7.5: Згинання стрижня

Загальний підхід до аналізу статичних деформацій, викладений на початку попереднього розділу, може бути спрощений не тільки для симетричних геометрій, але і для однорідних тонких структур, таких як тонкі пластини (також звані «мембрани» або «тонкі листи») і тонких стрижнів. Через брак часу, в даному курсі я продемонструю типові підходи до таких систем тільки на прикладі тонких стрижнів. (Теорія тонких пластин і оболонок концептуально схожа, але математично більш задіяна. \({ }^{27}\))

Окрім напруження при розтягуванні, проаналізованого в п. 3, двома іншими основними типами деформації стрижня є вигин та кручення. Почнемо з «локального» аналізу вигину, викликаного парою рівних і протилежних зовнішніх крутних моментів,\(\tau=\pm \mathbf{n}_{y} \tau_{y}\) перпендикулярних осі стрижня\(z\) (рис. 8), припускаючи, що стрижень «квазірівномірний», тобто що в поздовжньому масштабі цього аналізу (порівнянний з лінійною шкалою\(a\) перетин) його параметри матеріалу і перетин істотно\(A\) не змінюються.

Малюнок 7.8. Згинання стрижня, в локальній опорній рамці (специфічна для кожного поперечного перерізу).

Так само, як і в експерименті з розтягуванням напруги (рис. 6), компоненти сил напруги\(d \mathbf{F}\), нормальні довжині стрижня, повинні дорівнювати нулю на поверхні стрижня. Повторюючи аргументи, зроблені для обговорення розтягуючих напружень, ми повинні зробити висновок, що тільки одна діагональна складова тензора (на рис. 8,\(\sigma_{z z}\)) може відрізнятися від нуля:\[\sigma_{i j^{\prime}}=\delta_{j z} \sigma_{z z} .\] Однак, на відміну від напруги розтягування, при чистому статичному вигині чиста сила, спрямована вздовж стрижня, повинна зникнути: \[F_{z}=\int_{S} \sigma_{z z} d^{2} r=0,\]де\(S\) - поперечний переріз стрижня, так що\(\sigma_{z z}\) повинен змінити його знак в якійсь точці\(x\) -осі (на рис. 8, обраний для лежання в площині зігнутого стрижня). Таким чином, деформація вигину може розглядатися як поєднання розтягування деяких шарів стрижня (нижніх шарів на рис. 8) зі стисненням інших (верхніх) шарів.

Оскільки важко зробити більш негайні висновки про розподіл напружень, перейдемо до деформації, припускаючи, що поперечний переріз стрижня практично постійний на довжині нашого локального аналізу. З наведеного вище уявлення про вигин як поєднання розтягування і стиснення видно, що поздовжня деформація\(q_{z}\) повинна зникати по деякій нейтральній лінії на поперечному перерізі стрижня - на малюнку 8, представленому пунктирною лінією. \({ }^{28}\)Вибравши походження\(x\) -координати на цій лінії та розширюючи відносну деформацію в ряді Тейлора в\(x\), через малу перерізу ми можемо зберегти лише перший, лінійний термін:\[s_{z z} \equiv \frac{d q_{z}}{d z}=-\frac{x}{R} .\] константа\(R\) має сенс радіуса кривизни зігнутий стрижень. Адже на невеликому\(d z\) відрізку перетин виходить на невеликий кут\(d \varphi_{y}=-d q_{z} / x\) (рис. 8б). Використовуючи Eq. (66), отримаємо\(d \varphi_{y}=d z / R\), що є звичайним визначенням радіуса кривизни\(R\) в диференціальній геометрії, для нашого особливого вибору координатних осей. \({ }^{29}\)Вирази для інших складових тензора деформації важче вгадати (як і при напрузі розтягування, не всі вони рівні нулю!) , Але те, про що ми вже знаємо\(\sigma_{z z}\) і вже\(S_{z z}\) достатньо для початку формальних розрахунків. Дійсно, підключивши Eq. (64) до закону Гука у вигляді (49b), і порівнявши результат для\(s_{z z}\) з Eq. (66), ми знаходимо\[\sigma_{z z}=-E \frac{x}{R}\] З того ж еквалайзера (49b), ми також могли б знайти поперечні компоненти тензора деформації, і зробити висновок, що вони пов'язані\(s_{z z}\) точно так само, як при розтягуванні напруга:\[s_{x x}=s_{y y}=-v s_{z z},\] а потім, інтегруючи ці відносини по перетину стрижня, знайти деформацію форми поперечного перерізу. Більш важливим для нас, однак, є розрахунок співвідношення між кривизною стрижня і чистим крутним моментом, що діє на заданий поперечний переріз\(S\) (беручи\(d A_{z}>0\)):\[\tau_{y} \equiv \int_{S}(\mathbf{r} \times d \mathbf{F})_{y}=-\int_{S} x \sigma_{z z} d^{2} r=\frac{E}{R} \int_{S} x^{2} d^{2} r=\frac{E I_{y}}{R},\] де\(I_{y}\) геометрична константа, визначена як\[I_{y} \equiv \int_{S} x^{2} d x d y .\] Зверніть увагу, що цей коефіцієнт, що визначає вигин жорсткість стрижня, зростає так само швидко, як і\(a^{4}\) при лінійній шкалі\(a\) поперечного перерізу. \({ }^{30}\)

