7.4: Рівновага

Тепер ми повністю готові обговорити динаміку пружних деформацій, але почнемо зі статики. Статичний (рівноважний) стан можна описати, вимагаючи зникнення правої частини Eq. (25). Щоб знайти пружну деформацію, нам потрібно вимкнути\(\sigma_{i j}\) 'із закону Гука (49а), а потім висловити елементи\(s_{i j}\)' через розподіл зміщень - див. Ур. (9). Для однорідного матеріалу результат є\(^{21}\)\[\frac{E}{2(1+v)} \sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial^{2} q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}^{2}}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)} \sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial^{2} q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j} \partial r_{j^{\prime}}}+f_{j}=0 .\] Беручи до уваги, що перша сума в Eq. (51) є лише\(j^{\text {th }}\) складовою\(\nabla^{2} \mathbf{q}\), тоді як друга сума є\(j^{\text {th }}\) складовою\(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})\), ми бачимо, що всі три рівняння\((51)\) для трьох декартових компонентів \((j=\)1,2 і 3) вектора деформації\(\mathbf{q}\), можна зручно об'єднати в одне векторне рівняння

\[\frac{E}{2(1+v)} \nabla^{2} \mathbf{q}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)} \nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})+\mathbf{f}=0\]Для деяких застосувань зручніше переробити це рівняння в іншу форму, використовуючи відому векторну ідентичність\(^{22} \nabla^{2} \mathbf{q}=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})-\nabla \times(\nabla \times \mathbf{q})\). Результат є\[\frac{E(1-v)}{(1+v)(1-2 v)} \nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})-\frac{E}{2(1+v)} \nabla \times(\nabla \times \mathbf{q})+\mathbf{f}=0 .\] Цікаво, що в задачах без розподілених об'ємом сил\((\mathbf{f}=0)\) модуль Юнга\(E\) скасовується. Ще більш захоплююче, в цьому випадку рівняння може бути переписано у формі, яка\(v\) також не передбачає співвідношення Пуассона. Дійсно, обчислюючи розбіжність інших членів екв. (53) з урахуванням MA Eqs. (9.2) і (11.2), отримаємо дивно просте рівняння.\[\nabla^{2}(\nabla \cdot \mathbf{q})=0\] Природним питанням тут є те, як впливають модулі пружності на розподіл деформацій, якщо вони не беруть участі в диференціальному рівнянні описуючи його. Відповідь різна - два випадки. Якщо те, що зафіксовано на кордоні тіла, є деформаціями, то модулі не мають значення, тому що розподіл деформацій по тілу не залежить від них. З іншого боку, якщо граничні умови описують фіксоване напруження (або комбінацію напружень і деформації), то пружні константи повзають у розчин шляхом перерахунку цих умов в деформацію.

Як простий, але репрезентативний приклад, обчислимо розподіл деформацій в (як правило, товстої) сферичної оболонки під різним тиском всередині і зовні неї (\(-\)див. Рис.

(б)

Малюнок\(7.7\). Задача сферичної оболонки: (а) загальний випадок і (б) межа тонкої оболонки.

Завдяки сферичної симетрії задачі деформація явно сферичносиметрична і радіальна\(\mathbf{q}(\mathbf{r})=q(r) \mathbf{n}_{r}\), тобто повністю описується однією скалярною функцією\(q(r)\). Оскільки завиток такого радіального векторного поля дорівнює нулю,\({ }^{23}\) екв. (53) зводиться до\[\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})=0,\] Це означає, що розбіжність функції\(q(r)\) постійна всередині оболонки. У сферичних координатах:\({ }^{24}\)

\[\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} q\right)=\text { const. }\]Іменуючи цю константу\(3 a\) (з числовим коефіцієнтом, вибраним саме для зручності пізніших позначень) та інтегруючи Eq. (56) над\(r\), ми отримуємо її рішення,\[q(r)=a r+\frac{b}{r^{2}},\] яке також включає ще одну константу інтеграції,\(b\). Константи\(a\) і\(b\) можуть визначатися з граничних умов. Дійсно, згідно з Eq. (19), Для\[\sigma_{r r}= \begin{cases}-\mathcal{P}_{1}, & \text { at } r=R_{1}, \\ -\mathcal{P}_{2}, & \text { at } r=R_{2} .\end{cases}\] того, щоб пов'язати це напруження з деформацією, скористаємося законом Гука, але для цього спочатку потрібно обчислити компоненти тензора деформації для розподілу деформації (57). Використовуючи Eqs. (17), отримуємо\[s_{r r}=\frac{\partial q}{\partial r}=a-2 \frac{b}{r^{3}}, \quad s_{\theta \theta}=s_{\varphi \varphi}=\frac{q}{r}=a+\frac{b}{r^{3}},\] так, що\(\operatorname{Tr}(\mathrm{s})=3 a\). Підключивши ці відносини в Eq. (49a) для\(\sigma_{r r}\), отримаємо\[\sigma_{r r}=\frac{E}{1+v}\left[\left(a-2 \frac{b}{r^{3}}\right)+\frac{v}{1-2 v} 3 a\right] .\] Тепер підключення цього відношення до Eqs. (58), отримаємо систему з двох лінійних рівнянь для коефіцієнтів\(a\) і\(b\). Вирішуючи цю систему, отримуємо:\[a=\frac{1-2 v}{E} \frac{\mathcal{P}_{1} R_{1}^{3}-\mathcal{P}_{2} R_{2}^{3}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}}, \quad b=\frac{1+v}{2 E} \frac{\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) R_{1}^{3} R_{2}^{3}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}} .\] Формули (57) і (61) дають повне рішення нашої задачі. (Зверніть увагу, що модулі пружності повернулися, як було обіцяно.) Рішення багате фізичним змістом і заслуговує хоча б деякого аналізу. Перш за все, зауважте, що відповідно до Eq. (48), коефіцієнт\((1-2 v) / E\) у виразі for\(a\) справедливий\(1 / 3 K\), так що перший член в Eq. (57) для чистої деформації описує гідростатичне стиснення. Тепер зауважте, що другий з Eqs. (61) дає\(b=0\) if\(R_{1}=0\). Таким чином, для твердої сфери ми маємо тільки гідростатичне стиснення, про яке йшлося в попередньому розділі. Можливо, менш інтуїтивно, роблячи два тиску рівними також дає\(b=0\), тобто чисто гідростатичне стиснення, для довільного\(R_{2}>R_{1}\).

