6.4: Акустичні хвилі

Тепер повернемося до межі низькочастотних, бездисперсійних акустичних хвиль\(|\omega|<<\omega_{0}\), з, що поширюються з частотно-незалежною швидкістю (31). Такі хвилі є загальною властивістю будь-якого пружного суцільного середовища і підкоряються простому (і дуже важливому) рівнянню з частинними похідними. Щоб його вивести, відзначимо, що в межі акустичної хвилі\(|k d|<<1,{ }^{11}\) фазовий зсув\(\alpha \equiv k d\) дуже близький до\(2 \pi n\). Це означає, що відмінності\(q_{j+1}(t)-q_{j}(t)\) і\(q_{j}(t)-q_{j-1}(t)\), беручи участь в Eq. (25), відносно невеликі і можуть бути наближені з\(\partial q / \partial j \equiv \partial q / \partial(z / d) \equiv d(\partial q / \partial z)\), причому похідні взяті в середніх точках між частинками: відповідно,\(z_{+} \equiv\left(z_{j+1}-z_{j}\right) / 2\) і\(z_{-} \equiv\left(z_{j}-z_{j-1}\right) / 2\). Розглянемо тепер\(z\) як безперервний аргумент, і введемо зміщення частинок\(q(z, t)-\) безперервну функцію простору і часу, що задовольняє вимозі\(q\left(z_{j}, t\right)=q_{j}(t)\). У цьому позначенні, в межі kd\(\rightarrow 0\), сума двох останніх членів Eq. (24) стає\(-\kappa d\left[\partial q / \partial z\left(z_{+}\right)-\partial q / \partial z\left(z_{-}\right)\right]\), і, отже, може бути наближена як, з другою похідною\(-\kappa d^{2}\left(\partial^{2} q / \partial z^{2}\right)\), взятою в точці\(\left(z_{+}-z_{-}\right) / 2 \equiv z_{j}\), тобто точно в тій же точці, що і похідна часу. В результаті весь набір звичайних диференціальних рівнянь (24), для різних\(j\), зводиться лише до одного рівняння з частинними похідними.\[m \frac{\partial^{2} q}{\partial t^{2}}-\kappa_{\text {ef }} d^{2} \frac{\partial^{2} q}{\partial z^{2}}=0 .\] Використовуючи Eq. (31), ми можемо переписати це\(1 D\) хвильове рівняння в більш загальному вигляді\[\left(\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right) q(z, t)=0\] Найважливіша властивість хвильового рівняння ( 40), яка може бути перевірена елементарною заміною, полягає в тому, що вона задовольняється будь-яким з двох розв'язків біжучої хвилі (або їх лінійної суперпозиції):\[q_{+}(z, t)=f_{+}(t-z / v), \quad q_{-}(z, t)=f_{-}(t+z / v),\] де\(f_{\pm}\) є будь-які гладкі функції одного аргументу. Фізичний сенс цих розв'язків можна виявити, помітивши, що\(q_{\pm}\) зсуви не змінюються при додаванні довільної зміни\(\Delta t\) до їх аргументу часу, за умови, що це супроводжується додаванням пропорційного додавання\(\mp v \Delta t\) до їх простору аргументу. Це означає, що з часом сигнали просто рухаються (відповідно, вліво або вправо), з постійною швидкістю\(v\), зберігаючи свою форму - див. Рис. \({ }^{12}\)

Мал. 6.7. Поширення біжучої хвилі в бездисперсній 1D системі.

