7.7:3D акустичні хвилі

Тепер переходячи від статики до динаміки, ми можемо почати з Eq. (24), який може бути перетворений у векторну форму точно так, як це було зроблено для статичного випадку на початку сек. \(4 .\)Порівнюючи Eqs. (24) і (52), ми відразу бачимо, що результат можна представити як\[\rho \frac{\partial^{2} \mathbf{q}}{\partial t^{2}}=\frac{E}{2(1+v)} \nabla^{2} \mathbf{q}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)} \nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})+\mathbf{f}(\mathbf{r}, t) .\] Давайте використаємо це загальне рівняння для аналізу, мабуть, найважливішого типу залежних від часу деформацій: акустичних хвиль. Спочатку розглянемо найпростіший випадок практично нескінченної, однорідної пружної середовища, що не має зовнішніх сил:\(\mathbf{f}=0\). У цьому випадку, завдяки лінійності і однорідності рівняння руху, і взявши підказки з аналізу простої 1D моделі (див. Рис. 6.4a) в сек. 6.3-6.5,\({ }^{33}\) ми можемо шукати конкретне залежне від часу рішення у вигляді синусоїдальної лінійно-поляризованої, плоской біжучої хвилі \[\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)=\operatorname{Re}\left[\mathbf{a} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}\right],\]де\(\mathbf{a}\) постійна комплексна амплітуда хвилі (тепер вектор!) , І\(\mathbf{k}\) являє собою хвильовий вектор, величина якого дорівнює хвильовому числу\(k\). Напрямок цих двох векторів слід чітко розрізняти: при цьому a визначає поляризацію хвилі, тобто напрямок переміщень частинок, вектор\(\mathbf{k}\) спрямований уздовж просторового градієнта повної фази хвилі,\[\Psi \equiv \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t+\arg a,\] тобто по напрямку хвильового фронту. розмноження.

Важливість кута між цими двома векторами можна легко побачити з наступного простого розрахунку. Наведемо\(z\) -вісь (інерційної) системи відліку вздовж напрямку вектора\(\mathbf{k}\), а\(x\) -вісь в такому напрямку, щоб вектор\(\mathbf{q}\), а значить і a, лежали в межах\(\{x, z\}\) площини. При цьому всі змінні можуть змінюватися тільки вздовж\(z\) -осі\(\nabla=\mathbf{n}_{z}(\partial / \partial z)\), тобто тоді як амплітудний вектор може бути представлений як сума всього двох декартових складових:\[\mathbf{a}=a_{x} \mathbf{n}_{x}+a_{z} \mathbf{n}_{z} .\] Розглянемо спочатку поздовжню хвилю, з рухом частинок вздовж напрямку хвилі:\(a_{x}=\)\(0, a_{z}=a\). Тоді вектор\(\mathbf{q}\) в Eq. (107), що описує цю хвилю, має тільки один (\(z\)) компонент, так що\(\nabla \cdot \mathbf{q}\)\(=d q_{z} / d z\) і\(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})=\mathbf{n}_{z}\left(\partial^{2} \mathbf{q} / \partial z^{2}\right)\), а оператор Лапласа дає той же вираз:\(\nabla^{2} \mathbf{q}=\)\(\mathbf{n}_{z}\left(\partial^{2} \mathbf{q} / \partial z^{2}\right)\). В результаті, Eq. (107), з\(\mathbf{f}=0\), зводиться до\(1 \mathrm{D}\) хвильового рівняння,\[\rho \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial t^{2}}=\left[\frac{E}{2(1+v)}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)}\right] \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial z^{2}} \equiv \frac{E(1-v)}{(1+v)(1-2 v)} \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial z^{2}},\] подібного до Eq. (6.40). Як ми вже знаємо з п. 6.4, це рівняння дійсно задовольняється розв'язком (108), за умови, що\(\omega\) і\(k\) підкоряється лінійному співвідношенню дисперсії\(\omega=v_{1} k\), з наступною поздовжньою швидкістю хвилі:\[v_{1}^{2}=\frac{E(1-v)}{(1+v)(1-2 v) \rho} \equiv \frac{K+(4 / 3) \mu}{\rho}\] Останній вираз дозволяє просту інтерпретацію. Розглянемо статичний експеримент, схожий на експеримент з випробуванням на розтяг, показаний на малюнку 6, але з зразком набагато ширше, ніж\(l\) в обох напрямках, перпендикулярних силі. Тоді бічне стиснення неможливо\(\left(s_{x x}=s_{y y}=0\right)\), і ми можемо обчислити єдину складову скінченних напружень\(\sigma_{z z}\), безпосередньо з екв. (34) з\(\operatorname{Tr}(\mathrm{s})=s_{z z}\):\[\sigma_{z z}=2 \mu\left(s_{z z}-\frac{1}{3} s_{z z}\right)+3 K\left(\frac{1}{3} s_{z z}\right) \equiv\left(K+\frac{4}{3} \mu\right) s_{z z} .\] Ми бачимо, що чисельник в екв. (112) - це не що інше, як статичний модуль пружності для такої одновісної деформації, і це перераховується на швидкість точно так, як постійна пружини в хвиль 1D, що розглядається в сек.6.3-6.4 - ср. екв. (6.42).

