7.3: Закон Гука

Для формування повної системи рівнянь, що описують динаміку континууму, потрібно доповнити Eq. (25) відповідним складовим рівнянням, що описує зв'язок між силами, описаними тензором напружень\(\sigma_{i j}\), і деформаціями,\(\mathbf{q}\) описаними (в малому межа деформації) тензором деформації\(s_{j j}\). Це співвідношення залежить від середовища, і взагалі може бути досить складним. Навіть залишаючи поодинці різні анізотропні тверді речовини (наприклад, кристали) і макроскопічно неоднорідні матеріали (наприклад, кераміка або пісок), деформація зазвичай залежить не тільки від поточної величини напруги (можливо, нелінійним способом), але і від попередньої історії застосування напружень. Дійсно, якщо деформація перевищує певний поріг пластичності, атоми (або нанокристали) можуть зісковзнути на свої нові позиції і ніколи не повернутися, навіть якщо деформація зменшується. В результаті деформації стають незворотними - див. Рис.

Малюнок 7.5. Типове співвідношення між напругою і деформацією в твердих тілах (схематично).

Лише нижче порогів нелінійності і пластичності (які зазвичай близькі один до одного) деформація майже пропорційна напрузі, тобто підпорядковується відомому закону Гука. \({ }^{8}\)Однак навіть в цьому пружному діапазоні закон не зовсім простий, і навіть для ізотропного середовища описується не однією, а двома константами, званими модулями пружності. Причина цього полягає в тому, що більшість еластичних матеріалів протистоять деформації, що супроводжується зміною об'єму (скажімо, гідростатичним стисненням) інакше, ніж те, як вони протистоять деформації зсуву.

Щоб описати цю різницю, давайте спочатку представимо симетризований тензор деформації\((9 b)\) у наступній математично еквівалентній формі:\[s_{i j^{\prime}}=\left(s_{j j^{\prime}}-\frac{1}{3} \delta_{i j^{\prime}} \operatorname{Tr}(\mathrm{s})\right)+\left(\frac{1}{3} \delta_{j j^{\prime}} \operatorname{Tr}(\mathrm{s})\right) .\] Відповідно до Eq. (13), безслідний тензор у перших дужках Eq. (31) не вносить жодного внеску в зміну гучності, наприклад, може бути використаний для характеризують чисто деформацію зсуву, тоді як другий термін описує лише гідростатичне стиснення. Отже, ми можемо очікувати, що тензор напруги може бути представлений (знову ж таки, лише в межах діапазону пружних деформацій!) як\[\sigma_{i j^{\prime}}=2 \mu\left(s_{i j^{\prime}}-\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\mathrm{s}) \delta_{j j^{\prime}}\right)+3 K\left(\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\mathrm{s}) \delta_{j j^{\prime}}\right)\] де\(K\) і\(\mu\) є константами. (Включення коефіцієнтів 2 і 3 в Eq. (32) виправдано простотою деяких його наслідків - див., наприклад, Eqs. (36) і (41) нижче.) Дійсно, експерименти показують, що закон Гука в такому вигляді дотримується, при невеликій деформації, всіма ізотропними матеріалами. Відповідно до вищеописаного обговорення константа\(\mu\) (в деяких текстах позначається як\(G\)) називається модулем зсуву, тоді як постійна\(K\) (іноді позначається\(B\)) - об'ємним модулем. У двох лівих стовпцях таблиці 1 наведені приблизні значення цих модулів для типових представників декількох основних класів матеріалів. \({ }^{9}\)

Таблиця 7.1. Модулі пружності, щільність і швидкості звуку декількох репрезентативних матеріалів (приблизні значення)

	\(K(\mathrm{GPa})\)	\(\mu(\mathrm{GPa})\)	\(E(\mathrm{GPa})\)	\(v\)	\(\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)\)	\(v_{1}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\)	\(v_{\mathrm{t}}(\mathrm{m} / \mathrm{s})\)
Алмаз\(^{(\mathrm{a})}\)	\ (K (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">600	\ (\ mu (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">450	\ (E (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1,100	\ (v\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(0.20\)	\ (\ rho\ left (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ праворуч)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3500	\ (v_ {1} (\ mathrm {~m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1,830	\ (v_ {\ mathrm {t}} (\ mathrm {m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1,200
Загартована сталь	\ (K (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">170	\ (\ mu (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">75	\ (E (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 200	\ (v\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(0.30\)	\ (\ rho\ left (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ праворуч)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">7,800	\ (v_ {1} (\ mathrm {~ m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 5,870	\ (v_ {\ mathrm {t}} (\ mathrm {m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">3,180
Вода\(^{(\mathrm{b})}\)	\ (K (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(2.1\)	\ (\ mu (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">0	\ (E (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0	\ (v\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(0.5\)	\ (\ rho\ left (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ праворуч)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1,000	\ (v_ {1} (\ mathrm {~ m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1,480	\ (v_ {\ mathrm {t}} (\ mathrm {m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0
Повітря\(^{(\mathrm{b})}\)	\ (K (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(0.00010\)	\ (\ mu (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">0	\ (E (\ mathrm {GPa})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0	\ (v\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(0.5\)	\ (\ rho\ left (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ праворуч)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(1.2\)	\ (v_ {1} (\ mathrm {~ m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">332	\ (v_ {\ mathrm {t}} (\ mathrm {m}/\ mathrm {s})\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0

