6.8: Проблеми з вправами

Для кожної з систем, зазначених у Задачі 6.1-6.6:

(i) ввести зручні узагальнені координати\(q_{j}\) системи,

(ii) обчислити частоти його малих гармонічних коливань поблизу рівноваги,

(iii) обчислити відповідні коефіцієнти розподілу та

(iv) ескіз режимів коливань.

6.1. Дві пружно з'єднані пендули, обмежені вертикальною площиною, з параметрами, показаними на малюнку праворуч (див. Також Задачі\(1.8\) і 2.9).

6.2. Подвійний маятник, обмежений вертикальною площиною, що містить точку опори (розглянуто в Задачі 2.1), з\(m^{\prime}=m\) і\(l=l^{\prime}-\) див. Малюнок праворуч.

6.3. Передзвін розглянутий у\(4.8\) Задачі (див. Малюнок праворуч), для конкретного випадку\(l=l^{\prime}\).

6.4. Потрійний маятник, показаний на малюнку праворуч, при цьому рух обмежується вертикальною площиною, що містить точку опори.

Підказка: Ви можете використовувати будь-який (наприклад, числовий) метод для обчислення коренів характеристичного рівняння.

6.5. Лінійна, симетрична система з трьох частинок, показана на малюнку праворуч, де зв'язки між частинками виступають не тільки як звичайні пружні пружини (дають потенційні енергії\(U=\kappa(\Delta l)^{2} / 2\)), але і протистоять вигину, даючи додаткову потенційну енергію\(U^{\prime}=\kappa^{\prime}(l \theta)^{2} / 2\), де\(\theta\) знаходиться (мала) кут вигину. \({ }^{33}\)

6.6. Три аналогічних кульки маси\(m\), які можуть ковзати по колу радіуса\(R\) без тертя, з'єднані аналогічними пружинами з пружними постійними\(\kappa\) і рівноважними довжинами\(l_{0}\) - див. Малюнок праворуч.

6.7. Зовнішня поздовжня сила\(F(t)\) прикладається до правої частинки системи, показаної на малюнку 1, при\(\kappa_{\mathrm{L}}=\kappa_{\mathrm{R}}=\kappa^{\prime}\) і\(m_{1}=m_{2} \equiv m\) (див. Малюнок праворуч), і вимірюється реакція\(q_{1}(t)\) лівої\(N\) частинки на цю силу.

(i) Обчисліть тимчасову функцію Гріна для цієї відповіді.

(ii) Використовуйте цю функцію для обчислення відгуку на наступну силу:\[F(t)= \begin{cases}0, & \text { for } t<0 \\ F_{0} \sin \omega t, & \text { for } 0 \leq t\end{cases}\] з постійною амплітудою\(F_{0}\) та частотою\(\omega\).

\(\underline{6.8}\). Використовуйте формалізм Лагранжа для повторного отримання Eqs. (24) як для поздовжніх, так і для поперечних коливань в системі, показаної на малюнку\(4 \mathrm{a}\).

6.9. Обчисліть енергію (на одиницю довжини) синусоїдальної біжучої хвилі, що поширюється в системі 1D, показаної на малюнку 4а. Використовуйте свій результат, щоб обчислити середній потік потужності, створений хвилею, і порівняйте його з еквалайзером (49), дійсним у межі акустичної хвилі.

6.10. Обчисліть просторові розподіли кінетичної та потенційної енергій у стоячій, синусоїдальній, 1D акустичній хвилі та проаналізуйте їх еволюцію у часі.

6.11. Середина гітарної струни довжини\(l\) була повільно відтягнута на відстань\(h<<l\) від її положення рівноваги, а потім відпустити. Нехтуючи розсіюванням, використовуйте два різних підходи для обчислення зміщення середньої точки як функції часу.