Повертаючись до простої моделі, показаної на малюнку 4, дозвольте підкреслити, що\(v\) акустично-хвильова швидкість різна для хвиль двох типів: для поздовжніх хвиль (з\(\kappa_{\mathrm{ef}}=\kappa\), див. Рис. 4b),\[v=v_{l} \equiv\left(\frac{\kappa}{m}\right)^{1 / 2} d,\] тоді як для поперечних хвиль (з\(\kappa_{\mathrm{ef}}=\mathscr{T} / d\), див.\[v=v_{t}=\left(\frac{\mathscr{T}}{m d}\right)^{1 / 2} d \equiv\left(\frac{\mathscr{J} d}{m}\right)^{1 / 2} \equiv\left(\frac{\mathscr{T}}{\mu}\right)^{1 / 2}\] Рис. константа\(\mu \equiv m / d\) має просте фізичне відчуття маси ланцюга частинок на одиницю довжини. Очевидно, що ці швидкості, в одній і тій же системі, можуть бути досить різними. Хвильове рівняння (40) при єдиному його параметрі може приховувати той факт\(v\), що будь-яка хвильова підтримуюча система характеризується ще одним ключовим параметром. У нашій сучасній моделі (рис. 4) цей параметр може бути виявлений шляхом обчислення сил, що\(F_{\pm}(z, t)\) супроводжують будь-яку з біжучих хвиль (41) переміщень частинок. Наприклад, в межі акустичної хвилі, яку\(k d \rightarrow 0\) ми розглядаємо зараз, сила, яку надає\(j^{\text {th }}\) частинка на її правого сусіда, може бути наближена так,\[F\left(z_{j}, t\right) \equiv \kappa_{\mathrm{ef}}\left[q_{j}(t)-q_{j+1}(t)\right] \approx-\left.\kappa_{\mathrm{ef}} \frac{\partial q}{\partial z}\right|_{z=z_{j}} d,\] де, як було розглянуто вище,\(\kappa_{\text {ef }}\) дорівнює\(\kappa\) для поздовжніх хвиль, а\(\mathscr{T} / d\) для поперечних хвилі. Але для біжучих хвиль (41)\(\partial q_{\pm} / \partial z\) часткові похідні рівні\(\mp\left(d f_{\pm} / d t\right) / v\), так що відповідні сили рівні\[F_{\pm}=\mp \frac{\kappa_{\mathrm{ef}} d}{v} \frac{d f_{\pm}}{d t},\] тобто пропорційні швидкостям частинки\(u=\partial q / \partial t\) в цих хвиль\({ }^{13} u_{\pm}=d f_{\pm} / d t\), для тих же\(z\) і т. \[\frac{F_{\pm}(z, t)}{u_{\pm}(z, t)}=-\kappa_{\mathrm{ef}} d \frac{\partial q_{\pm} / \partial z}{\partial q_{\pm} / \partial t}=-\kappa_{\mathrm{ef}} d \frac{\left(\mp d f_{\pm} / d t\right) / v}{d f_{\pm} / d t} \equiv \pm \frac{\kappa_{\mathrm{ef}} d}{v},\]залежить тільки від напрямку поширення хвилі, але не залежить від\(z\) і\(t\), а також від форми хвилі, що поширюється. Його величина,\[Z \equiv\left|\frac{F_{\pm}(z, t)}{u_{\pm}(z, t)}\right|=\frac{\kappa_{\mathrm{ef}} d}{v}=\left(\kappa_{\mathrm{ef}} m\right)^{1 / 2},\] що характеризує динамічну «жорсткість» системи для поширюються хвиль, називається хвильовим опором. \({ }^{14}\)Зверніть увагу, що імпеданс визначається добутком загальних параметрів системи\(\kappa_{\text {ef }}\) і\(m\), при цьому швидкість хвилі (31) пропорційна їх співвідношенню, так що ці два параметри є повністю незалежними, і обидва важливі. Відповідно до Eq. (47), хвильовий опір, так само, як і швидкість хвилі, також різний для поздовжніх і поперечних хвиль:

\[\ Z_{l}=\frac{\kappa d}{\nu_{l}} \equiv(\kappa m)^{1 / 2}, \quad Z_{t}=\frac{\mathscr{T}}{\nu_{t}} \equiv(\mathscr{T} \mu)^{1 / 2}.\]

(Зверніть увагу, що перше з цих виразів для\(Z\) збігається з тим, що використовується для одного осцилятора в п. 5.6. У цьому випадку\(Z\) може бути також перероблений у формі, подібній до Eq. (46), а саме, як відношення амплітуди сили і швидкості при вільних коливаннях.)

Однією з ключових функцій хвильового імпедансу є масштабування потужності, що переноситься біжучою хвилею:\[\mathscr{P}_{\pm} \equiv F_{\pm}(z, t) u_{\pm}(z, t)=-\kappa_{\mathrm{ef}} d \frac{\partial q_{\pm}}{\partial z} \frac{\partial q_{\pm}}{\partial t}=\pm \frac{\kappa_{\mathrm{ef}} d}{v}\left(\frac{d f_{\pm}}{d t}\right)^{2} \equiv \pm Z\left(\frac{d f_{\pm}}{d t}\right)^{2} .\] Два зауваження щодо цього важливого результату. По-перше, знак\(\mathscr{P}\) залежить тільки від напрямку поширення хвилі, але не від форми хвилі. По-друге, миттєве значення потужності не змінюється, якщо ми рухаємося з хвилею, про яку йде мова, тобто вимірюємо в\(\mathscr{P}\) точках з\(z \pm v t=\) const. Це природно, тому що в розглянутій нами гамільтонової системі енергія хвилі зберігається. Отже, хвильовий опір\(Z\) характеризує передачу енергії по системі, а не її розсіювання.