У цих виразах\(x\) доводиться відраховувати від нейтрального рядка. Давайте подивимося, де саме проходить ця лінія через поперечний переріз стрижня. Підключивши результат (67) до Eq. (65), отримаємо умову, що визначає нейтральну лінію:\[\int_{S} x d x d y=0\] Ця умова дозволяє просту інтерпретацію. Уявіть собі тонкий лист якогось матеріалу, з постійною масовою щільністю\(\sigma\) на одиницю площі, вирізаний у вигляді перетину стрижня. Якщо помістити опорну рамку в її центр мас, то, за його визначенням,\[\sigma \int_{S} \mathbf{r} d x d y=0\] порівнявши цю умову з екв. (71), ми бачимо, що одна з нейтральних ліній повинна проходити через центр мас листа, який можна назвати «центром мас поперечного перерізу». Використовуючи ту ж аналогію, ми бачимо, що інтеграл,\(I_{y}\) заданий Eq. (72), можна інтерпретувати як момент інерції того ж уявного аркуша матеріалу,\(\sigma\) формально рівного 1, для його обертання навколо нейтральної лінії - пор. ур. (4.24). Ця аналогія настільки зручна, що інтеграл прийнято називати моментом інерції перетину і позначається аналогічно - так само, як це було зроблено вище. Отже, наш основний результат (69) може бути переписаний як\[\frac{1}{R}=\frac{\tau_{y}}{E I_{y}} .\] Це відношення є дійсним лише в тому випадку, якщо деформація невелика в сенсі\(R \gg a\). Ще, оскільки відхилення стрижня від його ненапруженої форми можуть накопичуватися по його довжині, для розрахунків великих «глобальних» відхилень стрижня від рівноваги, за шкалою довжини значно більшою\(a\). Для опису таких деформацій еквалайзер (73) повинен бути доповнений умовами балансу згинальних сил і крутних моментів. На жаль, для цього потрібно трохи більше диференціальної геометрії, ніж у мене є час, і я буду обговорювати цю процедуру лише для найпростішого випадку відносно невеликих\(q \equiv q_{x}\) поперечних відхилень стрижня від його початкової прямої форми, яка буде використовуватися для\(z\) -осі (рис. 9а), наприклад деякою насипно-розподіленою силою\(\mathbf{f}=\mathbf{n}_{x} f_{x}(z)\). (Найпростіший приклад - рівномірне гравітаційне поле, для якого\(f_{x}=-\rho g=\) конст.) Відзначимо, що в майбутньому обговоренні система відліку буде глобальною, тобто загальною для всього стрижня, а не локальною (що відноситься до кожного перерізу), як це було в попередньому аналізі - див. рис. 8.

Малюнок 7.9. Глобальна картина вигину стрижня: (а) сили, що діють на невеликий фрагмент стрижня, і (б) два приклади задач вигину, кожен з двома типовими, але різними граничними умовами.