(а) Середні показники по кристалографічних напрямках (10% анізотропії).

(б) У так званому\(\left(T=20^{\circ} \mathrm{C}, P=1\right.\) барі умов навколишнього середовища\(\left.\equiv 10^{5} \mathrm{~Pa}\right)\).

Щоб краще оцінити ці значення, давайте спочатку обговоримо кількісне значення\(K\) і\(\mu\), використовуючи два простих приклади пружної деформації. Однак, готуючись до цього, давайте спочатку вирішимо набір з дев'яти (а точніше шести різних) лінійних рівнянь (32) для\(s_{j j}\). Це легко зробити, завдяки простій структурі цих рівнянь: вони пов'язують компоненти\(\sigma_{i j^{\prime}}\) і\(s_{i j^{\prime}}\) 'з однаковими індексами, крім участі тензорного сліду. Це невелике ускладнення можна легко подолати, помітивши, що відповідно до Eq. (32),\[\operatorname{Tr}(\sigma) \equiv \sum_{j=1}^{3} \sigma_{j j}=3 K \operatorname{Tr}(\mathrm{s}), \quad \text { so that } \operatorname{Tr}(\mathrm{s})=\frac{1}{3 K} \operatorname{Tr}(\sigma) .\] Підключивши цей результат до Eq. (32) і вирішивши його\(s_{j j}\), ми легко отримуємо взаємне відношення, яке може бути представлено в подібній формі:\[s_{i j^{\prime}}=\frac{1}{2 \mu}\left(\sigma_{j j^{\prime}}-\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\sigma) \delta_{j j^{\prime}}\right)+\frac{1}{3 K}\left(\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\sigma) \delta_{j j^{\prime}}\right) .\] Тепер застосуємо закон Гука, у вигляді Eqs. (32) або (34), до двох простих ситуацій, в яких тензори деформації та напруги можуть бути знайдені без використання повного диференціального рівняння теорії пружності та граничних умов для них. (Це буде предметом наступного розділу.) Перша ситуація - гідростатичне стиснення, коли тензор напруги діагональний, а всі його діагональні складові рівні - див. Ур. (19). \({ }^{10}\)Для цього випадку Eq. (34) дає\[s_{j j^{\prime}}=-\frac{\mathcal{P}}{3 K} \delta_{j j^{\prime}},\] тобто незалежно від модуля зсуву, тензор деформації також є діагональним, при цьому всі діагональні складові рівні. Згідно з Eqs. (11) і (13), це означає, що всі лінійні розміри тіла зменшуються аналогічним коефіцієнтом, так що його форма зберігається, в той час як обсяг зменшується за\[\frac{\Delta V}{V}=\sum_{j=1}^{3} s_{j j}=-\frac{\mathcal{P}}{K} .\] цією формулою чітко показує фізичне відчуття об'ємного модуля\(K\) як зворотної стисливості. Як показує таблиця 1, значення\(K\) можуть різко відрізнятися для різних матеріалів, і навіть для таких «м'яких речей», як вода цей модуль насправді досить високий. Наприклад, навіть на дні найглибшого,\(10-\mathrm{km}\) океанічного\(\left(\mathcal{P} \approx 10^{3}\right.\) колодязя\(\left.\approx 0.1 \mathrm{GPa}\right)\), щільність води збільшується приблизно приблизно\(5 \%\). Як результат, в більшості експериментів людського масштабу вода може розглядатися як нестислива - стан, який буде широко використовуватися в наступному розділі. Багато твердих речовин навіть набагато менш стисливі див., наприклад, перші два рядки таблиці 1.

