7.8: Пружні хвилі в тонких стрижнях

З того, що ми обговорювали в кінці останнього розділу, повинно бути досить зрозуміло, що загалом поширення акустичних хвиль у пружних тілах кінцевого розміру може бути дуже складним. Існує, однак, одна важлива межа, при якій можна легко отримати кілька важливих результатів. Це межа (відносно) низьких частот, де відповідна довжина хвилі набагато більша, ніж принаймні один вимір системи. Розглянемо, наприклад, різні хвилі, які можуть поширюватися по тонких стрижнях, в даному випадку «тонкі» означають, що характерний розмір\(a\) перетину стрижня набагато менше не тільки довжини стрижня, але і довжини хвилі\(\lambda=2 \pi / k\). У цьому випадку існує значний діапазон відстаней\(z\) уздовж стрижня,\[a<<\Delta z<<\lambda,\] в якому ми можемо знехтувати інерцією матеріалу, і застосувати результати наших попередніх статичних аналізів.

Наприклад, для поздовжньої хвилі напруги, яка по суті є хвилею періодичних розтягувань і стискань стрижня, в межах (129) ми можемо використовувати статичне відношення (42):

\[\sigma_{z z}=E s_{z z} .\]Для чого випливає, простіше використовувати загальне рівняння пружної динаміки не в його векторній формі (107), а скоріше в попереднику, картезіанско-компонентної формі\((25)\), с\(f_{j}=0\). Для плоских хвиль, що поширюються вздовж\(z\) -осі, тільки одна складова (з\(j^{\prime} \rightarrow z\)) суми на правій стороні цього рівняння не дорівнює нулю, і вона зводиться до\[\rho \frac{\partial^{2} q_{j}}{\partial^{2} t^{2}}=\frac{\partial \sigma_{j z}}{\partial z} .\] У нашому поточному випадку поздовжніх хвиль всі складові тензора напружень, але\(\sigma_{z z}\) рівні нулю. \(\sigma_{z z}\)З Eq. (130) і використовуючи визначення\(s_{z z}=\partial q_{z} / \partial z\), Eq. (131) зводиться до простого хвильового рівняння,\[\rho \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial^{2} t^{2}}=E \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial z^{2}},\] яке показує, що швидкість таких хвиль розтягування\[v=\left(\frac{E}{\rho}\right)^{1 / 2}\] Порівняння цього результату з Eq. (112), ми бачимо, що швидкість хвилі розтягування, для будь-якого реалістичного матеріалу з a позитивне відношення Пуассона, нижче швидкості\(v_{1}\) поздовжніх хвиль в основній масі того ж матеріалу. Причина цієї різниці проста: у тонких стрижнів поперечний переріз вільно коливається (наприклад, стискається в поздовжній фазі розширення хвилі, що проходить),\({ }^{42}\) так що ефективна сила, що чинить опір поздовжній деформації, менша, ніж у вільному від кордону просторі. Оскільки (як це добре видно з хвильового рівняння), масштаб сили визначає\(v^{2}\), що ця різниця перетворюється на більш повільні хвилі в стрижнях. Звичайно, у міру збільшення частоти хвиль до\(k a \sim 1\), існує (досить складний і залежить від перетину) кросовер від Eq. (133) до Eq. (112).