Однак у загальному випадку\(b \neq 0\), так що другий термін у розподілі деформації (57), який описує деформацію зсуву, також\({ }^{25}\) є істотним. Зокрема, розглянемо важливу межу тонкої оболонки, коли\(R_{2}-R_{1} \equiv t<R_{1,2} \equiv R\) - див\(7 \mathrm{~b}\). Рис. У цьому випадку якраз зміна радіуса оболонки\(R\), для якого Eqs. (57) і (61) (з\(R_{2}{ }^{3}-R_{1}{ }^{3} \approx 3 R^{2} t\)) дають\[\Delta R \equiv q(R) \approx a R+\frac{b}{R^{2}} \approx \frac{\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) R^{2}}{3 t}\left(\frac{1-2 v}{E}+\frac{1+v}{2 E}\right)=\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) \frac{R^{2}}{t} \frac{1-v}{2 E} .\] Наївно, можна подумати, що хоча б в цій межі задачу можна було проаналізувати елементарними засобами.\(q\left(R_{1}\right) \approx q\left(R_{2}\right)\) Наприклад, сумарна сила, що чиниться різницею тисків\(\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right)\) на діаметральний перетин оболонки (див., наприклад, пунктирну лінію на рис.\(7 \mathrm{~b}\))\(F=\pi R^{2}\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right)\), дає напругу,\[\sigma=\frac{F}{A}=\frac{\pi R^{2}\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right)}{2 \pi R t}=\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) \frac{R}{2 t},\] спрямовану вздовж стінок оболонки. Можна перевірити, що ця проста формула дійсно може бути отримана в цій межі з суворих виразів для\(\sigma_{\theta \theta}\) і\(\sigma_{\varphi \varphi}\), виходячи із загального лікування, проведеного вище. Однак, якби ми зараз спробували продовжити цей підхід, використовуючи просте відношення (45), щоб знайти невелику зміну\(R s_{z z}\) радіуса сфери, ми б дійшли результату зі структурою Eq. (62), але без множника\((1-v)<1\) в чисельнику. Причина такої помилки (яка може бути настільки ж значною, як і\(330 \%\) для типових будівельних матеріалів - див. Таблицю 1) полягає в тому, що упр. (45), хоча і справедливий для тонких стрижнів довільного перерізу, неприпустимий для тонких, але широких листів, і зокрема тонкої оболонки в нашій задачі. Дійсно, в той час як при напрузі розтягування обидва бічні розміри тонкого стрижня можуть вільно скорочуватися, в нашій задачі всі розміри оболонки знаходяться під напругою - власне, під набагато більшим дотичним напруженням, ніж радіальне.\({ }^{26}\)

---

\({ }^{21}\)Як випливає з Eqs. (48), коефіцієнт перед першою сумою в екв. (51) є лише модулем зсуву\(\mu\), тоді як цей коефіцієнт перед другою сумою дорівнює\((K+\mu / 3)\).

\({ }^{22}\)Див., наприклад, MA Eq. (11.3).

\({ }^{23}\)Якщо це не відразу видно, будь ласка, подивіться на MA Eq. (10.11) з\(\mathbf{f}=f_{r}(r) \mathbf{n}_{r} .\)

\({ }^{24}\)Див., наприклад, MA Eq. (10.10) з\(\mathbf{f}=q(r) \mathbf{n}_{r}\)

\({ }^{25}\)Дійсно, згідно з Eq. (48), матеріально-залежний фактор у другому з Eqs. (61) справедливий\(1 / 4 \mu\).

\({ }^{26}\)Власне кажучи, це вірно тільки в тому випадку, якщо різниця тисків не дуже мала, а саме якщо\(\left|\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right|>>\mathcal{P}_{1,2} t / R\).