6.6: Занепад хвиль і загасання

Тепер обговоримо вплив розсіювання на хвилі 1D, на прикладі тієї ж рівномірної системи, показаної на малюнку 4. Ефекти найпростіші для лінійного перетягування, яке можна описати, як це було зроблено для одного генератора в\(\mathrm{Sec} .5 .1\), додаючи термін\(\eta d q_{j} / d t\) до Eq. (24) для кожної частинки:\[m \ddot{q}_{j}+\eta \dot{q}_{j}-\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j+1}-q_{j}\right)+\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j}-q_{j-1}\right)=0 .\] (У однорідній системі коефіцієнт опору\(\eta\) повинен бути однаковим для всіх частинок, хоча він може бути різним для поздовжніх і поперечних коливань.)

Щоб проаналізувати ефект дисипації на стоячих хвиль, ми можемо знову використовувати метод поділу змінних, тобто шукати рішення Eq. (76) у формі, подібній до Eq. (67), природно відрегулюючи його для нашого поточного дискретного випадку:\[q\left(z_{j}, t\right)=\sum_{n} Z_{n}\left(z_{j}\right) T_{n}(t) .\] Після поділу всіх членів на\(m Z_{n}\left(z_{j}\right) T_{n}(t)\), і відокремлюючи час- залежні і просторово-залежні члени, отримуємо\[\frac{\ddot{T}_{n}}{T_{n}}+\frac{\eta}{m} \frac{\dot{T}_{n}}{T_{n}}=\frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m}\left[\frac{Z_{n}\left(z_{j+1}\right)}{Z_{n}\left(z_{j}\right)}+\frac{Z_{n}\left(z_{j+1}\right)}{Z_{n}\left(z_{j}\right)}-2\right]=\text { const }\] Як відомо з попереднього розділу, отримане рівняння для функції\(Z_{n}\left(z_{j}\right)\) задовольняється, якщо змінна константа поділу дорівнює\(-\omega_{n}{ }^{2}\), де\(\omega_{n}\) підпорядковується дисперсійному відношенню (30) для хвильового числа\(k_{n}\), належним чином розрахований для системи без дисипації, з урахуванням заданих граничних умов - див., наприклад, Eqs. (62) і (72). Отже, для функції\(T_{n}(t)\) ми отримуємо звичайне диференціальне рівняння,\[\ddot{T}_{n}+2 \delta \dot{T}_{n}+\omega_{n}^{2} T_{n}=0, \quad \text { with } \delta \equiv \frac{\eta}{2 m},\] яке абсолютно схоже на Eq. (5.6b) для одного лінійного осцилятора, який вивчався в п. 5.1. Як ми вже знаємо, він має рішення (5.9), що описує розпад вільних коливань з часом релаксації, заданим\((5.10), \tau=1 / \delta\), і, отже, подібним для всіх режимів. \({ }^{23}\)

Отже, наведений вище аналіз впливу дисипації на вільно стоячі хвилі не приніс ніяких сюрпризів, але дає нам натяк на те, як можуть бути проаналізовані їх вимушені коливання, індуковані деякими зовнішніми силами\(F_{j}(t)\), що діють на частинки. Дійсно, представляючи силу як суму просторових гармонік, пропорційних режимам системи,\[F_{j}(t)=m \sum_{n} f_{n}(t) Z_{n}\left(z_{j}\right)\] і використовуючи змінний поділ (77), ми приходимо до рівняння,\[\ddot{T}_{n}+2 \delta \dot{T}_{n}+\omega_{n}^{2} T_{n}=f_{n}(t),\] подібного до Eq. (5.13b) для одного генератора. Цей факт дозволяє використовувати всі методи, розглянуті в п. \(5.1\)для аналізу вимушених коливань, крім того, що тимчасова функція Гріна, визначена будь-яким з еквівалентних рівнянь (5.27) та (5.28), тепер набуває індекс\(n\), тобто стає залежним від режиму:\(G(\tau) \rightarrow\)\(G_{n}(\tau)\). Виконуючи зважене підсумовування аналогічно Eq. (80),\[G_{j}(\tau)=\sum_{n} G_{n}(\tau) Z_{n}\left(z_{j}\right),\] отримаємо просторово-часову функцію Гріна системи - в даному випадку для дискретного, 1D множини просторових точок\(z_{j}=j d\). Як і в випадку з одним осцилятором, він має просте фізичне відчуття коливань, індукованих дельта-функціональною силою (тобто дуже коротким імпульсом), що чиниться на\(j^{\text {th }}\) частинку. Ми зустрінемо (і використовуємо) такі просторово-часові функції Гріна і в інших частинях цієї серії.

Тепер обговоримо вплив розсіювання на біжучі хвилі, де вони можуть приймати зовсім іншу форму загасання. Обговоримо його на простому прикладі, коли один кінець (розташований у дуже\(z=0)\) довгого ланцюга\((l \rightarrow \infty)\)) зовнішньо змушений виконувати синусоїдальні коливання певної\(\omega\) частоти і фіксованої амплітуди\(A_{0}\). У цьому випадку природно шукати конкретне рішення Eq. (76) у формі, дуже відмінній від Eq. (77):\[q_{j}(z, t)=\operatorname{Re}\left[c_{j} e^{-i \omega t}\right]\] з незалежними від часу, але загалом складними амплітудами\(c_{j}\). Як наше обговорення одного осцилятора в п. \(5.1\)Має на увазі, що це не загальне, а скоріше часткове рішення, яке описує вимушені коливання в системі, до яких вона осідає після якогось початкового перехідного процесу. (При ненульовому демпфуванні ми можемо бути впевнені, що цей процес зникає через кінцевий час, і, таким чином, може бути проігноровано для більшості цілей.)