Цілком природно, що найбільш стисливими середовищами є гази. Для частини газу певний фоновий тиск необхідний\(\mathcal{P}\) саме для утримання його в межах його обсягу\(V\), так що Eq. (36) справедливий лише для невеликих кроків тиску,\(\Delta \mathcal{P}\):\[\frac{\Delta V}{V}=-\frac{\Delta \mathcal{P}}{K} .\] Крім того, стиснення газів також залежить від термодинамічних умов. (На відміну від цього, для більшості конденсованих середовищ температурні ефекти дуже малі.) Наприклад, в умовах навколишнього середовища більшість газів досить добре описуються рівнянням стану для моделі,\(N\) яка називається ідеальним класичним газом:\[\mathcal{P} V=N k_{\mathrm{B}} T, \quad \text { i.e. } \mathcal{P}=\frac{N k_{\mathrm{B}} T}{V} .\] де число молекул в обсязі\(V\), а\(k_{\mathrm{B}} \approx 1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}\) є постійною Больцмана. \({ }^{11}\)При малому зміні об'єму при постійній\(\Delta V\) температурі\(T\) дане рівняння дає\[\left.\Delta \mathcal{P}\right|_{T=\mathrm{const}}=-\frac{N k_{\mathrm{B}} T}{V^{2}} \Delta V=-\frac{\mathcal{P}}{V} \Delta V, \quad \text { i.e. }\left.\frac{\Delta V}{V}\right|_{T=\mathrm{const}}=-\frac{\Delta \mathcal{P}}{P} .\] Порівняння цього виразу з екв. (36), отримаємо дивно простий результат для ізотермічного стиснення газів,\[\left.K\right|_{T=\mathrm{const}}=\mathcal{P},\] що означає, зокрема, що об'ємний модуль, вказаний в Таблиця 1 фактично дійсна, в умовах навколишнього середовища, практично для будь-якого газу. Врахуйте, однак, що зміна термодинамічних умов (скажімо, від ізотермічних до адіабатичних\({ }^{12}\)) може вплинути на стисливість газу. Тепер розглянемо другий, досить інший, фундаментальний експеримент: чисто деформацію зсуву, показану на малюнку 2. Оскільки сліди матриць (15) і (20), які описують цю ситуацію, рівні 0, для їх позадіагональних елементів, Eq. (32) дає просто\(\sigma_{j j}\) '\(=2 \mu s_{j j}\), так що кут деформації\(\alpha\) (див. Рис. 2) просто\[\alpha=\frac{1}{\mu} \frac{F}{A} .\] Зверніть увагу, що кут не залежить від товщини \(h\)зразка, хоча, звичайно, максимальна лінійна\(q_{x}=\alpha h\) деформація пропорційна товщині. Природно, як показує таблиця 1,\(\mu=0\) для всіх рідин, оскільки вони не протистоять статичному напруженню зсуву.

Однак не всі ситуації, навіть, мабуть, прості, стосуються тільки\(K\) або\(\mu\). Розглянемо розтягнення довгого і тонкого пружного стрижня рівномірного перерізу площі\(A\) - так званий експеримент з напруженням при розтягуванні, показаний на малюнку\(6.13\)

Малюнок 7.6. Експеримент з напруженням при розтягуванні.

Хоча деформація стрижня біля його затиснутих кінців залежить від точного способу застосування зусиль\(\mathbf{F}\) (ми обговоримо це питання пізніше), ми можемо очікувати, що на більшій частині його довжини сили натягу спрямовані практично вздовж стрижня\(d \mathbf{F}=F_{z} \mathbf{n}_{z}\), а отже, з вибором координат, показаним в Малюнок\(6, \sigma_{x j}=\sigma_{y j}=0\) для всіх\(j\), включаючи діагональні елементи\(\sigma_{x x}\) і\(\sigma_{y y}\). Більш того, за рахунок відкритих бічних поверхонь, на яких, очевидно\(d F_{x}=d F_{y}=0\), не може бути внутрішньої сили напруги будь-якого напрямку, що діє на будь-яку елементарну внутрішню межу, паралельну цим поверхням. Це означає, що\(\sigma_{z x}=\)\(\sigma_{z y}=0\). Так, з усіх складових тензора напружень тільки одна,\(\sigma_{z z}\), не дорівнює нулю, а для однорідного зразка -\(\sigma_{z z}=\) const\(=F / A\). Для цього випадку екв. (34) показує, що тензор деформації також діагональний, але з різними діагональними елементами:\[\begin{gathered} s_{z z}=\left(\frac{1}{9 K}+\frac{1}{3 \mu}\right) \sigma_{z z}, \\ s_{x x}=s_{y y}=\left(\frac{1}{9 K}-\frac{1}{6 \mu}\right) \sigma_{z z} . \end{gathered}\] Оскільки напруження розтягування найбільш поширене в інженерній практиці (і в дизайні фізичного експерименту), обидві комбінації модулів пружності, що беруть участь у цих двох відносинях, заслужили власні імена. Зокрема, константа в екв. (42) зазвичай позначається як\(1 / E\) (але в багатьох текстах, як\(1 / Y\)), де\(E\) називається модуль Юнга: 14