Перш за все, ми можемо записати диференціальне статичне відношення для середньої вертикальної сили, що\(\mathbf{F}=\mathbf{n}_{x} F_{x}(z)\) чиниться на частину стрижня, розташовану зліва від його поперечного перерізу - розташованої в точці\(z\). Це співвідношення виражає рівновагу вертикальних сил, що діють на невеликий фрагмент\(d z\) стрижня (рис. 9а), необхідного для відсутності його лінійного прискорення:\(F_{x}(z+d z)-F_{x}(z)+f_{x}(z) A d z=0\), що дає\[\frac{d F_{x}}{d z}=-f_{x} A,\] де\(A\) площа поперечного перерізу. Зауважте, що ця вертикальна складова внутрішніх сил була знехтована при нашому виведенні Eq. (73), і, отже, наші кінцеві результати будуть дійсними лише в\(F_{x} / A\) тому випадку, якщо співвідношення набагато менше, ніж величина,\(\sigma_{z z}\) описана Eq. (67). Однак ці сили створюють той самий крутний момент,\(\tau=\mathbf{n}_{y} \tau_{y}\) який викликає вигин, і таким чином доводиться враховувати при аналізі глобальної картини. Такий облік можна зробити шляхом написання балансу складових крутного моменту, що діють на один і той же стрижень фрагмента довжини\(d z\), необхідного для відсутності його кутового прискорення:\(d \tau_{y}+F_{x} d z=0\), даючи\[\frac{d \tau_{y}}{d z}=-F_{x} .\] ці два рівняння повинні бути доповнені двома геометричними співвідношеннями. Перший з них - це\(d \varphi_{y} / d z=1 / R\), про який вже йшлося вище. Ми можемо негайно поєднати його з основним результатом\((73)\) локального аналізу, отримуючи:\[\frac{d \varphi_{y}}{d z}=\frac{\tau_{y}}{E I_{y}} .\] Остаточне рівняння - це геометричне співвідношення, очевидне з малюнка 9а:\[\frac{d q_{x}}{d z}=\varphi_{y},\] яке (як і всі вирази нашого простого аналізу) справедливо лише для малих кутів вигину,\(\left|\varphi_{y}\right|<<1 .\) Чотири диференціальні рівняння (74) - (77) є достатніми для повного розв'язання задачі слабкого вигину, якщо їх доповнюють відповідні граничні умови. \(9 \mathrm{~b}\)На малюнку показані умови, найбільш часто зустрічаються на практиці. Вирішимо, наприклад, задачу, зображену на верхній панелі малюнка\(9 \mathrm{~b}\): вигин стрижня, «затиснутого» одним кінцем (скажімо, зануреним в жорстку стіну), під власною вагою. Враховуючи, для простоти, рівномірний стрижень,\({ }^{31}\) ми можемо інтегрувати ці рівняння по черзі, кожен раз використовуючи відповідні граничні умови. Для початку, Eq. (74) з\(f_{x}=-\rho g\) доходами,\[F_{x}=\rho g A z+\text { const }=\rho g A(z-l),\] де була обрана константа інтеграції для задоволення правої граничної умови:\(F_{x}=0\) at\(z\)\(=l\). Як перевірити осудність, у лівої стіни\((z=0), F_{x}=-\rho g A l=-m g\), що означає, що вся вага стрижня припадає на стіну - штраф.