Підключивши Eq. (83) до Eq. (76), ми зводимо його до рівняння для амплітуд\(c_{j}\),\[\left(-m \omega^{2}-i \omega \eta+2 \kappa_{\mathrm{ef}}\right) c_{j}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j+1}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j-1}=0,\] що є природним узагальненням Eq. (25). В результаті часткові розв'язки множини цих рівнянь (for\(j=0,1,2, \ldots\)) можна знову шукати у вигляді (26), але тепер, через нового, уявного члена в екв. (84), ми повинні бути готові отримати складний фазовий зсув\(\alpha\), а значить і комплексне хвильове число\(k \equiv \alpha / d .{ }^{24}\) Дійсно, отримане характеристичне рівняння для\(k\),\[\sin ^{2} \frac{k d}{2}=\frac{\omega^{2}}{\omega_{\max }^{2}}+i \frac{2 \omega \delta}{\omega_{\max }^{2}}\] (де\(\omega_{\max }\) визначається Eq. (30), а коефіцієнт демпфування визначається так само, як і в одному осциляторі\(\delta\)\(\equiv \eta / 2 m)\), не має реального рішення навіть при\(\omega<\omega_{\max }\). Використання відомих виразів для синусоїдальної функції комплексного аргументу\({ }^{25}\) Eq. (85) може бути легко розв'язано в найважливішій границі низького демпфування\(\delta<<\omega\). У лінійному наближенні в\(\delta\) вона не впливає на дійсну частину\(k\), а робить її уявну частину відмінною від нуля:\[k=\pm \frac{2}{d}\left(\sin ^{-1} \frac{\omega}{\omega_{\max }}+i \frac{\delta}{\omega_{\max }}\right) \equiv \pm\left(\frac{2}{d} \sin ^{-1} \frac{\omega}{\omega_{\max }}+i \frac{\delta}{v}\right), \quad \text { for }-\pi \leq \operatorname{Re} k \leq \pi,\] з періодичним продовженням на інші періоди - див. Рис. Так само, як це було зроблено в еквалайзері (28), через два значення хвильового числа, як правило, ми повинні приймати\(c_{j}\) у вигляді не однієї хвилі (26), а лінійної суперпозиції двох часткових розв'язків:\[c_{j}=\sum_{\pm} c_{\pm} \exp \left\{\pm i \operatorname{Re} k z_{j} \mp \frac{\delta}{v} z_{j}\right\}\] де константи\(c_{\pm}\) слід знаходити з граничних умов. У нашому конкретному випадку\(\left|c_{0}\right|=A_{0}\) і\(c_{\infty}=0\), так що тільки одна з цих двох хвиль, а саме хвиля експоненціально розпадається при її проникненні в систему, відрізняється від нуля:\(\left|c_{+}\right|=A_{0}, c_{-}=0\). Отже, наше рішення описує одну хвилю, при цьому реальна амплітуда і енергія коливань зменшуються як\[A_{j} \equiv\left|c_{j}\right|=A_{0} \exp \left\{-\frac{\delta}{v} z_{j}\right\}, \quad E_{j} \propto A_{j}^{2} \propto \exp \left\{-\alpha z_{j}\right\}, \quad \text { with } \alpha=\frac{2 \delta}{v},\] тобто з частотно-незалежною постійною ослаблення,\(\alpha=2 \delta / v,{ }^{26}\) так що просторова шкала проникнення хвилі в дисипативну систему задається\(l_{d} \equiv 1 / \alpha\). Звичайно, наше просте рішення (88) справедливо лише для системи довжини\(l>>l_{d}\); інакше нам знадобиться другий член у сумі (87), щоб описати хвилю, відбиту від протилежного кінця.

---

\({ }^{23}\)Навіть елементарний досвід роботи з акустичними гітарами показує, що для їх струн цей конкретний висновок нашої теорії не є дійсним: більш високі режими («обертони») розпадаються значно швидше, залишаючи коливання фундаментального режиму для більш повільного розпаду. Це результат ще одного важливого механізму втрати енергії (тобто хвильового спаду), не врахованого в екв. (76) - випромінювання звуку в корпус гітари через струнні опори, в основному через міст. Таке випромінювання може бути описано належною модифікацією граничних умов (62), з точки зору співвідношення хвильового імпедансу (47) струни та опори.

\({ }^{24}\)Нагадаємо, ми вже зустрічали таку ситуацію за відсутності демпфування, але у\(\omega>\omega_{\max }-\) див. Ур. (38).

\({ }^{25}\)Див., наприклад, MA Eq. (3.5).

\({ }^{26}\)Мені шкода використовувати для загасання ту\(\alpha\) ж букву, що і для фазового зсуву в Eq. (26) та деякі його наслідки, але обидва позначення є традиційними.