\[\frac{1}{E} \equiv \frac{1}{9 K}+\frac{1}{3 \mu}, \quad \text { i.e. } E \equiv \frac{9 K \mu}{3 K+\mu}\]Як показано на малюнку 6, в геометрії напружень при розтягуванні\(s_{z z} \equiv \partial q_{z} / \partial z=\Delta l / l\) так, що модуль Юнга масштабує лінійне співвідношення між відносним розширенням стрижня та силою, прикладеною на одиницю площі:\({ }^{15}\)\[\frac{\Delta l}{l}=\frac{1}{E} \frac{F}{A} \text {. }\] Третій стовпець таблиці 1 вище показує значення цього модуля для двох відомих тверді речовини: алмаз (з найвищою відомою\(E\) цінністю з усіх сипучих матеріалів\({ }^{16}\)) і сталі (тверді\(\sim 10 \%\) розчини вуглецю в залізі), що використовуються в будівництві. Знову ж таки, для всіх рідин модуль Юнга дорівнює нулю - як випливає з Eq. (44) for\(\mu=0\).

Я впевнений, що читач цих нотаток був знайомий з Eq. (42), у формі еквалайзера (45), з їх навчання в бакалавраті. Однак, швидше за все, цього не можна сказати про його аналог, Eq. (43), який показує, що при напрузі розтягування розміри поперечного перерізу стрижня також змінюються. Цей ефект, як правило, характеризується наступним безрозмірним співвідношенням Пуассона:\({ }^{17}\)\[-\frac{s_{x x}}{s_{z z}}=-\frac{s_{y y}}{s_{z z}}=-\left(\frac{1}{9 K}-\frac{1}{6 \mu}\right) /\left(\frac{1}{9 K}+\frac{1}{3 \mu}\right)=\frac{1}{2} \frac{3 K-2 \mu}{3 K+\mu} \equiv v,\] Відповідно до цієї формули, для реалістичних матеріалів з\(K>0, \mu \geq 0, v\) може варіюватися від (-1) до\((+1 / 2)\), але для переважної більшості матеріалів\({ }^{18}\) його значення знаходяться в межах 0 і\(1 / 2-\) див. відповідна колонка таблиці 1. Нижня межа цього діапазону досягається у пористих матеріалів на зразок пробки, бічні розміри яких майже не змінюються при напрузі розтягування. Деякі м'які матеріали, такі як натуральні та синтетичні каучуки, мають протилежний випадок:\(v \approx 1 / 2 .{ }^{19}\) Оскільки згідно з Eqs. \((13)\)Причому\((42)\), при зміні обсягу\[\frac{\Delta V}{V}=s_{x x}+s_{y y}+s_{z z}=\frac{1}{E} \frac{F}{A}(1-2 v) \equiv(1-2 v) \frac{\Delta l}{l},\] такі матеріали практично не змінюють свій обсяг при розтягуванні напруги. Кінцева межа цієї тенденції\(\Delta V / V=0\), забезпечується рідинами і газами, тому що, як випливає з Eq. (46) з\(\mu=0\), їх відношення\(v\) Пуассона точно\(1 / 2\). Однак для найбільш практичних будівельних матеріалів, таких як різні сталі (див. Таблицю 1), зміна обсягу (47) така ж висока, як\(\sim 40 \%\) і довжина.

