6.7: Нелінійні та параметричні ефекти
- Page ID
- 75250
Тепер дозвольте обговорити (через брак часу, дуже коротко, на напівкількісному рівні) нові нелінійні і параметричні явища, які з'являються в коливальних системах з більш ніж одним ступенем свободи - пор. Одним з важливих нових ефектів тут є взаємне блокування фаз (двох або більше) слабо пов'язаних самозбуджуваних осциляторів з близькими частотами: якщо власні частоти осциляторів досить близькі, їх частоти коливань «злипаються», щоб стати точно рівними. Хоча його динаміка цього процесу дуже близька до динаміки фазового блокування одного генератора зовнішнім сигналом, про який йшлося в п. 5.4, вона досить неінтуїтивна з огляду на результати п. 1, і зокрема, діаграма антиперетину, показана на малюнку 2. Аналіз ефекту за допомогою методу ван дер Поля (який настійно рекомендується читачеві, див. Задача 16) показує, що походження різниці полягає в нелінійності осциляторів, що робить амплітуди коливань практично незалежними від фазової еволюції - див. Ур. (5.68) і її обговорення.
Ще один новий ефект - так зване невироджене параметричне збудження. Це може бути проілюстровано на прикладі лише двох спарених осциляторів - див. Розділ 1 вище. Припустимо, що константа зв'язку\(\kappa\), що бере участь в Eqs. (5), не є постійною, а коливається в часі - скажімо з деякою частотою\(\omega_{\mathrm{p}}\). У цьому випадку сили, що діють на кожен осцилятор від його аналога, описані правою стороною Eqs. (5), будуть пропорційні\(\kappa q_{2,1}\left(1+\mu \cos \omega_{p} t\right)\). Припускаючи, що коливання\(q_{1}\) і\(q_{2}\) близькі до синусоїдальних, з певними частотами\(\omega_{1,2}\), ми бачимо, що сила, що чиниться на кожен генератор, буде містити так звані комбінаційні частоти.\[\omega_{\mathrm{p}} \pm \omega_{2,1}\] Якщо одна з цих частот близька до власної частоти коливань осцилятора, ми можемо очікувати значної параметричної взаємодії між осциляторами (поверх постійних ефектів зв'язку, обговорюваних в п. 1). Відповідно до Eq. (89), це може статися в двох випадках:\[\begin{aligned} \omega_{\mathrm{p}} &=\omega_{1}+\omega_{2}, \\ \omega_{\mathrm{p}} &=\omega_{1}-\omega_{2} . \end{aligned}\] Кількісний аналіз (також настійно рекомендується читачеві, див. Задача 18) показує, що у випадку (90a) модуляція параметрів дійсно призводить до «накачування» енергії в коливання. В результаті досить великий\(\mu\), при досить малих коефіцієнтах загасання\(\delta_{1,2}\) і ефективне розстроювання\[\xi \equiv \omega_{\mathrm{p}}-\left(\Omega_{1}+\Omega_{2}\right),\] може привести до одночасного самозбудження двох частотних складових\(\omega_{1,2}\). Ці частоти, будучи приблизно рівними відповідним власним частотам\(\Omega_{1,2}\) системи, пов'язані з частотою накачування точним\(\omega_{\mathrm{p}}\) співвідношенням (90а), але в іншому випадку є довільними, наприклад, можуть бути несумірними (рис. 12а), тим самим виправдовуючи термін невироджений параметричне збудження. \({ }^{27}\)(Параметричне збудження одного генератора, яке було проаналізовано в п. 5.5, є окремим, виродженим випадком такого збудження, с\(\omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{\mathrm{p}} / 2\).) З іншого боку, для випадку, описаного Eq. (90b), модуляція параметрів завжди перекачує енергію від коливань, ефективно збільшуючи демпфування системи.
