7.1: Процідити

Як обговорювалося в розділах 4 і 6, в континуумі, тобто системі частинок, настільки близьких один до одного, що дискретність системи може бути знехтована, зміщення частинок\(\mathbf{q}\) може розглядатися як безперервна функція простору і часу. У цьому розділі ми розглянемо лише невеликі відхилення від наближення жорсткого тіла, розглянутого в главі 4, тобто малі деформації. Малість деформації дозволяє розглядати вектор зміщення\(\mathbf{q}\) як функцію початкового (додеформаційного) положення частинки, а час\(t\) - так само\(\mathbf{r}\), як це було зроблено в главі 6 для хвиль 1D.

Перше завдання теорії деформацій - виключити з розгляду розглянуті в главі 4 види руху, а саме переклад і обертання, не пов'язані з деформаціями. Це означає, перш за все, що змінні, що описують деформації, не повинні залежати від частини розподілу переміщень, тобто не залежить від положення\(\mathbf{r}\) (тобто є загальним для цілого середовища), оскільки ця частина відповідає поступальному зсуву, а не деформації (рис. 1а). Більш того, навіть певні нерівномірні зсуви не сприяють деформації. Наприклад, Eq. (4.9) (із\(d \mathbf{r}\)\(d \mathbf{q}\) заміненням на відповідність нашим поточним позначенням) показує, що невелике зміщення типу,\[d \mathbf{q}_{\text {rotation }}=d \varphi \times \mathbf{r} \text {, }\] де\(d \varphi=\omega d t\) є нескінченно малий вектор, загальний для всього континууму, відповідає його обертанню щодо напрямку цього вектора, і має нічого спільного з його деформацією (рис. 1б).

Малюнок 7.1. Два типи розподілів векторів зміщення, які не пов'язані з деформацією: (а) трансляція та (б) обертання.