Переходячи до поперечних хвиль в стрижнях, давайте спочатку подивимося на довгі хвилі вигину, для яких виконується умова (129), щоб вектор\(\mathbf{q}=\mathbf{n}_{x} q_{x}\) (при цьому\(x\) -вісь - напрямок згину див. Рис. 8) був практично постійним у всьому поперечному перерізі. У цьому випадку єдиним компонентом тензора напружень, що сприяє чистої поперечної сили\(\sigma_{x z}\),\(F_{x}\) є, так що інтеграл Eq. (131) над поперечним перерізом є\[\rho A \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial F_{x}}{\partial z}, \quad \text { with } F_{x}=\int_{A} \sigma_{x z} d^{2} r .\] Тепер, якщо Eq. (129) задовольняється, ми знову можемо використовувати статичні локальні відносини (75) - (77), з усіма похідними\(d / d z\) належним чином замінені на їх часткову форму\(\partial / \partial z\), щоб висловити силу за\(F_{x}\) допомогою деформації вигину\(q_{x}\). Підключаючи ці відносини один за одним, ми приходимо до досить незвичайного диференціального рівняння.\[\rho A \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial t^{2}}=-E I_{y} \frac{\partial^{4} q_{x}}{\partial z^{4}} .\] Шукаючи його рішення у вигляді синусоїдальної хвилі (108), отримуємо наступне нелінійне співвідношення дисперсії: 43\[\omega=\left(\frac{E I_{y}}{\rho A}\right)^{1 / 2} k^{2} .\] Таке співвідношення означає, що хвилі вигину не акустичні при будь-якої частоти, і не може бути охарактеризована єдиною швидкістю, яка була б дійсною для всіх хвильових чисел\(k\), тобто для всіх просторових компонентів Фур'є форми хвилі. Згідно з нашим обговоренням у п. 6.3, такі сильно дисперсійні системи не можуть передавати несинусоїдальні форми хвиль занадто далеко, не змінюючи їх форму хвилі досить значно.

Ця ситуація змінюється, однак, якщо стрижень попередньо розтягується з силою натягу\(\mathscr{T}\) - так само, як і в дискретній моделі 1D, яка була проаналізована в п. 6.3. Розрахунок впливу цієї сили по суті аналогічний; повторимо його для безперервного випадку, на хвилину нехтуючи напругою вигину - див. Рис.\(13 .\)

Рис.7.13. Додаткові зусилля в тонкому стрижні («струні»), обумовлені фоновим натягом\(\ \mathscr{T}\).

Ще дотримуючись межі малих кутів\(\varphi\), додаткова вертикальна складова\(d \mathscr{T}_{x}\) сили сітки, що діє на невеликий стрижневий фрагмент довжини\(d z\) є\(\mathscr{T}_{x}(z-d z)-\mathscr{T}_{x}(z)=\mathscr{T} \varphi_{y}(z+d z)-\mathscr{T} \varphi_{y}(z) \approx \mathscr{T}\left(\partial \varphi_{y} / \partial z\right) d z\), так що\(\partial F_{x} / \partial z=\mathscr{T}\left(\partial \varphi_{y} / \partial z\right)\). При геометричному співвідношенні (77) в його частково-похідному вигляді\(\partial q_{x} / \partial z=\varphi_{y}\) цим додатковим терміном стає\(\mathcal{T}\left(\partial^{2} q_{x} / \partial z^{2}\right)\). Тепер додаючи його до правого боку Eq. (135), ми отримуємо наступне співвідношення дисперсії\[\omega^{2}=\frac{1}{\rho A}\left(E I_{y} k^{4}+\mathscr{T}^{2}\right)\] Оскільки твір\(\rho A\) у знаменнику цього виразу - це просто маса стрижня на одиницю довжини (яка була позначена\(\mu\) в главі 6), при низьких\(k\) (а отже, і низьких частотах), це вираз зводиться до закону лінійної дисперсії, зі швидкістю, заданою Eq. (6.43):\[v=\left(\frac{\mathscr{T}}{\rho A}\right)^{1 / 2} .\] Так екв. (137) описує плавний кросовер від акустичних хвиль «гітарно-струнних» до високодисперсійних хвиль вигину (136).

