7.6: Торсіон стрижня

Ще одним класом аналітично розв'язних задач пружності є кручення квазірівномірних прямих стрижнів парою аксіально орієнтованих моментів (\(\tau=\pm \mathbf{n}_{z} \tau_{z}-\)див. Рис. 10).

Малюнок 7.10. Торсіонний стрижень.

Ця проблема простіше, ніж вигин в тому сенсі, що через його поздовжньої однорідності,\(d \varphi_{z} / d z=\) const, досить\(\tau_{z}\) пов'язати крутний момент з так званим параметром крутіння.\[\kappa \equiv \frac{d \varphi_{z}}{d z} .\] Якщо деформація пружна і мала (в сенсі\(\kappa a<<1\), де знову\(a\) ж характерний розмір поперечного перерізу стрижня),\(\kappa\) пропорційна\(\tau_{z}\). Звідси наше завдання - розрахувати їх співвідношення,\[C \equiv \frac{\tau_{z}}{\kappa} \equiv \frac{\tau_{z}}{d \varphi_{z} / d z},\] зване крутильної жорсткістю стрижня.

Як перше припущення (як ми побачимо нижче, обмеженого терміну дії), можна припустити, що кручення не змінює ні форми, ні розміру поперечних перерізів стрижня, а призводить якраз до їх взаємного обертання навколо певної центральної лінії. Використовуючи опорний кадр з початком на цій лінії, це припущення відразу дозволяє обчислити декартові складові вектора зміщення\(d \mathbf{q}\), використовуючи Eq. (6)\[d q_{x}=-y d \varphi_{z}=-\kappa y d z, \quad d q_{y}=x d \varphi_{z}=\kappa x d z, \quad d q_{z}=0 .\] з\(d \varphi=\mathbf{n}_{z} d \varphi_{z}\): Звідси ми можемо обчислити всі декартові компоненти (9) симетризованого тензора деформації: \[s_{x x}=s_{y y}=s_{z z}=0, \quad s_{x y}=s_{y x}=0, \quad s_{x z}=s_{z x}=-\frac{\kappa}{2} y, \quad s_{y z}=s_{z y}=\frac{\kappa}{2} x .\]Перше з цих рівностей означає, що елементарний обсяг не змінюється, тобто ми маємо справу з чисто деформацією зсуву. В результаті всі ненульові складові тензора напружень, обчислені з Eqs. (32), пропорційні лише модулю зсуву:\[\sigma_{x x}=\sigma_{y y}=\sigma_{z z}=0, \quad \sigma_{x y}=\sigma_{y x}=0, \quad \sigma_{x z}=\sigma_{z x}=-\mu \kappa y, \quad \sigma_{y z}=\sigma_{z y}=\mu \kappa x .\] (Зверніть увагу, що для цієї задачі з чисто деформацією зсуву використовують альтернативні модулі пружності\(E\) і\(v\) були б досить неприродними. При бажанні ми завжди можемо використовувати другий з Eqs. (48):\(\mu=E / 2(1+v)\).)

Тепер просто використовувати цей результат для обчислення повного крутного моменту як інтеграла по площі поперечного перерізу\(A\):\[\tau_{z} \equiv \int_{A}(\mathbf{r} \times d \mathbf{F})_{z}=\int_{A}\left(x d F_{y}-y d F_{x}\right)=\int_{A}\left(x \sigma_{y z}-y \sigma_{x z}\right) d x d y\] Використовуючи Eq. (87), ми отримуємо\(\tau_{z}=\mu \kappa I_{z}\), тобто\[C=\mu I_{z}, \text { where } I_{z} \equiv \int_{A}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y\] знову ж таки, так само, як і у випадку з тонким стрижнем, ми отримали інтеграл, в даному випадку\(I_{z}\) схожий на a момент інерції, на цей раз для обертання навколо\(z\) -осі, що проходить через певну точку поперечного перерізу. Для будь-якого аксіально-симетричного перерізу це, очевидно, має бути центральною точкою. Тоді, наприклад, для практично важливого випадку однорідної круглої труби з внутрішнім радіусом\(R_{1}\) і зовнішнім радіусом\(R_{2}\),\[C=\mu 2 \pi \int_{R_{1}}^{R_{2}} \rho^{3} d \rho=\frac{\pi}{2} \mu\left(R_{2}^{4}-R_{1}^{4}\right) .\] екв. (89) дає, зокрема, для твердого стрижня радіуса\(R\) (який може розглядатися як труба з\(R_{1}=0\) і\(R_{2}=R\)), цей результат дає наступну жорсткість на кручення\(t<<R\),\[C=\frac{\pi}{2} \mu R^{4},\] тоді як для порожнистої труби невеликої товщини еквалайзер (90) зводиться до\[C=2 \pi \mu R^{3} t .\] зауваження, що на одиницю площі поперечного перерізу\(A\) (а значить, на одиницю маси стрижня) ця жорсткість вдвічі вище, ніж у твердого стрижня:\[\left.\frac{C}{A}\right|_{\text {thin round pipe }}=\mu R^{2}>\left.\frac{C}{A}\right|_{\text {solid round rod }}=\frac{1}{2} \mu R^{2}\] Цей факт одна з причин широкого використання тонких труб в інженерному та фізичному проектуванні експериментів.

