6.5: Стоячі хвилі

Тепер розглянемо дві межі, в яких Eqs. (55) прогнозує повне відображення хвилі\((\tau=0)\):\(Z^{\prime} / Z \rightarrow \infty\) (коли\(R=-1\)) і\(Z^{\prime} / Z \rightarrow 0\) (коли\(R=+1\)). Згідно з Eq. (53), колишня межа відповідає\(f(t)+f_{+}(t) \equiv q(0, t)=0\), тобто зникаючим коливанням на межі розділу. Це означає, що саме ця межа описує абсолютно жорстку межу, не дозволяючи кінця системи коливатися взагалі. У цьому випадку Eqs. (58) - (59) дають\[\begin{gathered} q(z, t)=\operatorname{Re}\left[a\left(e^{-i k z}-e^{+i k z}\right) e^{-i \omega t}\right] \equiv-2 \operatorname{Re}\left[a e^{-i \omega t}\right] \sin k z, \\ F(z, t)=\operatorname{Re}\left[i \omega Z a\left(e^{-i k z}+e^{+i k z}\right) e^{-i \omega t}\right] \equiv 2 \omega Z \operatorname{Re}\left[a e^{-i(\omega t-\pi / 2)}\right] \cos k z . \end{gathered}\] Ці рівності означають, що ми можемо інтерпретувати процес праворуч від інтерфейсу, використовуючи дві математично еквівалентні, але фізично різні мови: або як суму двох хвиль, що біжить (інцидентна та відбита, що рухається протилежно напрямки), або як одиночна стояча хвиля. Відзначимо, що на відміну від біжить хвилі (рис. 9а, див. рис. 7), в стоячій синусоїдальної хвилі (рис. 9б) всі частинки коливаються в часі однією фазою.

Малюнок 6.9. Еволюція часу (а) біжить синусоїдальної хвилі та (б) стоячої синусоїдальної хвилі на жорсткій межі.