Формула (114) стає особливо простою в рідинях\(\mu=0\), де і швидкість хвилі описується відомим виразом\[v_{1}=\left(\frac{K}{\rho}\right)^{1 / 2}\] Примітка, однак, що для газів, при їх високій стисливості і температурної чутливості, значення\(K\) участі в цій формулі може відрізнятися, при високому частоти, від того, що дається Eq. (40), оскільки швидкі стиснення/розширення газу, як правило, адіабатичні, а не ізотермічні. Ця різниця помітна в таблиці 1, в одній з граф якої наведені значення\(v_{l}\) для репрезентативних матеріалів.

Тепер розглянемо протилежний випадок поперечних хвиль с\(a_{x}=a, a_{z}=0\). У такій хвилі вектор зміщення перпендикулярний\(\mathbf{n}_{z}\), так що\(\nabla \cdot \mathbf{q}=0\), і другий член з правого боку Eq. (107) зникає. Навпаки, оператор Лапласа, що діє на такий вектор, все ще дає той самий ненульовий внесок\(\nabla^{2} \mathbf{q}=n_{z}\left(\partial^{2} \mathbf{q} / \partial z^{2}\right)\), до Eq. (107) так що рівняння дає\[\rho \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{E}{2(1+v)} \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial z^{2}},\] і ми знову отримуємо лінійне співвідношення дисперсії\(\omega=v_{t} k\), але з іншою швидкістю:

\[\ \text{Transverse waves: velocity}\quad\quad\quad\quad\nu_{\mathrm{t}}^{2}=\frac{E}{2(1+\nu) \rho}=\frac{\mu}{\rho}.\]

Ми бачимо, що швидкість поперечних хвиль залежить виключно від модуля\(\mu\) зсуву середовища. \({ }^{34}\)Це теж дуже природно: в таких хвиль зміщення частинок\(\mathbf{q}=\mathbf{n}_{x} q\) перпендикулярні пружних сил\(d \mathbf{F}=\mathbf{n}_{z} d F\), так що задіяний єдиний компонент\(\sigma_{x z}\) тензора напружень. Крім того, тензор деформації\(s_{i j}\) не має діагональних складових\(\operatorname{Tr}(\mathrm{s})=0\), тому\(\mu\) це єдиний модуль пружності, який активно бере участь у законі Гука (32). Зокрема, рідини взагалі не можуть переносити поперечні хвилі (формально їх швидкість (116) зникає), оскільки вони не протистоять деформаціям зсуву. Для всіх інших матеріалів поздовжні хвилі йдуть швидше, ніж поперечні. \({ }^{35}\)Дійсно, для всіх відомих природних матеріалів відношення Пуассона є позитивним, так що коефіцієнт швидкості, що випливає з Eqs. (112) і (116),\[\frac{v_{1}}{v_{\mathrm{t}}}=\left(\frac{2-2 v}{1-2 v}\right)^{1 / 2}\] вище\(\sqrt{2} \approx 1.4\). Для найбільш популярних будівельних матеріалів, з\(v \approx 0.3\), співвідношення приблизно\(2-\) див. Таблицю\(1 .\)