Тепер розглянемо інший тип поперечних хвиль в тонких стрижнях - так звані крутильні хвилі, які по суті є динамічним поширенням крутильної деформації, розглянутої в п. 6. Найпростіший спосіб опису цих хвиль, знову-таки в межах (129), - записати рівняння обертання невеликого\(d z\) відрізка стрижня навколо\(z\) -осі, що проходить через «центр мас» його перетину, під різницею крутних моментів,\(\tau=\mathbf{n}_{z} \tau_{z}\) нанесених на його кінцях - див. Рис. 10:\[\rho I_{z} d z \frac{\partial^{2} \varphi_{z}}{\partial t^{2}}=d \tau_{z},\] де\(I_{z}\) - «момент інерції», що визначається еквалайзером (91), який тепер, після його множення на\(\rho d z\), тобто на масу на одиницю площі, перетворився на справжній момент інерції\(d z\) товстого зрізу стрижня. Розділивши обидві сторони Eq. (139) на\(d z\), і використовуючи статичне локальне відношення (84)\(\tau_{z}=C \kappa=C\left(\partial \varphi_{z} / \partial z\right)\), отримаємо наступне диференціальне рівняння\[\rho I_{z} \frac{\partial^{2} \varphi_{z}}{\partial t^{2}}=C \frac{\partial^{2} \varphi_{z}}{\partial z^{2}} .\] Так само, як Eqs. (111), (115) і (132), це рівняння описує акустичну (без дисперсії) хвилю, яка поширюється з наступною частотою- незалежна швидкість\[v=\left(\frac{C}{\rho I_{z}}\right)^{1 / 2} .\] Як ми бачили в п. 6, для стрижнів з аксіально-симетричними перерізами жорсткість кручення\(C\) описується простим співвідношенням (89)\(C=\mu I_{z}\), так що Eq. (141) зменшується до Eq. (116) для поперечних хвиль в нескінченних середовищах. Причина такої подібності проста: в крутильної хвилі частинки коливаються по малих дугах (рис. 14а), так що якщо поперечний переріз стрижня круглий, його поверхня не напружена, і ніяк не збуджує і не змінює рух, а значить, не впливає на поперечну швидкість.

Малюнок 7.14. Траєкторії частинок у двох різних поперечних хвиль з однаковою швидкістю: (а) крутильні хвилі в тонкому круглому стрижні і (б) кругово-поляризовані хвилі в нескінченному (або дуже широкому) зразку.

Цей факт викликає цікаве питання зв'язку між крутильними і кругополяризованими хвилями. Дійсно, в розділі 7 я недостатньо підкреслив, що Eq. (116) дійсний для поперечної хвилі, поляризованої в будь-якому напрямку, перпендикулярному вектору\(\mathbf{k}\) (в наших позначеннях, спрямованих вздовж\(z\) -осі). Зокрема, це означає, що такі хвилі є подвійно-виродженими: будь-який ізотропний пружний континуум може переносити одночасно дві невзаємодіючі поперечні хвилі, що поширюються в одному напрямку з однаковою швидкістю (116), з двома взаємно перпендикулярними лінійними поляризаціями (напрямками вектора а), для приклад, спрямований уздовж\(x\) - і\(y\) -осей. \({ }^{44}\)Якщо обидві хвилі синусоїдальні (108), з однаковою частотою, кожна точка середовища бере участь в двох одночасних синусоїдальних рухах всередині\([x, y]\) площини:\[q_{x}=\operatorname{Re}\left[a_{x} e^{i(k z-\omega t)}\right]=A_{x} \cos \Psi, \quad q_{y}=\operatorname{Re}\left[a_{y} e^{i(k z-\omega t)}\right]=A_{y} \cos (\Psi+\varphi),\] де\(\Psi \equiv k z-\omega t+\varphi_{x}\), і\(\varphi \equiv \varphi_{y}-\varphi_{x}\). Базова геометрія говорить нам, що траєкторія такого руху на\([x, y]\) площині - це еліпс (рис. 15), так що такі хвилі називаються еліптично поляризованими. Найбільш важливими конкретними випадками такої поляризації є:

(i)\(\varphi=0\)\(\pi\) або. лінійно-поляризована хвиля, вектор а спрямований під кутом\(\theta=\tan ^{-1}\left(A_{y} / A_{x}\right)\) відносно осі\(x\); і

(ii)\(\varphi=\pm \pi / 2\) і\(A_{x}=A_{y}\): дві можливі кругово-поляризовані хвилі, з правою або лівою поляризацією відповідно. \({ }_{4}^{4}\)

Малюнок 7.15. Траєкторія частинки в еліптично поляризованій поперечній хвилі, в межах площини, перпендикулярної напрямку поширення хвилі.