Підказка: Ви можете скористатися наступними серіями таблиць:\[\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\cos (2 m-1) \xi}{(2 m-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}\left(1-\frac{\xi}{\pi / 2}\right), \quad \text { for } 0 \leq \xi \leq \pi .\]

6.12. Обчисліть закон розсіювання\(\omega(k)\) і максимальну і мінімальну частоти малих поздовжніх хвиль в довгій ланцюжку подібних, пружинних зв'язаних пендул - див. Малюнок праворуч.

6.13. Розрахуйте і проаналізуйте співвідношення дисперсії\(\omega(k)\) для малих хвиль в довгому ланцюжку пружно пов'язаних частинок з чергуються масами - див. Малюнок праворуч. Зокрема, обговорюють період\(\Delta k\) дисперсійного відношення та його еволюцію в\(m^{\prime} \rightarrow m\).

6.14. Проаналізуйте відбиття біжучої хвилі від «точкової неоднорідності»: однієї частинки з різною масою\(m_{0} \neq m\), всередині інакше рівномірного 1D ланцюга - див. Рисунок праворуч.

6,15*

(i) Дослідіть приблизний спосіб аналізу хвиль у безперервній\(1 \mathrm{D}\) системі з параметрами, які повільно змінюються по її довжині.

(ii) Застосовують цей метод для обчислення частот поперечних стоячих хвиль на вільно звисає важкій мотузці довжини\(l\), з постійною масою на\(\mu\) одиницю довжини - див. Малюнок праворуч.

(iii) Для трьох найнижчих режимів стоячої хвилі порівняйте результати з результатами, отриманими при розв'язанні задачі 4 для потрійного маятника.

Підказка: Читач, знайомий з наближенням WKB у квантовій механіці (див., наприклад, QM Sec. 2.4), може адаптувати його для цього класичного застосування. Ще однією можливою відправною точкою є наближення ван дер Поля, розглянуте в п. 5.3, яке слід перевести з часової області в космічну область.

6.16. \({ }^{*}\)Використовуйте наближення ван дер Поля для аналізу взаємного фазового блокування двох слабо зв'язаних автогенераторів з дисипативною нелінійністю, для випадків:

(i) пряма координатна муфта, описана еквалайзером (5), і

(ii) білінійна, але в іншому випадку довільна зв'язок двох подібних осциляторів.

Підказка: У Завданні (ii) опишіть зв'язок лінійним оператором та висловіть результат за допомогою зображення Фур'є.

6.17. \({ }^{*}\)Розширити другу задачу попередньої задачі на взаємне блокування фаз\(N\) аналогічних автогенераторів. Зокрема, дослідити стабільність у фазовому режимі для випадку так званої глобальної зв'язку через єдину силу, яку однаково\(F\) сприяють всі осцилятори.

6.18. \({ }^{*}\)Знайти умову невиродженого параметричного збудження в системі двох зв'язаних осциляторів, описаних Eqs. (5), але з залежною від часу зв'язкою:\(\kappa \rightarrow \kappa\left(1+\mu \cos \omega_{\mathrm{p}} t\right)\), з\(\omega_{\mathrm{p}} \approx\)\(\Omega_{1}+\Omega_{2}\), і\(\kappa / m<<\left|\Omega_{2}-\Omega_{1}\right|\).

Підказка: Припускаючи\(\mu\), що глибина модуляції\(\kappa\), статична зв'язок і розстроювання\(\xi \equiv \omega_{\mathrm{p}}-\left(\Omega_{1}+\Omega_{2}\right)\) досить малі, використовуйте наближення ван дер Пол для кожного з з'єднаних осциляторів.

6.19. Показати, що кубічна нелінійність типу\(\alpha q^{3}\) дійсно дозволяє параметричну взаємодію («чотирихвильове змішування») коливань з непорівнянними частотами, пов'язаними Eqs. (92a).

6.20. Обчисліть швидкість поперечних хвиль, що поширюються на тонкій, плоской, пружній мембрані, з масою\(m\) на одиницю площі, попередньо розтягнутої з силою\(\tau\) на одиницю ширини.

---

\({ }^{33}\)Це хороша модель для малих коливань лінійних молекул, таких як тепер сумнозвісна\(\mathrm{CO}_{2}\).