Далі, підключивши Eq. (78) до Eq. (75) та інтегруючи, ми отримуємо,\[\tau_{y}=-\frac{\rho g A}{2}\left(z^{2}-2 l z\right)+\text { const }=-\frac{\rho g A}{2}\left(z^{2}-2 l z+l^{2}\right) \equiv-\frac{\rho g A}{2}(z-l)^{2},\] де вибір константи інтеграції забезпечує другу право-граничну умову:\(\tau_{y}=0\)\(z=l-\) див.\(9 \mathrm{~b}\) Рис. Тепер перейшовши таким же чином до Eq. (76), отримуємо,\[\varphi_{y}=-\frac{\rho g A}{2 E I_{y}} \frac{(z-l)^{3}}{3}+\text { const }=-\frac{\rho g A}{6 E I_{y}}\left[(z-l)^{3}+l^{3}\right],\] де обрана константа інтеграції для задоволення умови затиску на лівому кінці стрижня:\(\varphi_{y}\)\(=0\) в\(z=0\). (Зверніть увагу, що це відрізняється від стану опори, показаного на нижній панелі малюнка\(9 \mathrm{~b}\), що дозволяє кут при\(z=0\) відрізнятися від нуля, але вимагає зникнення крутного моменту.) Нарешті, інтегруючи Eq. (77) з\(\varphi_{y}\) заданим Eq. (80), ми отримаємо глобальний закон деформації стрижня,\[q_{x}(z)=-\frac{\rho g A}{6 E I_{y}}\left[\frac{(z-l)^{4}}{4}+l^{3} z+\mathrm{const}\right]=-\frac{\rho g A}{6 E I_{y}}\left[\frac{(z-l)^{4}}{4}+l^{3} z-\frac{l^{4}}{4}\right],\] де обрана константа інтеграції для задоволення другої лівограничної умови:\(q=0\) at\(z=0\). Отже, закон вигину є свого роду складним навіть у цій дуже простій задачі. Також примітно, наскільки швидко зростає зміщення кінця зі збільшенням довжини стрижня:\[q_{x}(l)=-\frac{\rho g A l^{4}}{8 E I_{y}} .\] Щоб укласти рішення, обговоримо обґрунтованість цього результату. По-перше, геометричне відношення (77) є дійсним лише якщо\(\left|\varphi_{y}(l)\right|<<1\), а отже, якщо\(\left|q_{x}(l)\right|<<l\). Далі діє локальна формула Eq. (76), якщо\(1 / R\)\(=\tau(l) / E I_{y}<<1 / a \sim A^{-1 / 2}\). Використовуючи результати (79) і (82), ми бачимо, що остання умова еквівалентна\(\left|q_{x}(l)\right|<<l^{2} / a\), тобто слабкіше першого, тому що весь наш аналіз був заснований на припущенні\(l>>a\).

Іншим моментом занепокоєння може бути те, що позадіагональний компонент напруги\(\sigma_{x z} \sim F_{x} / A\), який створюється вертикальними силами тяжіння, був проігнорований в нашому локальному аналізі. Щоб це наближення було дійсним, цей компонент повинен бути набагато меншим, ніж діагональний компонент,\(\sigma_{z z} \sim a E / R=a \tau / I_{y}\) врахований у цьому аналізі. Використовуючи Eqs. (78) та (80), ми отримуємо такі оцінки:\(\sigma_{x z} \sim \rho g l\),\(\sigma_{z z} \sim a \rho g A l^{2} / I_{y} \sim a^{3} \rho g l^{2} / I_{y}\). За його визначенням\((70), I_{y}\) можна грубо оцінити як\(a^{4}\), так що ми нарешті отримаємо просту умову\(a<<l\), яка була припущена з самого початку нашого рішення.

---

\({ }^{27}\)Для його огляду див., наприклад, Секс. 11-15 в Л.Ландау та Е. Ліфшиц, Теорія пружності,\(3^{\text {rd }}\) ред., Баттерворт Хайнеманн,\(1986 .\)

\({ }^{28}\)Строго кажучи, що пунктирна лінія - це перетин нейтральної поверхні (суцільний набір таких нейтральних ліній для всіх перетинів стрижня) з площиною креслення.

\({ }_{29}\)Дійсно\((d x / d z)^{2}<<1\), для, загальна формула MA Eq. (4.3) для кривизни (з відповідними замінами\(f \rightarrow x\) і\(x \rightarrow z\)) зводиться до\(1 / R=d^{2} x / d z^{2}=d(d x / d z) / d z=d\left(\tan \varphi_{y}\right) / d z \approx d \varphi_{y} / d z\).

\({ }^{30}\)Зокрема, це є причиною того, чому звичайні електричні дроти виготовляються не з суцільної мідної жили, а скоріше з крученого набору більш тонких підпроводів, які можуть ковзати відносно один одного, підвищуючи гнучкість дроту.

\({ }^{31}\)Як повинно бути зрозуміло з їх виведення, Eqs. (74) - (77) дійсні для будь-якого розподілу параметрів і\(\rho\) по довжині стрижня\(A, E, I_{y}\), за умови, що стрижень є квазірівномірним, тобто зміни його параметрів настільки повільні, що локальне відношення (76) все ще діє в будь-якій точці.