Однак для стрижнів з аксіально-асиметричними перетинами упр. (89) дає неправильні результати. Наприклад, для вузького прямокутника площі\(A=w \times t\) з\(t<<w\), він дає\(C=\mu t w^{3} / 12\) [НЕПРАВИЛЬНО!] , навіть функціонально відрізняється від правильного результату - див. ур. (104) нижче. Причина відмови вищевказаного аналізу полягає в тому, що не описується можливий вигин\(q_{z}(x, y)\) поперечного перерізу стрижня в напрямку по стрижню. (Для аксіально-симетричних стрижнів такий вигин, очевидно, заборонений симетрією, так що Eq. (89) є дійсним, а результати (90) - (92) абсолютно правильні.) Опишемо\(^{32}\) цей контрінтуїтивний ефект, взявши\[q_{z}=\kappa \psi(x, y),\] (де\(\psi\) потрібно визначити якусь функцію), але все ще зберігаючи Eq. (87) для двох інших компонентів вектора зміщення. Додавання\(\psi\) не порушує рівність нулю діагональних складових тензора деформації, а також\(s_{x y}\) і\(s_{y x}\), але сприяє іншим позадіагональним компонентам: а отже,\[s_{x z}=s_{z x}=\frac{\kappa}{2}\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right), \quad s_{y z}=s_{z y}=\frac{\kappa}{2}\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right),\] і відповідним елементам тензора напружень:\[\sigma_{x z}=\sigma_{z x}=\mu \kappa\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right), \quad \sigma_{y z}=\sigma_{z y}=\mu \kappa\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) .\] Тепер знайдемо вимога, що\(\psi(x, y)\) пред'являється до функції тим, що складова сили напруги, паралельна осі стрижня,\[d F_{z}=\sigma_{z x} d A_{x}+\sigma_{z y} d A_{y}=\mu \kappa d A\left[\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \frac{d A_{x}}{d A}+\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) \frac{d A_{y}}{d A}\right],\] повинна зникати на поверхні (ах) стрижня, тобто на кожній межі його поперечного перерізу. Координати будь-якої\(\{x, y\}\) точки на кордоні можуть розглядатися як унікальні функції,\(x(l)\) а\(y(l)\), дуги\(l\) цієї лінії - див. Рисунок 11.

Малюнок\(7.11\). Виведення еквалайзера (99).

Як показує цей ескіз, елементарні коефіцієнти площі, що беруть участь у Eq. (96), можуть бути легко виражені за допомогою похідних цих функцій:\(d A_{x} / d A=\sin \alpha=d y / d l, d A_{y} / d A=\cos \alpha=-d x / d l\), так що ми можемо написати\[\left[\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\left(\frac{d y}{d l}\right)+\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)\left(-\frac{d x}{d l}\right)\right]_{\mathrm{border}}=0\] Введення замість\(\psi\) нової функції\(\chi(x, y)\), визначеної її похідними як

\[\frac{\partial \chi}{\partial x} \equiv \frac{1}{2}\left(-x-\frac{\partial \psi}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial \chi}{\partial y} \equiv \frac{1}{2}\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\]ми можемо переписати Eq. (97)\[\left.2\left(\frac{\partial \chi}{\partial y} \frac{d y}{d l}+\frac{\partial \chi}{\partial x} \frac{d x}{d l}\right)_{\text {border }} \equiv 2 \frac{d \chi}{d l}\right|_{\text {border }}=0,\] так, щоб функція була\(\chi\) постійною на кожній межі поперечного перерізу.

Зокрема, для однозв'язного перерізу, обмеженого всього однією безперервною лінією кордону (як на рис. 11), ця константа є довільною, тому що згідно з Екваз. (98) її вибір не впливає на функцію поздовжньої деформації, а отже,\(\psi(x, y)\) і на деформацію в цілому. Тепер давайте використаємо визначення (98) функції\(\chi\) для обчислення 2D оператора Лапласа цієї функції:\[\nabla_{x, y}^{2} \chi \equiv \frac{\partial^{2} \chi}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} \chi}{\partial^{2} y}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(-x-\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y}\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) \equiv-1 .\] Це 2D рівняння Пуассона (часто зустрічається, наприклад, в електростатиці), але з дуже простою, постійною правою стороною. Підключивши Eqs. (98) до Eqs. (95), а ті, до Eq. (88), ми можемо висловити крутний момент\(\tau\), а отже\(C\), і жорсткість кручення, за допомогою тієї ж функції:\[C \equiv \frac{\tau_{z}}{\kappa}=-2 \mu \int_{A}\left(x \frac{\partial \chi}{\partial x}+y \frac{\partial \chi}{\partial y}\right) d x d y .\] Іноді простіше використовувати цей результат у будь-якій з двох його різних форм. Перший з них може бути легко отриманий з Eq. (101a), використовуючи інтеграцію частинами:\[\begin{aligned} C &=-2 \mu\left(\int d y \int x d \chi+\int d x \int y d \chi\right)=-2 \mu\left[\int d y\left(x \chi_{\text {border }}-\int \chi d x\right)+\int d x\left(y \chi_{\text {border }}-\int \chi d y\right)\right] \\ &=4 \mu\left[\int_{A} \chi d x d y-\chi_{\text {border }} \int d x d y\right], \end{aligned}\] тоді як доказ ще однієї форми залишається для вправи читача.\[C=4 \mu \int_{A}\left(\nabla_{x, y} \chi\right)^{2} d x d y\]

