7.2: Стрес

Тепер обговоримо сили, які викликають напругу - або, з альтернативної точки зору, викликані напругою. Внутрішні сили, що діють всередині (тобто між довільно визначеними частинами) континууму, також можуть характеризуватися тензором. Цей тензор напружень,\({ }^{6}\) з елементами\(\sigma_{j j}\), пов'язує декартові складові\(d \mathbf{F}\) вектора сили, що діють на елементарну область (в більшості випадків\(d A\) уявного) інтерфейсу між двома частинами континууму, зі складовими елементарного вектора\(d \mathbf{A}\) \(=\mathbf{n} d A\)нормаль до області\(-\) див. Рисунок 3:\[d F_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \sigma_{i j^{\prime}} d A_{j^{\prime}} .\] Звичайна умова знака тут полягає в тому\(d \mathbf{n}\), щоб взяти зовнішню нормаль, тобто\(d \mathbf{A}\) направляти з «нашої» частини континууму, тобто частина, на яку чиниться розрахункова сила -\(d \mathbf{F}\) комплементарною частиною.

Малюнок 7.3. Визначення векторів\(d \mathbf{A}\) і\(d \mathbf{F}\).

У деяких випадках структура тензора напружень дуже проста. Наприклад, як буде детально розглянуто в наступному розділі, статичні і ідеальні рідини (тобто рідини і гази) можуть забезпечувати тільки сили, нормальні для будь-якого розділу, і зазвичай спрямовані в сторону «нашої» частини тіла, так що\[d \mathbf{F}=-\mathcal{P} d \mathbf{A}, \quad \text { i.e. } \sigma_{i j^{\prime}}=-\mathcal{P} \delta_{j j^{\prime}},\] там, де скалярний\(\mathcal{P}\) (в більшості випадків позитивний) називається тиском, і як правило, може залежати як від просторового положення, так і від часу. Цей тип напруги, при\(\mathcal{P}>0\), часто називають гідростатичним стисканнямнавіть якщо він має місце в твердих тілах, як це можливо.

Однак в загальному випадку тензор напружень також має позадіагональні члени, які характеризують напруження зсуву. Наприклад, якщо деформація зсуву, показана на малюнку 2, викликана парою сил\(\pm \mathbf{F}\), вони створюють внутрішні сили\(F_{x} \mathbf{n}_{x}\), при цьому\(F_{x}>0\) якщо говорити про силу, що діє на частину зразка нижче уявного горизонтального інтерфейсу, про який ми обговорюємо. Щоб уникнути горизонтального прискорення кожного горизонтального зрізу зразка, сили не повинні залежати від\(y\), тобто\(F_{x}=\) const\(=F\). Поверхнево може виглядати, що в цьому випадку єдиною ненульовою складовою тензора напружень є\(d F_{x} / d A_{y}=F / A=\) const, так що тензор асиметричний, на відміну від тензора деформації (15) тієї ж системи. Зверніть увагу, однак, що пара сил\(\pm \mathbf{F}\) створює не тільки напруження зсуву, але і ненульовий обертовий крутний момент\(\tau=-F h \mathbf{n}_{z}=-\)\(\left(d F_{x} / d A_{y}\right) A h \mathbf{n}_{z}=-\left(d F_{x} / d A_{y}\right) V \mathbf{n}_{z}\), де\(V=A h\) обсяг зразка. Отже, якщо ми хочемо провести експеримент зі статичним напруженням, тобто уникнути обертання зразка, нам потрібно застосувати деякі інші сили, наприклад, пару вертикальних сил, що створюють рівний і протилежний крутний момент\(\tau^{\prime}=\left(d F_{y} / d A_{x}\right) V \mathbf{n}_{z}\), маючи на увазі це\(d F_{y} / d A_{x}=d F_{x} / d A_{y}\)\(=F / A\). В результаті тензор напружень стає симетричним, і схожим за структурою на симетризований тензор деформації (15):