Відзначимо також, що фаза силових коливань (61) зміщується, як у просторі, так і в часі,\(\pi / 2\) відносно коливань зміщення частинок. (Зокрема, на жорсткій межі амплітуда сили досягає свого максимуму.) В результаті середня потужність потоку зникає, так що середня енергія стоячої хвилі не змінюється, хоча її миттєва енергія все ще коливається, в кожній просторовій точці, між її кінетичною і потенційною складовими - так само, як при звичайних гармонійних коливаннях однієї частинки. Подібна стояча хвиля, але з максимумом зміщення\(q\), і з нулем («вузлом») сили\(F\), утворюється на відкритій межі, з\(\mathrm{Z}^{\prime} / \mathrm{Z} \rightarrow 0\), а значить\(\mathrm{R}=+1\). Тепер я повинен пояснити, чому я використовував синусоїдальну форму хвилі для аналізу відбиття хвиль. Розглянемо\(1 \mathrm{D}\) хвильову систему, яка підпорядковується Eq. (40), скінченної довжини\(l\), обмеженої двома жорсткими стінками (розташованими, скажімо, в\(z=0\) і\(z=l\)), які накладають\[q(0, t)=q(l, t)=0,\] на її рух відповідні граничні умови. Природно, що синусоїдальна бігова хвиля, індукована в системі, буде відбиватися з обох кінців, утворюючи стоячі хвильові візерунки типу (60) біля кожного з них. Ці дві моделі сумісні, якщо точно\(l\) дорівнює цілому числу (скажімо,\(n\))\(\lambda / 2\), де\(\lambda \equiv 2 \pi / k\) довжина хвилі:\[l=n \frac{\lambda}{2} \equiv n \frac{\pi}{k} .\] Ця вимога дає наступний спектр можливих хвильових чисел:\[k_{n}=n \frac{\pi}{l},\] де список можливих цілих чисел\(n\) може обмежуватися невід'ємними значеннями:\(n=1,2,3, \ldots\) (Дійсно, негативні значення дають абсолютно схожі хвилі\((60)\), в той час як\(n=0\) дає\(k_{n}=0\), і відповідна хвиля зникає у всіх точках:\(\sin (0 \cdot z) \equiv 0\).) У межі акустичної хвилі, яку ми обговорюємо, еквалайзер (31)\(\omega=\pm v k\), може бути використаний для перекладу цього спектру хвильових чисел у однаково простий спектр можливих частот стоячої хвилі:\({ }^{17}\)\[\omega_{n}=v k_{n}=n \frac{\pi v}{l}, \quad \text { with } n=1,2,3, \ldots\] Тепер давайте помітимо, що цей спектр та відповідні шаблони стоячої хвилі,\({ }^{18}\) \[q^{(n)}(z, t)=2 \operatorname{Re}\left[a_{n} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}\right] \sin k_{n} z, \quad \text { for } 0 \leq z \leq l,\]може бути отриманий іншим способом, шляхом прямого розв'язання хвильового рівняння (41) з граничними умовами (62). Дійсно, давайте шукати загальний розв'язок цього рівняння з частинними похідними у так званій змінно-відокремленій формі,\({ }^{19}\)\[q(z, t)=\sum_{n} Z_{n}(z) T_{n}(t),\] де кожен частковий добуток\(Z_{n}(z) T_{n}(t)\) повинен задовольняти рівняння самостійно. Включивши таке часткове рішення в Eq. (40), а потім розділивши всі його члени на один і той же твір\(Z_{n} T_{n}\), ми можемо переписати результат, як\[\frac{1}{v^{2}} \frac{1}{T_{n}} \frac{d^{2} T_{n}}{d t^{2}}=\frac{1}{Z_{n}} \frac{d^{2} Z_{n}}{d z^{2}} .\] Тут йде лінія пуансона методу поділу змінної: так як ліва частина рівняння може залежати тільки від\(t\), тоді як його права side, only on\(z\), Eq. (68) може бути дійсним тільки в тому випадку, якщо обидві його сторони є постійними. Позначивши цю константу як\(-k_{n}{ }^{2}\), отримаємо два аналогічних звичайних диференціальних рівняння,\[\frac{d^{2} Z_{n}}{d z^{2}}+k_{n}^{2} Z_{n}=0, \quad \frac{d^{2} T_{n}}{d t^{2}}+\omega_{n}^{2} T_{n}=0, \quad \text { where } \omega_{n}^{2} \equiv v^{2} k_{n}^{2},\] з відомими (і подібними) синусоїдальними розв'язками\[Z_{n}=c_{n} \cos k_{n} z+s_{n} \sin k_{n} z, \quad T_{n}=u_{n} \cos \omega_{n} t+v_{n} \sin \omega_{n} z \equiv \operatorname{Re}\left[a_{n} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}\right],\] де\(c_{n}, v_{n}, u_{n}\), і\(v_{n}\) (або, як варіант,\(a_{n} \equiv u_{n}+i v_{n}\)) - константи. Перша з цих відносин, при всіх\(k_{n}\) різних, може задовольняти граничним умовам тільки якщо для всіх\(n, c_{n}=0\), і\(\sin k_{n} l=0\), даючи один і той же хвильовий номер спектру (64) і, отже, власний частотний спектр (65), так що загальний розв'язок (67) так званої крайової задачі, заданої Eqs. (40) і (62), приймає форму,\[q(z, t)=\operatorname{Re} \sum_{n} a_{n} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\} \sin k_{n} z,\] де комплексні амплітуди\(a_{n}\) визначаються початковими умовами.