Дозвольте ще раз підкреслити, що як для поздовжніх, так і для поперечних хвиль співвідношення дисперсії між числом хвилі і частотою є лінійним:\(\omega=v k\). Як вже говорилося в главі 6, в даному випадку акустичних хвиль (або просто «звукових») фазові і групові швидкості рівні, а хвилі більш складної форми, що складаються з декількох (або багатьох) компонентів Фур'є типу (108), зберігають свою форму при поширенні. Це означає, що обидва Eqs. (111) і (115) задовольняються розв'язками типу (6.41):\[q_{\pm}(z, t)=f_{\pm}\left(t \mp \frac{z}{v}\right),\] де функції\(f_{\pm}\) описують розповсюджуючі форми сигналу. (Однак якщо початкова хвиля являє собою суміш, типу (110), поздовжньої і поперечної складових, то ці компоненти, поширюючись з різними швидкостями, будуть «бігати один від одного».) Як можна зробити висновок з аналізу періодичної моделі системи в главі 6, дисперсія хвиль стає важливою на дуже високих (гіперзвукових) частотах, де хвильове число\(k\) стає близьким до зворотної відстані\(d\) між частинками середовища (наприклад, атомами або молекулами), і, отже, наближення середовища як континууму, що використовується через цю главу, стає недійсним.

Як ми вже знаємо з глави 6, крім швидкості, хвилі кожного типу характеризуються ще одним важливим параметром - хвильовим\(Z\) опором континууму, для акустичних хвиль часто називають його акустичним імпедансом. Узагальнюючи Eq. (6.46) до 3D-випадку, ми можемо визначити імпеданс як величину відношення сили на одиницю площі (тобто відповідну складову тензора напружень), що чиниться хвилею, та швидкості частинок. Для поздовжніх хвиль,\[Z_{1} \equiv\left|\frac{\sigma_{z z}}{\partial q_{z} / \partial t}\right|=\left|\frac{\sigma_{z z}}{s_{z z}} \frac{s_{z z}}{\partial q_{z} / \partial t}\right|=\left|\frac{\sigma_{z z}}{s_{z z}} \frac{\partial q_{z} / \partial z}{\partial q_{z} / \partial t}\right| \text {. }\] Підключаючись до Eqs. (108), (112) і (113),\[Z_{1}=[(K+4 \mu / 3) \rho]^{1 / 2},\] отримаємо чітку аналогію з першим з Eqs. (6.48). Аналогічно, для поперечних хвиль, відповідним чином модифіковане визначення\(Z_{\mathrm{t}} \equiv\left|\sigma_{x z} /\left(\partial q_{x} / \partial z\right)\right|\), дає\[Z_{\mathrm{t}}=(\mu \rho)^{1 / 2}\] Так само, як і в моделі 1D, вивченій у розділі 6, одна роль хвильового імпедансу полягає в масштабі потужності, що переноситься хвилею. Для плоских 3D хвиль в нескінченних середовищах, з їх нескінченною площею хвильового фронту, доцільніше говорити про щільність потужності, тобто потужності на\(/=d \mathscr{P} / d A\) одиницю площі фронту, і характеризувати її не тільки її величиною,\[\mu=\frac{d \mathbf{F}}{d A} \cdot \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t},\] але і напрямком поширення енергії, що (для плоскої хвилі в ізотропному середовищі) збігається з напрямком хвильового вектора:\(\boldsymbol{h} \equiv / \mathbf{n}_{\mathbf{k}}\). Використовуючи визначення (18) тензора напружень, декартові компоненти цього вектора Умова\({ }^{36}\) можуть бути виражені як

\[\mu_{j}=\sum_{j^{\prime}} \sigma_{i j^{\prime}} \frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial t} .\]Повертаючись до плоских хвиль\(z\), що поширюються вздовж осі, і діючи точно так само, як в п. 6., як для поздовжніх, так і для поперечних хвиль ми знову приходимо до Eq.\(\mathscr{P}\) (6.49), але\(/\) замість (через інше визначення хвильового опору - на одиницю площі, а не за ланцюжок частинок). Для синусоїдальних хвиль типу (108) він дає\[\mu_{z}=\frac{\omega^{2} Z}{2} a a^{*},\] з\(Z\) відповідним імпедансом\(-\)\(Z_{1}\) або\(Z_{\mathrm{t}}\).