Інша важлива функція поняття хвильового імпедансу стає зрозумілою, якщо розглядати хвилі в неоднорідних системах. Дійсно, наш попередній аналіз припускав, що 1D система, що підтримує хвилі (рис. 4), є точно періодичною, тобто макроскопічно рівномірною, і поширюється на весь шлях від\(-\infty\) до\(+\infty\). Тепер давайте розберемо, що відбувається, коли це не відповідає дійсності. Найпростішим і дуже важливим прикладом таких неоднорідних систем є гострий інтерфейс, тобто точка (скажімо,\(z=0\)), при якій параметри системи відчувають стрибок, залишаючись постійними з кожного боку інтерфейсу (\(-\)див. Рис.\(8 .\)

Малюнок 6.8. Часткове відображення хвилі від різкого розділу.

При цьому хвильове рівняння (40) і його часткові розв'язки (41) все ще дійсні для\(z\langle 0\) і\(z\rangle\) 0 - в першому випадку з заґрунтованими параметрами. Однак стрибок параметрів на інтерфейсі призводить до часткового відображення падаючої хвилі від інтерфейсу, так що хоча б на стороні падіння (у випадку, показаному на малюнку 8, для\(z \geq 0\)), нам потрібно використовувати два таких терміна, один описує падаючу хвилю, а інший - відбитий wave:\[q(z, t)= \begin{cases}f_{-}^{\prime}\left(t+z / v^{\prime}\right), & \text { for } z \leq 0, \\ f_{-}(t+z / v)+f_{+}(t-z / v), & \text { for } z \geq 0 .\end{cases}\] Щоб знайти зв'язки між функціями\(f_{-}, f_{+}\), і\(f_{-}\) '(з яких перша, що описує падаючу хвилю, може вважатися відомою), ми можемо використовувати дві граничні умови при\(z=0\). По-перше,\(q_{0}(t)\) зміщення частинки на інтерфейсі має бути однаковим, чи вважається вона частиною лівої чи правої підсистеми, і вона бере участь у Eqs. (50) для обох\(z \leq 0\) і\(z \geq 0\). Це дає нам першу граничну умову:\[f_{-}^{\prime}(t)=f_{-}(t)+f_{+}(t) .\] З іншого боку, сили, що діють на інтерфейс зліва та справа, також повинні мати однакову величину, оскільки інтерфейс може розглядатися як об'єкт із зникаючою масою, і будь-яка ненульова чиста сила дасть йому нескінченну (і, отже, нефізичне) прискорення. Разом з Eqs. (45) і (47) це дає нам другу граничну умову:\[Z^{\prime} \frac{d f_{-}^{\prime}(t)}{d t}=Z\left[\frac{d f_{-}(t)}{d t}-\frac{d f_{+}(t)}{d t}\right] .\] інтегруючи обидві частини цього рівняння з плином часу і нехтуючи константою інтеграції (яка описує загальне зміщення всіх частинок, а не їх коливання), ми отримуємо\[Z^{\prime} f_{-}^{\prime}(t)=Z\left[f_{-}(t)-f_{+}(t)\right] .\] Тепер рішення системи двох лінійних рівнянь (51) і (53) для\(f_{+}(t)\) і\(f_{+}^{\prime}(t)\), ми бачимо, що обидві ці функції пропорційні падаючій формі хвилі:\[f_{+}(t)=R f_{-}(t), \quad f_{-}^{\prime}(t)=\tau f_{-}(t),\] з наступними\((T)\) коефіцієнтами відображення\((R)\) та передачі:\[R=\frac{Z-Z^{\prime}}{Z+Z^{\prime}}, \quad \tau=\frac{2 Z}{Z+Z^{\prime}} .\] Пізніше в цій серії ми побачимо, що з відповідне повторне визначення імпедансу, ці співвідношення також справедливі для хвиль іншої фізичної природи (включаючи хвилі де Броля в квантовій механіці), що поширюються в одномерних неперервних структурах, а також у континуа вищих розмірів, при нормальному падінні хвилі на межі розділу. \({ }^{15}\)Відзначимо, що коефіцієнти\(R\) і\(T\) дають співвідношення амплітуд хвиль, а не їх потужностей. Поєднуючи Eqs. (49) і (55), отримаємо наступні співвідношення для потужностей - або на межі розділу, або у відповідних точках відбитих і переданих хвиль:\[\mathscr{P}_{+}=\left(\frac{Z-Z^{\prime}}{Z+Z^{\prime}}\right)^{2} \mathscr{P}_{-}, \quad \mathscr{P}_{-}^{\prime}=\frac{4 Z Z^{\prime}}{\left(Z+Z^{\prime}\right)^{2}} \mathscr{P}_{-} .\] Відзначимо\(\mathscr{P}_{-}+\mathscr{P}_{+}=\mathscr{P}_{-}^{\prime}\), що, знову ж таки відображаючи хвилю енергозбереження.