Звідси такі синусоїдальні стоячі хвилі (рис. 10а) є не просто припущенням, а природним властивістю\(1 \mathrm{D}\) хвильового рівняння. Також легко перевірити, що результат\((71)\) дійсний для однієї і тієї ж системи з різними граничними умовами, хоча і з модифікованим спектром хвильових чисел. Наприклад, якщо жорстка гранична умова\((q=0)\) реалізується при\(z=0\), а так звані вільні (або «відкриті») граничні умови\((F=0\), тобто\(\partial q / \partial z=0)\) накладається на\(z=l\), то спектр стає\[k_{n}=\left(n-\frac{1}{2}\right) \frac{\pi}{l}, \quad \text { with } n=1,2,3, \ldots,\] таким, що найнижчі стоячі хвилі виглядають так, як показано на малюнку 10b. \({ }^{20}\)

Малюнок 6.10. Найнижчі режими стоячої хвилі для\(1 \mathrm{D}\) систем з (а) двома жорсткими межами та (б) однією жорсткою та однією відкритою межею.

Зверніть увагу, що різниця між послідовними значеннями\(k_{n}\) все ще постійна:\[k_{n+1}-k_{n}=\frac{\pi}{l},\] тобто така ж, як і для спектра (64). Це природно, тому що в обох випадках перехід з\(n^{\text {th }}\) режиму в\((n+1)^{\text {th }}\) режим відповідає якраз додаванням ще однієї напівхвилі - див. Рис. (Цей висновок справедливий для будь-якої комбінації жорстких і вільних граничних умов.) Як було розглянуто вище, для ланцюга дискретних частинок, який ми почали з (рис. 4), хвильове рівняння (40), а отже, вищевказане виведення Eq. (71), дійсні лише в межі акустичної хвилі, тобто коли відстань\(d\) між частинками набагато менше\(\lambda_{n} \equiv 2 \pi / k_{n}\) довжини хвиль режиму під аналіз. Для ланцюга довжини це означає\(l\), що кількість частинок\(N \sim l / d\), має бути набагато більше 1. Однак чудовою властивістю Eq. (71) є те, що він залишається дійсним, з тим же спектром хвильових чисел (64) не тільки в акустичній межі, але і для довільного\(N>0\). Дійсно\(\sin k_{n} z \equiv\left(\exp \left\{+i k_{n} z\right\}-\exp \left\{-i k_{n} z\right\}\right) / 2\), оскільки кожен\(n^{\text {th }}\) член Eq. (71) може бути представлений у вигляді суми двох хвиль, що біжать з рівними, але протилежними векторами хвиль. Як обговорювалося в п. 3, така хвиля є розв'язком рівняння (24), що описує дискретно-частинкову систему для будь-якої\(k_{n}\), з єдиною умовою, що її частота підпорядковується загальному дисперсійному співвідношенню (30), а не його акустичній межі (65).

Більш того, вирази для\(k_{n}\) (з відповідними граничними умовами), такі як Eq. (64) або Eq. (72), також витримують перехід до довільних\(N\), оскільки їх виведення вище базувалося тільки на синусоїдальній формі стоячої хвилі. Єдиним новим фактором, що виникає у випадку довільного,\(N\) є те, що завдяки рівновіддаленій властивості (73) спектру хвильових чисел, як тільки\(n\) перевищує\(N\), форми хвиль (71) в місцях розташування\(z_{j}=j d\) частинок починають повторюватися. Наприклад,\[\sin k_{n+N} z_{j}=\sin \left(k_{n}+N \Delta k\right) j d=\sin \left(k_{n}+N \frac{\pi}{d}\right) j d=\sin \left(k_{n} z_{j}+\pi j N\right)=\pm \sin k_{n} z_{j} .\] отже система має тільки\(N\) різні (лінійно-незалежні) режими. Але цей результат повністю відповідає загальному висновку, зробленому в п. 2, про те, що будь-яка система\(N\) зв'язаних 1D осциляторів має саме\(N\) власні частоти і відповідні режими коливань. Отже, наш аналіз конкретної системи, показаний на малюнку 4, якраз і є прикладом цього загального висновку. Малюнок 11 нижче ілюструє цей результат для певного кінцевого значення\(N\); крива, що з'єднує точки, показує точно таке ж співвідношення дисперсії, як показано на малюнку 5, але тепер це просто орієнтир для ока, тому що для системи з кінцевою довжиною\(l\) спектр хвильових чисел дискретні, а проміжні значення\(k\) і\(\omega\) не мають безпосереднього фізичного сенсу. \({ }^{21}\)Зверніть увагу, що власні частоти системи не рівновіддалені, в той час як хвильові числа є.