\[\sigma=\left(\begin{array}{ccc} 0 & F_{0} / A & 0 \\ F_{0} / A & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) .\]У багатьох ситуаціях тіло може піддаватися навантаженню не тільки силами, прикладеної до їх поверхонь, але і деякими розподіленими об'ємом (об'ємними) силами\(d \mathbf{F}=\mathbf{f} d V\), чия певна ефективна насипна щільність\(\mathbf{f}\). (Найбільш яскравим прикладом таких сил є гравітація. Якщо його поле однорідне, як описано в екв. (1.16)\(\mathbf{f}=\rho \mathbf{g}\), то, де\(\rho\) щільність маси.) Виведемо ключову формулу, що описує підсумовування інтерфейсних і об'ємних сил. Для цього знову розглянемо елементарну кубоїду зі сторонами,\(d r_{j}\) паралельними відповідним осям координат (рис. 4) - тепер не обов'язково головні осі тензора напружень.

Малюнок 7.4. Виведення еквалайзера (23).

Якщо елементи\(\sigma_{i j^{\prime}}\) тензора не залежать від положення, сила, що\(d \mathbf{F}^{(j)}\) діє на\(j^{\prime}\) '-ю грань кубоида, точно врівноважується рівною і протилежною силою, що діє на його протилежну грань, оскільки вектори\(d \mathbf{A}^{\left(j^{\prime}\right)}\) у цих граней рівні і протилежні. Однак якщо\(\sigma_{i j}\) є функцією\(\mathbf{r}\), то чиста сила\(d\left(d \mathbf{F}^{(j)}\right)\) не зникає. (У цьому вираженні перший диференціальний знак відноситься до елементарного зсуву\(d r_{j}\), а другий - до елементарної області\(d A_{j^{\prime}}\).) Використовуючи вираз\(\sigma_{i j} d A_{j}\), for to\(j\), -й внесок до суми (18), в першому порядку в\(d \mathbf{r}\)\(j^{\text {th }}\) компонентах вектора\(d\left(d \mathbf{F}^{(j)}\right)\) є\[d\left(d F_{j}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=d\left(\sigma_{i j^{\prime}} d A_{j^{\prime}}\right)=\frac{\partial \sigma_{j j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}} d r_{j^{\prime}} d A_{j^{\prime}} \equiv \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}} d V,\] де обсяг кубоїда\(d V=d r_{j} \cdot d A_{j}\) 'очевидно не залежить від індексу\(j\)'. Додавання цих силових складових для всіх трьох пар кубоїдних граней, тобто підсумовування Eqs. (21) над усіма трьома значеннями верхнього індексу\(j\) ', дає наступне співвідношення для\(j^{\text {th }}\) декартової складової чистої сили, що діє на кубоїд:\[d\left(d F_{j}\right)=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} d\left(d F_{j}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}} d V .\] Оскільки будь-який обсяг може бути розбитий на такі нескінченно малі кубоїди, Eq. (22) показує, що змінний простір напруга еквівалентний об'ємно-розподіленій силі\(d \mathbf{F}_{\text {ef }}=\mathbf{f}_{\text {ef }} d V\), чия ефективна (не реальна!) насипна щільність\(\mathbf{f}_{\text {ef }}\) має наступні\[\left(f_{\text {ef }}\right)_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}},\] декартові компоненти так, що при наявності дійсно об'ємних сил\(d \mathbf{F}=\mathbf{f} d V\), щільності\(\mathbf{f}_{\text {ef }}\) і\(\mathbf{f}\) просто складаються. Це так званий принцип стресу Ейлера-Коші.

Скористаємося цим правилом додавання, щоб прописати закон\(2^{\text {nd }}\) Ньютона для одиниці об'єму континууму:\[\rho \frac{\partial^{2} \mathbf{q}}{\partial t^{2}}=\mathbf{f}_{\mathrm{ef}}+\mathbf{f} .\] Використовуючи Eq. (23),\(j^{\text {th }}\) декартова складова Eq. (24) може бути представлена як\[\rho \frac{\partial^{2} q_{j}}{\partial t^{2}}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}}+f_{j} .\] Це ключове рівняння динаміки (і статики) континууму, яке буде неодноразово використано нижче.