Дещо протилежно інтуїтивно, ця різниця між двома випадками (90) може бути простіше інтерпретована, використовуючи основні поняття квантової механіки. А саме, рівність\(\omega_{\mathrm{p}}=\omega_{1}+\omega_{2}\) дає можливість розпаду зовнішнього фотона енергії\(\hbar \omega_{0}\) на два фотони енергій\(\hbar \omega_{1}\) та\(\hbar \omega_{2}\) осциляторів. (Навпаки, взаємодоповнююче відношення (90b), що означає\(\omega_{1}=\omega_{\mathrm{p}}+\omega_{2}\), що призводить до індукованого накачуванням розпаду фотонів частоти\(\omega_{1}\).)
Малюнок 6.12. Спектри коливань при (а) невиродженому параметричному збудженні та (б) чотирихвильовому змішуванні. Напрямки стрілок символізують енергетичні потоки в систему і з неї.Зверніть увагу, що навіть якщо\(\omega_{1}\) частоти і\(\omega_{2}\) параметрично збуджені коливання неспівмірні, коливання сильно корелюють. Дійсно, квантова механічна теорія цього ефекту\({ }^{28}\) показує, що генеруються фотони заплутані. Цей факт робить параметричне збудження дуже популярним для широкого класу експериментів у кількох нині активних галузях, включаючи квантові обчислення та шифрування та дослідження нерівності Белла та дослідження місцевої реальності. \({ }^{29}\)
Переходячи до нелінійних явищ, відзначимо, перш за все, що просте міркування, яке супроводжувало екв. (5.108) в п. 5.8, справедливо і в тому випадку, коли коливання складаються з двох (або більше) синусоїдальних складових з невідповідними частотами. Замінивши\(2 \omega\) позначення на\(\omega_{\mathrm{p}}\), ми бачимо, що невироджене параметричне збудження типу (90а) можливо в системі з двох зв'язаних осциляторів з квадратичною нелінійністю (типу\(\gamma q^{2}\)), «накачаних» інтенсивним зовнішнім сигналом на частоті\(\omega_{\mathrm{p}} \approx \Omega_{1}+\Omega_{2}\). В оптиці часто зручніше мати всі сигнали в одному, відносно вузькому діапазоні частот. Простий розрахунок, подібний до того, який зроблений в Eqs. (5.107) - (5.108), показує, що це можна зробити за допомогою кубічної\({ }^{30}\) нелінійності типу\(\alpha q^{3}\), що дозволяє подібний параметричний обмін енергією при частотному співвідношенні, показаному на малюнку 12b:\[2 \omega=\omega_{1}+\omega_{2}, \quad \text { with } \omega \approx \omega_{1} \approx \omega_{2} .\] Цей процес часто називають чотирма- хвильового змішування, тому що воно може трактуватися квантовомеханічно як перетворення\(t w o\) зовнішньо доставлених фотонів, кожен з енергією\(\hbar \omega\), в два інших фотони енергій\(\hbar \omega_{1}\) і\(\hbar \omega_{2}\). Слово «хвиля» в цьому терміні походить від того, що на оптичних частотах важко з'єднати достатній обсяг нелінійної середовища з резонаторами кускового типу. Набагато простіше реалізувати параметричне збудження (а також інші нелінійні явища, такі як вища генерація гармонік) світла в розподілених системах лінійного розміру, значно більших за задіяні довжини хвиль. У таких системах енергія\(\omega_{2}\) передається від вхідної хвилі частоти\(\omega\) до генеруються хвиль частот\(\omega_{1}\) і поступово накопичується при їх спільному поширенні по системі. З аналогії між еквалайзером (85) (описує еволюцію амплітуди хвилі в просторі) і звичайним рівнянням лінійного генератора (описує його еволюцію в часі) видно, що для цього накопичення передачі енергії потрібні не тільки частоти\(\omega\), а й хвильові числа \(k\)бути в аналогічних стосунках. Наприклад, чотирихвильове змішування вимагає виконання не тільки частотного балансу (92а), але і подібного відношення\[2 k=k_{1}+k_{2},\]. Так як всі три частоти близькі, це співвідношення легко організувати. На жаль, через брак часу/простору, для більшого обговорення цього дуже цікавого предмета, званого нелінійною оптикою, доводиться віднести читача до спеціальної літератури. \({ }^{31}\)