Малюнок 6.11. Хвильові числа і власні частоти ланцюга\(N\) скінченного числа частинок в ланцюжку з однією жорсткою і однією відкритою межею - схематично.

Ця нечутливість інтервалу (73) між сусідніми хвильовими числами до конкретної фізики макроскопічно однорідної системи є дуже загальним фактом, загальним для хвиль будь-якої природи, і широко використовується для аналізу систем з дуже великою кількістю частинок (таких як кристали розміру людини, з \(N \sim 10^{23}\)). Для\(N\) таких великих, вплив граничних умов, наприклад, різниця між спектрами\((64)\) і\((72)\) є незначним, і вони можуть бути узагальнені як наступне правило для кількості різних стоячих хвиль протягом деякого інтервалу\(\Delta k \gg \pi / l\):\[\Delta N \equiv \frac{\left.\Delta k\right|_{\text {standing }}}{k_{n+1}-k_{n}}=\left.\frac{l}{\pi} \Delta k\right|_{\text {standing }} .\] Для таких аналізів це часто зручніше працювати з біжучими хвилями, а не стоячими. У цьому випадку ми повинні враховувати, що (як тільки що обговорювалося вище) кожна стояча хвиля\((66)\) може бути розкладена на дві біжучі хвилі з хвильовими номерами\(\pm k_{n}\), так що розмір інтервалу\(\Delta k\) подвоюється, і Eq. (75a) стає\(^{22}\)\[\Delta N=\left.\frac{l}{2 \pi} \Delta k\right|_{\text {traveling }}\] Зверніть увагу, що це правило підрахунку є дійсні для хвиль тільки одного типу. Як було розглянуто вище, для вивченої нами модельної системи (рис. 4) існує 3 види таких хвиль - одна поздовжня і дві поперечні, так що якщо нам потрібно порахувати їх все,\(\Delta N\) слід помножити на 3.

---

\({ }^{17}\)Знову ж таки, негативні значення\(\omega\) можуть бути скинуті, тому що вони дають подібні реальні функції\(q(z, t)\).

\({ }^{18}\)Вони описують, зокрема, відомі поперечні стоячі хвилі на гітарній струні.

\({ }^{19}\)Цей метод поділу змінних є дуже загальним і обговорюється у всіх частинях цієї серії, особливо в розділі ЕМ 2.

\({ }^{20}\)Найнижча стояча хвиля системи, з найменшою\(k_{n}\) і\(\omega_{n}\), прийнято називати її основним режимом.

\({ }^{21}\)Зверніть увагу, що на малюнку 11 показаний випадок однієї жорсткої та однієї відкритої межі (див. Рис. 10b), де\(l=N d\); для концептуально простішої системи з двома жорсткими межами (рис. 10а) нам потрібно було б взяти\(l=(N+1) d\), оскільки жодна з кінцевих точок не може коливатися.

\({ }^{22}\)Зауважимо, що це просте, але дуже важливе співвідношення часто виводиться за допомогою так званого граничної умови Борна-Кармана\(q_{0}(t) \equiv q_{N}(t)\), що передбачає згинання цікавить системи в замкнутий контур. Для 1D системи з\(N>>1\), такі розумові вправи можуть бути якось виправдані, але для систем вищого виміру це навряд чи фізично правдоподібно\(-\) і є непотрібним.