Так само, як і в 1D випадку, ще одним важливим ефектом, в якому поняття імпедансу має вирішальне значення, є відображення хвилі від на межі інтерфейсу між двома носіями. Дві граничні умови, необхідні для аналізу цих процесів, можуть бути отримані з неперервності векторів\(\mathbf{q}\) і\(d \mathbf{F}\). (Перша умова очевидна, тоді як остання може бути отримана шляхом застосування закону\(2^{\text {nd }}\) Ньютона до нескінченно малого обсягу\(d V=d A d z\), де сегмент\(d z\) перетинає інтерфейс.) Почнемо з найпростішого випадку нормального падіння на площину розділу двох однорідних середовищ з різними модулями пружності та щільністю маси. Завдяки симетрії видно, що поздовжня/поперечна падаюча хвиля може порушувати лише аналогічно поляризовані відбиті та перенесені хвилі. В результаті ми можемо буквально повторити розрахунки п. 6.4, знову прийшовши до фундаментальних відносин (6.55) і (6.56), з єдиною заміною\(Z\) і\(Z^{\prime}\) з відповідними значеннями або\(Z_{1}\) (120) або\(Z_{\mathrm{t}}\) (121). Таким чином, при нормальному падінні відображення хвилі визначається виключно акустичними імпедансами носіїв, при цьому швидкості звуку не задіяні.

Ситуація, однак, ускладнюється при ненульовому куті падіння\(\theta^{\text {i) }}\) (рис. 12), де передана хвиля, як правило, також заломлюється, тобто поширюється під іншим кутом\(\theta \neq \theta^{(\mathrm{i})}\), за межі межі розділу. Більш того,\(\theta^{(\mathrm{i})} \neq 0\) за напрямками руху частинок (вектор\(\mathbf{q}\)) і сили напруги (вектора\(d \mathbf{F}\)) в падаючій хвилі не є ні точно паралельними, ні точно перпендикулярними до межі розділу, і таким чином ця хвиля служить приводом для відбитої і заломленої хвиль обох поляризації - див. Рис. 12, намальований для конкретного випадку, коли падаюча хвиля поперечна. Відповідні чотири кути\(\theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}, \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}, \theta_{1}^{\prime}, \theta_{\mathrm{t}}^{\prime}\), можуть бути легко пов'язані з «кінематичним» умовою, що падаюча хвиля, а також відбиті і заломлені хвилі обох типів повинні мати однаковий просторовий розподіл по площині розділу, тобто для інтерфейсних частинок, що беруть участь в\(\theta^{(\mathrm{i})}\) всі п'ять хвиль. Відповідно до Eq. (108), необхідною граничною умовою є рівність тангенціальних складових (на рис.\(12, k_{x}\)) всіх п'яти хвильових векторів:\[k_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}=k_{1} \sin \theta_{1}^{(\mathrm{r})}=k_{1}^{\prime} \sin \theta_{1}^{\prime}=k_{\mathrm{t}}^{\prime} \sin \theta_{\mathrm{t}}^{\prime}=k_{x} \equiv k_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{i})} .\] Оскільки величини\(k\) векторів акустичної хвилі на фіксованій\(\omega\) частоті обернено пропорційні відповідній хвилі швидкостей, ми відразу отримуємо такі співвідношення:\[\theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}=\theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{i})}, \quad \frac{\sin \theta_{1}^{(\mathrm{r})}}{v_{1}}=\frac{\sin \theta_{1}^{\prime}}{v_{1}^{\prime}}=\frac{\sin \theta_{\mathrm{t}}^{\prime}}{v_{\mathrm{t}}^{\prime}}=\frac{\sin \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{i})}}{v_{\mathrm{t}}}\] так, що взагалі всі чотири кути різні. (Це, звичайно, аналог відомого закону Снелла в оптиці - де, однак, можливі лише поперечні хвилі.) Ці відносини показують, що так само, як і в оптиці, напрямок хвилі, що поширюється в середовище з меншою швидкістю, ближче до норми (на рис. 12\(z\) - вісь -). Зокрема, це означає\(v^{\prime}>v\), що якщо акустичні хвилі при більших кутах падіння можуть проявляти ефект повного внутрішнього відбиття, настільки добре відомого з оптики 37, коли заломлена хвиля зникає. Крім того, Eqs. (126) показують, що в акустиці відбита поздовжня хвиля зі швидкістю\(v_{1}>v_{t}\) може зникати при досить великих кутах падіння поперечної хвилі.