Мабуть, найважливішим наслідком Eqs. (55) - (56) є те, що відбита хвиля повністю зникає, тобто падаюча хвиля повністю передається через інтерфейс\(\left(\mathscr{P}_{+}^{\prime}=\mathscr{P}_{+}\right)\), якщо виконується так\(Z^{\prime}=Z\) звана умова узгодження імпедансу, навіть якщо швидкості хвиль\(v(32)\) різні на ліву і праву його сторони. Навпаки, рівність акустичних швидкостей в двох континуа не гарантує повну передачу їх інтерфейсу. Знову ж таки, це дуже загальний результат.

Нарешті, зауважимо, що для важливого конкретного випадку синусоїдальної падаючої хвилі:\({ }^{16}\)\[f_{-}(t)=\operatorname{Re}\left[a e^{-i \omega t}\right], \quad \text { so that } f_{+}(t)=\operatorname{Re}\left[\operatorname{Ra} e^{-i \omega t}\right],\] де\(a\) її\((50)\) складна амплітуда, загальна хвиля праворуч від інтерфейсу знаходиться в\[q(z, t)=\operatorname{Re}\left[a e^{-i \omega(t+z / v)}+\operatorname{R} a e^{-i \omega(t-z / v)}\right] \equiv \operatorname{Re}\left[a\left(e^{-i k z}+\operatorname{Re}^{+i k z}\right) e^{-i \omega t}\right], \text { for } z \geq 0\] той час як відповідно до Eq. (45), відповідний розподіл сили є\[F(z, t)=F_{-}(z, t)+F_{+}(z, t)=-Z \frac{\partial f_{-}(t-z / v)}{\partial t}+Z \frac{\partial f_{-}(t-z / v)}{\partial t}=\operatorname{Re}\left[i \omega Z a\left(e^{-i k z}-R e^{+i k z}\right) e^{-i \omega t}\right] .\] Ці вирази будуть використані в наступному розділі.

---

\({ }^{11}\)Строго кажучи, за обговоренням в кінці попереднього розділу, в цьому міркуванні\(k\) мається на увазі відстань хвильового числа від найближчої точки\(2 \pi n / d-\) див. Рис. 5 ще раз.

\({ }^{12}\)З точки зору Eq. (40) єдина вимога до «плавності» функцій\(f_{\pm}\) - бути подвійно диференційованим. Однак не слід забувати, що в нашому випадку хвильове рівняння є лише наближенням дискретного еквалайзера (24), так що відповідно до Eq. (30) збереження форми біжучої хвилі обмежується граничною умовою акустичної хвилі\(\omega<<\omega_{\max }\), яка повинна виконуватися для будь-якої Фур'є складової цих функцій .

\({ }^{13}\)Звичайно, швидкість частинки\(u\) (пропорційну амплітуді хвилі) не слід плутати зі швидкістю хвилі\(v\) (яка не залежить від цієї амплітуди).

\({ }^{14}\)Це поняття, на жаль, відсутня у багатьох фізиках (але не інженерних!) підручники.

\({ }^{15}\)Дивіться, відповідні частини конспектів лекцій: QM Sec. \(2.3\)і EM Sec. \(7.3\).

\({ }^{16}\)У границі акустичної хвилі, коли імпеданси\(Z\) і\(Z^{\prime}\), отже, коефіцієнт відбиття дійсні\(R\),\(R\) і\(Z\) можуть бути взяті з-під операторів Re в Eqs. (57) - (59). Однак в поточній, більш загальній формі цих відносин вони справедливі і для випадку довільних частот\(\omega \sim \omega_{\max }\), коли\(R\) і\(Z\) можуть бути складними.