7.9: Проблеми з вправами

7.1. Однорідний тонкий лист ізотропного, еластичного матеріалу, товщини\(t\) і площі\(A \gg t^{2}\) стискається двома площинами, паралельними, широкими, жорсткими поверхнями - див. Малюнок праворуч. Припускаючи відсутність прослизання між листом і поверхнями, обчисліть відносне стиснення\((-\Delta t / t)\) як функцію сили стиснення. Порівняйте отриманий результат з таким для розтягуючого напруги, розрахованого в п. 7.

7.2. Два протилежних краю тонкого, дуже широкого листа ізотропного, еластичного матеріалу були затиснуті в двох жорстких, плоских, паралельних стінках, які розсунуті з силою\(F\), по довжині листа\(l\). Знайдіть відносне розширення\(\Delta l / l\) листа в напрямку сили, і його відносне стиснення\(\Delta t / t\) в перпендикулярному напрямку, і порівняйте результати з Екс. (7.45) - (7.46) для розтягуючого напруги і рішення попередньої задачі.

7.3. Обчисліть радіальне розширення\(\Delta R\) тонкої, довгої круглої циліндричної труби, завдяки її обертанню з постійною кутовою швидкістю\(\omega\) навколо своєї осі симетрії (див. Малюнок праворуч), в перерахунку на модулі пружності\(E\) і\(v\). Зовнішній тиск як всередині, так і зовні труби мізерно мало.

7.4. Довга рівномірна рейка з поперечним перерізом, показаним на малюнку праворуч, згинається з однаковим (малим) крутним моментом двічі: спочатку в\(x z\) площині, а потім в межах\(y z\) -площини. Припускаючи\(t<<l\), що, знайти співвідношення деформацій вигину рейки в цих двох випадках.

7.5. Два тонких стрижня однакової довжини і маси виготовлені з одного і того ж пружного, ізотропного матеріалу. Перетин одного з них - це коло, а іншого - рівносторонній трикутник - див. Рисунок праворуч. Який з стрижнів жорсткіше для вигину по своїй довжині? Кількісно оцініть співвідношення. Чи залежить результат від орієнтації площини згину?

7.6. Тонкий, пружний, рівномірний, спочатку прямий брус ставиться на дві точкові опори на однаковій висоті\(-\) см. Рис справа. Яке розміщення опори мінімізує найбільше відхилення балки від горизонтальної базової лінії, під власною вагою?

Підказка: Приблизна відповідь (з точністю краще, ніж\(1 \%\)) є прийнятним.

7.7. Обчисліть найбільшу\(\mathscr{T}\) поздовжню силу стиснення, яку може витримати тонкий, прямий, пружний стрижень без відсікання (див. Малюнок праворуч) для двох показаних випадків:

(i) кінці стрижня затиснуті, і

(ii) стрижень, який вільно обертається навколо опорних точок.

 

7.8. Пружний, легкий, тонкий стовп з квадратним перетином площі міцно вкопувався в землю у вертикальному положенні, стирчачи по висоті\(h>>a\).\(A=a \times a\) Яка найбільша компактна маса\(M\) може бути розміщена прямо у верхній частині опитування без втрати стабільності?

7.9. Обчисліть потенційну енергію невеликого і повільно змінюється, але в іншому випадку довільної деформації вигину рівномірного, пружного, спочатку прямого стрижня. Чи може результат бути використаний для отримання співвідношення дисперсії (136)?

7.10. Обчисліть крутильну жорсткість тонкого однорідного стрижня, перетин якого є еліпсом з півосями\(a\) і\(b\).

7.11. Обчисліть потенційну енергію невеликої, але в іншому випадку довільної крутильної\(\varphi_{z}(z)\) деформації рівномірного, прямого, пружного стрижня.

7.12. Обчисліть постійну пружини\(\ \kappa \equiv d F / d l\) спіральної пружини, виготовленої з однорідного, еластичного дроту, з круглим перетином діаметра\(d\), намотаної у вигляді щільної круглої спіралі\(N \gg>1\) витків радіусу\(R \gg d-\) див. Малюнок праворуч.

7.13. Пружина котушки, описана в попередній задачі, тепер використовується як те, що іноді називають пружиною кручення - див. Малюнок праворуч. Знайдіть відповідну постійну пружини\(d \tau / d \varphi\), де\(\tau\) - крутний момент зовнішніх сил щодо центру котушки (точка 0).

7.14. Використовуйте Eqs. (99) та (100), щоб переробити Eq. (101b) для жорсткості\(C\) кручення тонкого стрижня у форму, задану Eq. (101c).

7.15. \({ }^{*}\)Узагальнити Eq. (101b) до випадку стрижнів з більш ніж однією межею поперечного перерізу. Використовуйте отриманий результат для обчислення жорсткості кручення тонкої круглої труби і порівняйте її з упр. (91).

7.16. Довга сталевий дріт має круглий перетин діаметром 3 мм, і попередньо розтягується з постійною силою\(10 \mathrm{~N}\). Яка з поздовжніх і поперечних хвиль з частотою\(1 \mathrm{kHz}\) має найбільшу групову швидкість в дроті? Прийміть наступні параметри для стали (див. Таблицю 1):\(E=\)\(170 \mathrm{GPa}, v=0.30, \rho=7.8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\).

7.17. Визначте та розрахуйте хвильові опори для (i) розтягуючих та (ii) крутильних хвиль у тонкому стрижні, відповідних довгохвильовій межі. Скористайтеся отриманими результатами для розрахунку частки потужності кожної хвилі,\(\mathscr{P}\) відбитої від міцного з'єднання довгого стрижня з круглим перетином до аналогічного стрижня, але з подвійним меншим діаметром\(-\) див. Рисунок праворуч.