Малюнок 7.12. Виведення «кінематичних» умов (126) відбиття та заломлення акустичної хвилі (для випадку поперечної падаючої хвилі).

Всі ці факти автоматично випливають із загальних виразів для амплітуд відбитих і заломлених хвиль через амплітуду падаючої хвилі. Ці відносини просто вивести (знову ж таки, з безперервності векторів\(\mathbf{q}\) і\(d \mathbf{F}\)), але оскільки вони набагато громіздкіші, ніж ті, що в теорії електромагнітних хвиль (де їх називають формулами Френеля\({ }^{38}\)), я б не мав часу/простору, щоб їх прописати та обговорити . Зауважу лише, що, на відміну від випадку нормального падіння, ці відносини передбачають вісім параметрів середовища: і імпеданси\(Z, Z^{\prime}\), і швидкості\(v, v^{\prime}\) по обидва боки розділу, причому як для поздовжніх, так і для поперечних хвиль.

Є ще один фактор, який робить граничні акустичні ефекти більш складними. У певних діапазонах частот інтерфейси (і зокрема поверхні) пружних твердих тіл можуть підтримувати так звані поверхневі акустичні хвилі (SAW), зокрема хвилі Релея та хвилі Любові. \({ }^{39}\)Головна особливість, яка відрізняє такі хвилі від їх об'ємних (поздовжніх і поперечних) побратимів, розглянутих вище, полягає в тому, що амплітуди зміщення найбільші на межі розділу і розпадаються експоненціально в основну масу обох сусідніх середовищ. Характерна глибина цього проникнення - порядку довжини хвилі, хоча і не зовсім дорівнює їй.

У хвиль Релея вектор зміщення частинок\(\mathbf{q}\) має дві складові: одну поздовжню (а значить, паралельну інтерфейсу) і іншу поперечну (перпендикулярну межі розділу). На відміну від об'ємних хвиль, ці компоненти пов'язані (через їх взаємодію з інтерфейсом) і, отже, поширюються з єдиною швидкістю\(v_{\mathrm{R}}\). В результаті траєкторія кожної частинки в хвилі Релея являє собою еліпс в площині, перпендикулярній межі розділу. Простий аналіз\({ }^{40}\) хвиль Релея на поверхні пружного твердого тіла (тобто його межі з вакуумом) дає наступне рівняння для\(v_{\mathrm{R}}\):\[\left(2-\frac{v_{\mathrm{R}}^{2}}{v_{\mathrm{t}}^{2}}\right)^{4}=16\left(1-\frac{v_{\mathrm{R}}^{2}}{v_{\mathrm{t}}^{2}}\right)^{2}\left(1-\frac{v_{\mathrm{R}}^{2}}{v_{1}^{2}}\right)^{2} .\] Відповідно до цієї формули, і Eqs. (112) і (116), для реалістичних матеріалів з індексом Пуассона між 0 і\(1 / 2\) , хвилі Релея трохи (на 4 до\(13 \%\)) повільніше, ніж об'ємні поперечні хвилі\(-\) і, отже, істотно повільніші, ніж об'ємні поздовжні хвилі.