Тепер порівнюючи траєкторії частинок крутильної хвилі в тонкому круглому стрижні (або трубі) і кругово-поляризованої хвилі в широкому зразку (рис. 14), ми бачимо, що, незважаючи на однакову швидкість поширення хвилі, ці поперечні хвилі досить різні. У першому випадку (рис. 14а) кожна частинка рухається вперед і назад по дузі, при цьому довжина дуги різна для різних частинок (і зникає в центрі стрижня), так що хвилі не площині. З іншого боку, у циркулярно поляризованій хвилі всі частинки рухаються по схожим, круговим траєкторіям, так що така\(i s\) площина хвилі.

На завершення цієї глави дозвольте коротко згадати протилежну межу, коли розмір тіла, від кордону якого повністю відбиваються хвилі,\({ }^{46}\) набагато більше довжини хвилі. При цьому хвилі поширюються майже як в нескінченному тривимірному континуумі (який був проаналізований в п. 7), а найважливішим новим ефектом є кінцеві числа хвильових мод в тілі. Повторюючи\(1 \mathrm{D}\) аналіз в кінці п. 6.5, для кожного виміру 3D кубоїда об'єму\(V=l_{1} l_{2} l_{3}\), і беручи до уваги, що числа\(k_{n}\) в кожному з 3-х вимірів незалежні, отримаємо наступне узагальнення Eq. (6.75) для кількості\(\Delta N\) різних подорожуючих хвилі з хвильовими векторами в межах відносно невеликого обсягу простору\(d^{3} k\) хвильових векторів:\[d N=g \frac{V}{(2 \pi)^{3}} d^{3} k \gg 1, \quad \text { for } \frac{1}{V}<<d^{3} k<<k^{3},\] де\(k \gg>>1 / l_{1,2,3}\) знаходиться центр цього об'єму, і\(g\) кількість різних можливих хвильових мод з одним і тим же хвильовим вектором\(\mathbf{k}\). Для механічних хвиль, проаналізованих вище, з одним поздовжнім режимом та двома поперечними модами з різною поляризацією\(g=3\).

Зауважимо, що оскільки виведення Eqs. (6.75) і (143) не використовує інші властивості хвиль (зокрема, їх дисперсійні відносини), правило підрахунку режимів є повсюдним у фізиці, дійсне, зокрема, для електромагнітних хвиль (де\(g=2\)) і квантових «хвиль де Броля» (тобто хвильові функції), коефіцієнт виродження якого зазвичай\(g\) визначається спіном частинки. \({ }^{47}\)

---

\({ }^{42}\)З цієї причини хвилі розтягування можна назвати поздовжніми лише в обмеженому сенсі: в той час як хвиля напруги чисто поздовжня:\(\sigma_{x x}=\sigma_{y y}=0\), деформаційна хвиля не є:\(s_{x x}=s_{y y}=-\sigma_{z z} \neq 0\), т\(\mathbf{q}(\mathbf{r}, t) \neq \mathbf{n}_{z} q_{z}\).

\({ }^{43}\)Зауважте, що оскільки «момент інерції»\(I_{y}\), що визначається еквалайзером (70), може залежати від напрямку вигину (якщо поперечний переріз не є достатньо симетричним), співвідношення дисперсії (136) може давати різні результати для різних напрямків поляризації хвилі згину.

\({ }^{44}\)Як було показано в п. 6.3, це вірно навіть у простій моделі 1D, показаної на малюнку 6.4a.

\({ }^{45}\)Циркулярно поляризовані хвилі відіграють важливу роль у квантовій механіці, де вони можуть бути найбільш природно квантовані, при цьому їх елементарні збудження (у випадку механічних хвиль, які ми обговорюємо, називаються фононами), мають або позитивний, або негативний кутовий імпульс\(L_{z}=\pm \hbar\).

\({ }^{46}\)Для акустичних хвиль така умова легко реалізувати. Дійсно, з розділу 7 ми вже знаємо, що сильна нерівність хвильових імпедансів\(Z\) достатня для такого відображення. Цифри таблиці 1 показують, що, наприклад, імпеданс поздовжньої хвилі у типового металу (скажімо, стали) майже на два порядки вище, ніж у повітрі, забезпечуючи їх практично повне відображення від поверхні.

\({ }^{47}\)Див., наприклад, EM Secs. \(7.8\)і QM Розділ 1.7.