Саме тому для розробки адекватної кількісної характеристики деформації слід почати з пошуку відповідних функцій просторового розподілу переміщень\(\mathbf{q}(\mathbf{r})\), які існують тільки за рахунок деформацій. Однією з таких заходів є зміна відстані\(d l=|d \mathbf{r}|\) між двома близькими точками:\[\left.(d l)^{2}\right|_{\text {after deformation }}-\left.(d l)^{2}\right|_{\text {before deformation }}=\sum_{j=1}^{3}\left(d r_{j}+d q_{j}\right)^{2}-\sum_{j=1}^{3}\left(d r_{j}\right)^{2}\] де\(d q_{j}\)\(j^{\text {th }}\) декартова складова різниці\(d \mathbf{q}\) між зміщеннями\(\mathbf{q}\) цих близьких точок. Якщо деформація невелика в сенсі\(|d \mathbf{q}|<<|d \mathbf{r}|=d l\), ми можемо зберегти в Eq. (2) тільки члени, пропорційні першому степеню нескінченно малого вектора\(d \mathbf{q}\):\[\left.(d l)^{2}\right|_{\text {after deformation }}-\left.(d l)^{2}\right|_{\text {before deformation }}=\sum_{j=1}^{3}\left[2 d r_{j} d q_{j}+\left(d q_{j}\right)^{2}\right] \approx 2 \sum_{j=1}^{3} d r_{j} d q_{j} .\] Оскільки\(q_{j}\) є функцією трьох незалежних скалярних аргументів\(r_{j}\), її повний диференціал (у фіксований час) може бути представлені як\[d q_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} d r_{j^{\prime}}\] коефіцієнти\(\partial q_{j} / \partial r_{j}\), можуть розглядатися як елементи тензора, що\({ }^{1}\) забезпечують лінійне співвідношення між векторами\(\mathrm{d} \mathbf{r}\) і\(\mathrm{d} \mathbf{q}\). Включивши Eq. (4) в Eq. (2),\[\left.(d l)^{2}\right|_{\text {after deformation }}-(d l)_{\mid \text {before deformation }}^{2}=2 \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} d r_{j} d r_{j^{\prime}} .\] отримаємо Зручність тензора\(\partial q_{j} / \partial r_{j}\), для характеристики деформацій полягає в тому, що він автоматично виключає переміщення переміщення (рис. 1а), яке не залежить від\(r_{j}\). Його недолік полягає в тому, що на його конкретні компоненти все ж впливають обертання тіла (хоча сума (5) не є). Дійсно, згідно з визначенням векторного добутку, Eq. (1) може бути представлений у декартових координатах, як\[\left.d q_{j}\right|_{\text {rotation }}=\left(d \varphi_{j^{\prime}} r_{j^{\prime \prime}}-d \varphi_{j^{\prime \prime}} r_{j^{\prime}}\right) \varepsilon_{j j j^{\prime \prime}},\] де\(\varepsilon_{i j i j}\) знаходиться символ Леві-Чивіта. Диференціюючи Eq. (6) над певною декартовою координатою вектора\(\mathbf{r}\), і беручи до уваги, що ця часткова диференціація\((\partial)\) не залежить від (і, отже, може бути замінена місцями) диференціації\((d)\) за кутом повороту\(\varphi\), отримуємо суми,\[d\left(\frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}\right)_{\text {rotation }}=-\varepsilon_{i j j^{\prime \prime}} d \varphi_{j^{\prime \prime}}, \quad d\left(\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j}}\right)_{\text {rotation }}=-\varepsilon_{j i j^{\prime \prime}} d \varphi_{j^{\prime \prime}}=\varepsilon_{j j j^{\prime \prime}} d \varphi_{j^{\prime \prime}},\] які можуть відрізнятися від 0. Однак зверніть увагу, що сума цих двох диференціалів дорівнює нулю для будь-якого\(d \varphi\), що можливо тільки в тому\(^{2}\)\[\left(\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j}}+\frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}\right)_{\text {rotation }}=0, \quad \text { for } j \neq j^{\prime} .\] випадку, якщо саме тому зручно переписати Eq. (5) в математично еквівалентній формі,\[\left.(d l)^{2}\right|_{\text {affer deformation }}-(d l)^{2} \mid \text { |before deformation }=2 \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} s_{i j^{\prime}} d r_{j} d r_{j^{\prime}} \text {, }\] де\(s_{j j}\) 'є елементами так званої симетризованої деформації тензор, визначається як\[s_{i j^{\prime}} \equiv \frac{1}{2}\left(\frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}+\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j}}\right) \text {. }\] (Зверніть увагу, що ця модифікація не впливає на діагональні елементи:\(s_{j j}=\partial q_{j} / \partial r_{j}\).). Перевага симетризованого тензора\((9 \mathrm{~b})\) перед початковим тензором з елементами полягає в тому\(\partial q_{j} / \partial r_{j}\), що згідно з Eq. (8), при чистому обертанні всі елементи симетризованого тензора деформації зникають.

Тепер обговоримо фізичний сенс цього тензора. Як вже було сказано в п. 4.2, будь-який симетричний тензор може бути діагональний шляхом відповідного вибору осей опорного кадру. У таких головних осях\(s_{j j}=s_{j j} \delta_{j j}\), так що Eq. (4) приймає просту форму:\[d q_{j}=\frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j}} d r_{j}=s_{j j} d r_{j} .\] ми можемо використовувати цей вираз для обчислення зміни кожної сторони елементарного кубоїда (паралелепіпеда) зі сторонами,\(d q_{j}\) паралельними основним осям:\[\left.d r_{j}\right|_{\text {after deformation }}-\left.d r_{j}\right|_{\text {before deformation }} \equiv d q_{j}=s_{j j} d r_{j},\] і об'єму кубоїда\(d V=d r_{1} d r_{2} d r_{3}\):\[\left.d V\right|_{\text {after deformation }}-\left.d V\right|_{\text {before deformation }}=\prod_{j=1}^{3}\left(d r_{j}+s_{j j} d r_{j}\right)-\prod_{j=1}^{3} d r_{j}=d V\left[\prod_{j=1}^{3}\left(1+s_{j j}\right)-1\right]\] Оскільки весь наш аналіз дійсний тільки в лінійному наближенні в малому\(s_{j j}\), екв. (12) зводиться до того,\[\left.d V\right|_{\text {after deformation }}-\left.d V\right|_{\text {before deformation }} \approx d V \sum_{j=1}^{3} s_{j j} \equiv d V \operatorname{Tr}(\mathrm{s}),\] де\(\operatorname{Tr}(\text { trace })^{3}\) з будь-якої матриці (зокрема, будь-якого тензора) - сума її діагональних елементів; в нашому поточному випадку\(^{4}\)\[\operatorname{Tr}(\mathrm{s}) \equiv \sum_{j=1}^{3} s_{j j}\] так, діагональні складові тензора характеризують стиснення/розширення середовища; тоді в чому сенс його позадіагональних компонентів? Це може бути проілюстровано на найпростішому прикладі чисто зсувної деформації, показаному на малюнку 2 (геометрія приймається рівномірною вздовж\(z\) -осі, перпендикулярної площині креслення). У цьому випадку всі зміщення (передбачувані малі) мають лише одну декартову складову, на малюнку 2 вздовж\(x\) -осі:\(\mathbf{q}=\mathbf{n}_{x} \alpha y\) (з\(\alpha<1\)), так що єдиною ненульовою складовою початкового тензора деформації є\(\partial q_{j} / \partial r_{j}\)\(\partial q_{x} / \partial y=\alpha\), а симетризований тензор (\(9 \mathrm{~b}\)) є\[\mathrm{s}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & \alpha / 2 & 0 \\ \alpha / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) .\] Очевидно, що зміна гучності, задана Eq, (13), зникає в цьому випадку. Таким чином, позадіагональні елементи тензора характеризують деформації зсуву.