На відміну від цього, хвилі Любові суто поперечні, з\(\mathbf{q}\) орієнтованими паралельно інтерфейсу. Однак взаємодія цих хвиль з інтерфейсом зменшує їх швидкість порівняно з швидкістю\(\left(v_{\mathrm{t}}\right)\) об'ємних поперечних хвиль, зберігаючи її\(v_{\mathrm{L}}\) у вузькому інтервалі між\(v_{\mathrm{t}}\) і\(v_{\mathrm{R}}\):\[v_{\mathrm{R}}<v_{\mathrm{L}}<v_{\mathrm{t}}<v_{1}\] Практичне значення поверхневих акустичних хвиль полягає в тому, що їх амплітуда дуже повільно розпадається з віддаленістю\(r\) від їх точкового джерела:\(a \propto 1 / r^{1 / 2}\), в той час як будь-які об'ємні хвилі розпадаються набагато швидше, як\(a \propto\)\(1 / r\). (Дійсно, в останньому випадку потужність\(\mathscr{P} \propto a^{2}\), що випромінюється таким джерелом, розподіляється по сферичній площі поверхні пропорційно\(r^{2}\), тоді як в першому випадку вся потужність йде в тонку поверхневу окружність, довжина якої масштабується як\(r\).) Слід згадати щонайменше дві області застосування поверхневих акустичних хвиль: в геофізиці (для виявлення землетрусів та сейсмології земної кори) та електроніці (для обробки сигналів, з акцентом на частотну фільтрацію). На жаль, я не можу зупинитися на цих цікавих темах і доводиться направляти читача до спеціальної літератури. \({ }^{41}\)

---

\({ }^{33}\)Однак зауважте, що Eq. (107) є більш складним, ніж просте хвильове рівняння (6.40).

\({ }^{34}\)Через це часто можна зустріти термін зсувні хвилі. Зауважте також, що на відміну від поперечних хвиль у простій моделі 1D, проаналізованої в главі 6 (див. Рис. 6.4a), ті, що знаходяться в 3D-континуумі, не потребують попереднього натягу\(\mathscr{T}\). Повернемося до ефекту напруги в наступному розділі.

\({ }^{35}\)Через цю різницю між\(v_{1}\) і\(v_{\mathrm{t}}\), в геофізиці, поздовжні хвилі відомі як\(P\) -хвилі (з буквою P, що стоїть як «первинний»), оскільки вони прибувають на місце виявлення, скажімо, від землетрусу, спочатку - перед поперечними хвилями, званими\(S\) -хвилі, з S, що стоїть для «вторинного».

\({ }^{36}\)Названий на честь Миколи Олексійовича Умова, який ввів це поняття в 1874 році - за десять років до того, як подібне поняття для електромагнітних хвиль (див., наприклад, ЕМ. Розділ 6.4) було запропоновано Й.Пойнтінгом. У вільному від дисипації пружному середовищі вектор Умова підпорядковується наступному рівнянню неперервності:\(\partial\left(\rho v^{2} / 2+u\right) / \partial t+\nabla \cdot \boldsymbol{h}=0\), з\(u\) заданим Eq. (52), що виражає збереження загальної (кінетичної плюс потенційної) енергії пружної деформації.

\({ }^{37}\)Див., наприклад, EM Sec. \(7.5\).

\({ }^{38}\)Їх обговорення також можна знайти в EM Sec. \(7.5\).

\({ }^{39}\)Названий, відповідно, на честь лорда Релі (народився Джей Струтт, 1842-1919), який теоретично передбачив саме існування поверхневих акустичних хвиль, і А.Лава (1863-1940).

\({ }^{40}\)На жаль, у мене немає часу/простору, щоб відтворити цей розрахунок; див., наприклад, Розділ 24 в Л.Ландау та Е. Ліфшиц, Теорія пружності,\(3^{\text {rd }}\) ред., Баттерворт-Хайнеманн,\(1986 .\)

\({ }^{41}\)Див., наприклад, К. Акі і П. Річардс, Кількісна сейсмологія,\(2^{\text {nd }}\) ред., Університетські наукові книги, 2002 і Д. Морган, Поверхневі акустичні хвилі,\(2^{\text {nd }}\) ред., Академічна преса,\(2007 .\)