Завдяки чіткому фізичному сенсу коефіцієнтів\(E\) і\(v\), вони часто використовуються як пара незалежних модулів пружності, а не\(K\) і\(\mu\). Розв'язуючи Eqs. (44) і (46) для них, ми отримуємо\[K=\frac{E}{3(1-2 v)}, \quad \mu=\frac{E}{2(1+v)} .\] Використовуючи ці формули, дві (еквівалентні) формули закону Гука, виражені Eqs. (32) і (34), можуть бути переписані як\[\begin{aligned} \sigma_{i j^{\prime}} &=\frac{E}{1+v}\left(s_{i j^{\prime}}+\frac{v}{1-2 v} \operatorname{Tr}(\mathrm{s}) \delta_{j j^{\prime}}\right) \\ s_{i j^{\prime}} &=\frac{1+v}{E}\left(\sigma_{i j^{\prime}}-\frac{v}{1+v} \operatorname{Tr}(\sigma) \delta_{i j^{\prime}}\right) \end{aligned}\] Лінійне співвідношення між тензором деформації та напруги в пружних континуа дозволяє ще один крок у нашому обчисленні потенційна енергія\(U\) внаслідок деформації, що почалася в кінці\(\mathrm{Sec} .2 .\) Дійсно, до кожної нескінченно малої частини цього деформації збільшення, ми можемо застосувати Eq. (30), при елементарній роботі\(\delta \mathscr{W}\) поверхневих сил збільшується потенційна енергія «нашої» частини тіла на рівну величину \(\delta U\). Давайте повільно збільшимо деформацію з абсолютно ненапруженого стану (в якому ми можемо прийняти\(U=0\)) до певного напруженого стану, при відсутності об'ємних сил\(\mathbf{f}\), зберігаючи тип деформації, тобто відношення між елементами тензора напружень, неушкодженим. У цьому випадку всі елементи тензора пропорційні одному\(\sigma_{i j}\) і тому ж єдиному параметру, що характеризує напругу (скажімо, сумарну прикладену силу), і згідно із законом Гука, всі елементи тензора\(s_{j j}\) пропорційні і цьому параметру. У цьому випадку інтеграція Eq. (30) через варіацію дає наступне кінцеве значення: 20\[U=\int_{V} u(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad u(\mathbf{r})=\frac{1}{2} \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \sigma_{i j^{\prime}} S_{j j} .\] Очевидно, це\(u(\mathbf{r})\) можна інтерпретувати як об'ємну щільність потенційної енергії пружної деформації.

---

\({ }^{8}\)Названий на честь Роберта Гука (1635-1703), полімату, який першим описав закон у найпростішому, 1D варіанті.

\({ }^{9}\)Оскільки тензорні елементи деформації, визначені Eq. (9), є безрозмірними, тоді як деформація, визначена Eq. (18), має розмірність, подібну до тиску (сили на одиницю площі), так само роблять модулі пружності\(K\) і\(\mu\).

\({ }^{10}\)Може бути доведено, що така ситуація може бути реалізована не тільки в рідині з тиском,\(\mathcal{P}\) але і в твердому зразку довільної форми, наприклад, шляхом приміщення його в стиснуту рідину.

\({ }^{11}\)Про виведення та детальне обговорення Eq. (37) див., наприклад, SM Sec. 3.1.

\({ }^{12}\)Див., наприклад, SM Розділ 1.3.

\({ }^{13}\)Хоча аналіз стиснення в цій ситуації дає аналогічні результати, в практичних експериментах сильне стиснення довгого зразка може призвести до втрати горизонтальної стійкості - так званого вигину - стрижня.

\({ }^{14}\)Названий на честь іншого полімату, Томаса Янга (1773-1829) - дещо несправедливо, оскільки його роботі з еластичності передував теоретичний аналіз Л.Ейлера в 1727 році і детальні експерименти Джордано Ріккаті в 1782 році.

\({ }^{15}\)Відповідно до Eq. (47),\(E\) може розглядатися як сила на одиницю площі, яка б подвоїла довжину початкового зразка, якби лише закон Гука був дійсним для деформацій, таких великих - як це зазвичай не так.

\({ }^{16}\)Це, ймовірно, дещо вище (до 2000 ГПа) у таких наноструктурах, як вуглецеві нанотрубки та одноатомні аркуші (графен), хоча все ще існує суттєва невизначеність в експериментально виміряних модулі пружності цих структур - огляд див., наприклад, G. Dimitrios et al., Prog. Матер. С. 90, 75 (2017).

\({ }^{17}\)У деяких старих текстах позначається співвідношення Пуассона\(\sigma\), але його позначення як\(v\) домінує над сучасною літературою.

\({ }^{18}\)Єдиним відомим винятком є певні екзотичні тверді речовини з дуже специфічною внутрішньою мікроструктурою - див\(R\). Озера, Наука 235, 1038 (1987) та посилання на них.

\({ }^{19}\)Наприклад, силіконові каучуки (синтетичні полімери, широко використовувані в інженерно-фізичному експерименті) мають, залежно від їх конкретного складу, синтез та термічне затвердіння\(v=0.47 \div 0.49\), і в результаті поєднують респектабельні об'ємні модулі\(K=(1.5 \div 2)\) ГПа з дуже низькими модулями Юнга: \(E=(0.0001 \div 0.05)\)ГПа.

\({ }^{20}\)Для наочності дозвольте мені відтворити цю інтеграцію для розширення простої 1D пружини. У цьому випадку\(\delta U=\delta \mathscr{W}=\)\(F \delta x\), і якщо сила пружини пружна\(F=\kappa x\), інтеграція дає\(U=\kappa x^{2} / 2 \equiv F x / 2\).