Це може виглядати як носій без дисперсії, з\(\omega / k=v=\) const, є ідеальним рішенням для організації параметричної взаємодії хвиль, оскільки в таких середовищах, наприклад, Eq. (92b) автоматично випливає з Eq. (92a). Однак в таких середовищах не тільки бажані три параметрично взаємодіючі хвилі, але і всі їх гармоніки, мають однакову швидкість. При цих умовах швидкості передачі енергії між усіма гармоніками мають однаковий порядок. Мабуть, найважливішим результатом такого мультигармонічного взаємодії є те, що інтенсивно падаючі біжучі хвилі, взаємодіючи з нелінійним середовищем, можуть розвиватися різко несинусоїдальні форми хвиль, зокрема з майже миттєвою зміною поля в певний момент. Такі ударні хвилі, особливо механічного характеру, представляють великий інтерес для певних застосувань - деякі з них не зовсім невинні, наприклад, динаміка вибуху в звичайних (хімічних) і ядерних бомбах. \({ }^{32}\)
На завершення цієї глави дозвольте мені зауважити, що вищезгадане обговорення 1D акустичних хвиль буде розширено в п. 7.7 на пружні 3D-носії. Там ми побачимо, що загалом хвилі підкоряються більш складному рівнянню, ніж очевидно природне узагальнення Eq. (40):\[\left(\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\right) q(\mathbf{r}, t)=0,\] де\(\nabla^{2}\) оператор Лапласа. Цей факт додає складності явищ бігової хвилі та стоячої хвилі у вищих вимірах. Більш того, в багатовимірних системах, включаючи такі псевдо-1D системи, як тонкі стрижні і псевдо-2D системи типу тонких мембран, навіть статичні пружні деформації можуть бути дуже нетривіальними. Короткий вступ до загальної теорії малих деформацій, з акцентом на пружні континуа, буде предметом наступної глави.
\({ }^{27}\)Зауважимо, що в деяких публікаціях замість цього використовується термін параметричне зниження перетворення (PDC).
\({ }^{28}\)Що, на подив, не набагато складніше класичної теорії - див., наприклад, QM Sec.5.5
\({ }^{29}\)Див., наприклад, QM Secs. \(8.5\)і\(10.3\), відповідно.
\({ }^{30}\)В оптиці така нелінійність реалізується за допомогою прозорих кристалів типу ніобата літію\(\left(\mathrm{LiNbO}_{3}\right)\), з кубічно-нелінійною залежністю електричної поляризації від застосованого електричного поля:\(\mathscr{P} \propto \mathscr{E}+\alpha \mathscr{E}^{3}\).
\({ }^{31}\)Див., наприклад, N. Bloembergen, Нелінійна оптика,\(4^{\text {th }}\) ред., World Scientific, 1996, або більш сучасне лікування Р.Бойда, Нелінійна оптика,\(3^{\text {rd }}\) ред., Академічна преса, 2008. Це поле в даний час дуже активне. Як лише один приклад, дозвольте мені згадати останні експерименти з параметричним посиленням ультракоротких (20 -fs) оптичних імпульсів до пікової потужності настільки ж високою, як\(\sim 5 \times 10^{12} \mathrm{~W}-\) см\(\mathrm{X}\). Цзен та співавт., Оптика Лист. 42, 2014 (2017).
\({ }^{32}\)Класична (і, мабуть, ще найкраща) монографія на цю тему - Я. Зельдович, Фізика ударних хвиль і високотемпературних явищ, Dover,\(2002 .\)