Малюнок 7.2. Приклад чистого зсуву.

На завершення цього розділу дозвольте зауважити, що Eq. (9) дійсний лише в декартових координатах. Для вирішення деяких важливих задач з осьовою або сферичною симетрією часто зручно висловлювати шість різних компонентів тензора симетричного деформації через три складові вектора зміщення\(\mathbf{q}\) в циліндричних або сферичних координатах. Пряма диференціація визначень цих криволінійних координат, аналогічна тій, яка використовується для виведення відомих виразів для просторових похідних,\({ }^{5}\) дає, зокрема, наступні формули діагональних елементів тензора:

(i) у циліндричних координатах:\[s_{\rho \rho}=\frac{\partial q_{\rho}}{\partial \rho}, \quad s_{\varphi \varphi}=\frac{1}{\rho}\left(q_{r}+\frac{\partial q_{\varphi}}{\partial \varphi}\right), \quad s_{z z}=\frac{\partial q_{z}}{\partial z} .\] (ii) у сферичних координатах:\[s_{r r}=\frac{\partial q_{r}}{\partial r}, \quad s_{\theta \theta}=\frac{1}{r}\left(q_{r}+\frac{\partial q_{\theta}}{\partial \theta}\right), \quad s_{\varphi \varphi}=\frac{1}{r}\left(q_{r}+q_{\theta} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial q_{\varphi}}{\partial \varphi}\right) .\] Ці вирази, які будуть використані нижче для вирішення деяких проблем для симетричних геометрій, можуть бути трохи незрозумілими. Дійсно, еквалайзер (16) показує, що навіть при чисто радіальній, осьосиметричній деформації кутова складова тензора деформації не зникає:\(s_{\varphi \varphi}=\)\(q / \rho\).\(\mathbf{q}=\mathbf{n}_{\rho} q(\rho)\) (Відповідно до Eq. (17), в сферичних координатах обидві кутові складові тензора мають однакову властивість.) Зверніть увагу, однак, що це співвідношення описує дуже простий геометричний ефект: зміна бічної відстані\(\rho d \varphi<<\rho\) між двома близькими точками з однаковою відстанню від осі симетрії, при невеликій зміні\(\rho\), що утримує кут\(d \varphi\) між напрямками до цих двох точок постійний.

---

\({ }^{1}\)Оскільки обидва\(d \mathbf{q}\) і\(d \mathbf{r}\) є законними фізичними векторами (декартові компоненти яких належним чином трансформуються як передача між опорними кадрами),\(3 \times 3\) матриця з елементами\(\partial q_{j} / \partial r_{j}\), дійсно є законним фізичним тензором - див. Обговорення в п. 4.2.

\({ }^{2}\)В результаті на повну суму (5), яка включає три часткові суми (8), не впливає ротація - як ми вже знаємо.

\({ }^{3}\)Традиційним європейським позначенням для Tr є Sp (від німецького Spur означає «слід» або «трек»).

\({ }^{4}\)Власне, тензорна теорія показує, що трасування не залежить від конкретного вибору осей координат.

\({ }^{5}\)Див., наприклад, MA Eqs. (10.1) - (10.12).