Для вирішення деяких задач також зручно мати загальний вираз для роботи\(\delta \mathscr{Y}\) сил напруги при віртуальній деформації\(\delta \mathbf{q}\) - розуміється в тому ж варіаційному сенсі, що і віртуальні зсуви\(\delta \mathbf{r}\) в п. 2.1. Використовуючи принцип Ейлера-Коші (23), для будь-якого\(V\) обсягу середовища, на який не впливають сили, розподілені за обсягом, ми можемо написати\({ }^{7}\)\[\delta \mathscr{V}=-\int_{V} \mathbf{f}_{\mathrm{ef}} \cdot \delta \mathbf{q} d^{3} r=-\sum_{j=1}^{3} \int_{V}\left(f_{\mathrm{ef}}\right)_{j} \delta q_{j} d^{3} r=-\sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V}^{\partial \sigma_{i j^{\prime}}} \frac{\partial r_{j^{\prime}}}{\partial q_{j}} d^{3} r .\] Розробимо цей інтеграл частинами для обсягу настільки великого, що деформації\(\delta q_{j}\) на його поверхні незначні. Потім, міняючи операції варіації та просторової диференціації (так само, як це було зроблено з похідною за часом у п. 2.1), ми отримуємо\[\delta \mathscr{W}=\sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V} \sigma_{i j^{\prime}} \delta \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} d^{3} r .\] Припускаючи\(\sigma_{i j}\), що тензор симетричний, ми можемо переписати цей вираз як\[\delta \mathscr{W}=\frac{1}{2} \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V}\left(\sigma_{j j^{\prime}} \delta \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}+\sigma_{j j} \delta \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}\right) d^{3} r .\] Now, міняючи індекси\(j\) і\(j\) ' у другому виразі ми нарешті отримуємо\[\delta \mathscr{H}=\frac{1}{2} \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V} \delta\left(\frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} \sigma_{i j^{\prime}}+\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j}} \sigma_{j j^{\prime}}\right) d^{3} r=-\sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V} \sigma_{i j^{\prime}} \delta s_{j j^{\prime}} d^{3} r,\] де\(s_{j j}\) 'є складові тензора деформації (9b). Цілком природно переписати цю важливу формулу як\[\delta \mathscr{W}=\int_{V} \delta w(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { where } \delta w(\mathbf{r}) \equiv \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \sigma_{i j^{\prime}} \delta s_{j j},\] і інтерпретувати локально визначену скалярну функцію\(\delta_{r c}(\mathbf{r})\) як роботу сил напруги на одиницю об'єму, при невеликій зміні деформації.

Як перевірка осудності, для чистого тиску (19), Eq. (30) знижується до явно правильного результату\(\delta \mathscr{W}=-\mathcal{P} \delta V\), де\(V\) обсяг «нашої» частини континууму.

---

\({ }^{6}\)Його часто називають тензором стресу Коші, частково для вшанування Августіна-Луї Коші, який ввів це поняття (і відповідає за розвиток, переважно в 1820-х роках, значну частину теорії, описаної в цьому розділі), і частково відрізнити його від та інших можливих визначень стресу тензор, включаючи\(1^{s t}\) тензори\(2^{n d}\) PiolaKirchhoff і PiolaKirchhoff. Для малих деформацій, розглянутих в цьому курсі, всі ці поняття збігаються.

\({ }^{7}\)Тут знак відповідає роботі «зовнішньої» сили напруги\(d \mathbf{F}\), що чиниться на «нашу» частину континууму своїм аналогом - див. Рис. Відзначимо, що деякі тексти вважають протилежне визначення\(\delta \mathscr{H}\), що призводить до його протилежного знаку.