кроком до опису структури групи є надання правила для складу обертань з належним урахуванням некомутаційного характеру цієї операції. Суть аргументу міститься в старій теоремі Родрігеса-Гамільтона.
Наша презентація випливає з доповіді К.Л. Уїтні [Whi68]. Розглянемо продукти
\[R_{3}=R_{2} R_{1} \label{2}\]
\[R_{3}^{\prime}=R_{1} R_{2} \label{3}\]
де\(R_{3}\) - складене обертання, в\(R_{1}\) якому слідують\(R_{2}\).
Малюнок 2.1 являє собою одиничну сферу і будується наступним чином: кінцеві точки векторів\(\hat{u}_{1}\) і\(\hat{u}_{2}\) визначають велике коло, менша дуга якого утворює основу дзеркально-зображених трикутників, що мають кути,\(\phi_{1} / 2 \text { and } \phi_{2} / 2\) як зазначено. Кінцева точка вектора\(\hat{u}_{1}^{\prime}\) розташовується\(\hat{u}_{1}\) шляхом повороту на кут\(\phi_{2} \text { about } \hat{u}_{2}\). Наше твердження, що інші кількості, що з'являються на малюнку, законно марковані,\(\phi_{3} / 2, \hat{u}_{3}, \hat{u}_{3}^{\prime}\) обґрунтовується легко. Дотримуючись послідовності операцій, зазначеної в 2.2.3, ми бачимо, що\(\hat{u}_{3}\) викликається вектор спочатку повертається на кут\(\phi_{1}, \text { about } \hat{u}_{1}\), який приймає всередину\(\hat{u}_{3}^{\prime}\). Потім його повертають на кут\(\phi_{2} \text { about } \hat{u}_{2} \text { , which takes it back to } \hat{u}_{3}\). Оскільки він інваріантний, це дійсно вісь комбінованого обертання. Крім того, ми бачимо, що перше обертання залишає\(\hat{u}_{1}\) інваріантним, а друге обертання, що про\(\hat{u}_{2}\) несе його, положення\(\hat{u}_{1}^{\prime}\), яке воно досягне, якщо просто повертати навколо\(\hat{u}_{3}, \text { by the angle called } \phi_{3}\). Таким чином, цей кут дійсно є кутом комбінованого повороту. Зверніть увагу, що симетричний аргумент показує, що\(\hat{u}_{3}^{\prime} \text { and } \phi_{3} \text { are the axis and angle of the rotation } P_{3}^{\prime}=R_{1} R_{2}\).
Рівняння\ ref {3} може бути виражено також як
\[R_{3}^{-1} R_{2} R_{1}=1\label{4}\]
який інтерпретується наступним чином: обертання близько\(\hat{u}_{1}, \text { by } \phi_{1}\), з подальшим обертанням приблизно з\(\hat{u}_{2}, \text { by } \phi_{2}\) подальшим обертанням про не\(\hat{u}_{3}, \text { by minus } \phi_{3}\) виробляє змін. Це твердження є теоремою Родрігеса-Гамільтона.