Таким чином, якщо нам потрібно знати жорсткість стрижня поодинці, достатньо обчислити функцію\(\chi(x, y)\) з Eq. (100) з граничною умовою\(\left.\chi\right|_{\text {border }}=\) const, а потім підключити її до будь-якого з Eqs. (101). Тільки якщо нам також цікаво поздовжня деформація (93) поперечного перерізу, ми можемо продовжити використання Eq. (98), щоб знайти функцію,\(\psi(x, y)\) що описує цю деформацію. Давайте подивимося, як працює цей загальний результат для двох прикладів, розглянутих вище. Для круглого перерізу радіуса як рівняння Пуассона (100)\(R\), так і гранична умова\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\),\(\chi=\) const at, очевидно задовольняються аксіально-симетричною функцією\[\chi=-\frac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\text { const. }\]. У цьому випадку будь-який з Eqs. (101) дає\[C=4 \mu \int_{A}\left[\left(-\frac{1}{2} x\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2} y\right)^{2}\right] d x d y=\mu \int_{A}\left(x^{2}+y^{2}\right) d^{2} r,\] тобто той самий результат (89), який ми мали для \(\psi=0\). Дійсно, підключивши Eq. (102) в Eqs. (98), ми бачимо, що в даному випадку так\(\partial \psi / \partial x=\partial \psi / \partial y=0\), що\(\psi(x, y)=\) const, тобто перетин не згинається. (Як обговорювалося в п. 1, єдиний переклад\(d q_{z}=\kappa \psi=\) const не є деформацією.)

Тепер, звертаючись до стрижня з вузьким\(A=w \times t\) прямокутним перерізом з\(t<<w\), ми можемо використовувати цю сильну нерівність для вирішення рівняння Пуассона (100) приблизно, нехтуючи другою похідною\(\chi\) вздовж ширшого виміру (скажімо,\(y\)). Решта 1D диференціальне\(d^{2} \chi / d^{2} x=-1\) рівняння з граничними умовами\(\left.\chi\right|_{x=+t / 2}=\left.\chi\right|_{x=-t / 2}\) має очевидний розв'язок:\(\chi=-x^{2} / 2+\) const. Підключивши цей вираз до будь-якої форми Eq. (101), ми отримуємо наступний (правильний) результат для жорсткості кручення:\[C=\frac{1}{6} \mu w t^{3} \text {. }\] Тепер давайте подивимося на закон вигину поперечного перерізу (93) для цього конкретного випадку. Використовуючи Eqs. (96) ми отримуємо\[\frac{\partial \psi}{\partial y}=-x-2 \frac{\partial \chi}{\partial x}=x, \quad \frac{\partial \psi}{\partial x}=y+2 \frac{\partial \chi}{\partial y}=y .\] Інтегруючи ці диференціальні рівняння по поперечному перерізу, і взявши константу інтеграції (знову ж таки, не сприяє деформації) за нуль, отримуємо красиво простий результат:\[\psi=x y, \quad \text { i.e. } q_{z}=\kappa x y .\] Це означає, що поздовжня деформація стрижня має «пропелер» вигин» форма: при цьому області біля протилежних кутів (по тій же діагоналі) поперечного перерізу згинаються в сторону одного напрямку\(z\) осі, кути на іншій діагоналі згинаються в протилежну сторону. (Цей якісний висновок залишається справедливим для прямокутних перерізів з будь-яким «співвідношенням сторін»\(t / w\).)

Для стрижнів з декількома поверхнями, тобто з перетинами, обмеженими декількома кордонами (скажімо, порожнистими трубами), знаходження функції\(\chi(x, y)\) вимагає трохи більшої обережності, а екв. (103b) доводиться модифікувати, оскільки він може дорівнювати різній константі на кожній межі. Дозвольте залишити розрахунок жорсткості на кручення для цього випадку для вправи читача.

---

\({ }^{32}\)Я б не був страшенно шокований, якби читач пропустив баланс цього розділу при першому читанні. Хоча описаний в ньому розрахунок дуже елегантний, повчальний і типовий для просунутої теорії пружності, його результати не будуть використані в інших розділах цього курсу або інших частинок цієї серії.