6.3:1D хвилі

Другий випадок, коли загальні результати останнього розділу можуть бути спрощені - це спарені системи зі значним ступенем симетрії. Мабуть, найважливішими з них є однорідні системи, які можуть витримувати подорожі та стоячі хвилі. На малюнку 4а показаний простий приклад такої системи - довга рівномірна ланцюг частинок, маси\(m\), з'єднана легкими пружними пружинами, попередньо розтягнутими з силою натягу,\(\mathscr{T}\) щоб мати рівні довжини\(d\). (В якійсь мірі це узагальнення двочастинкової системи, розглянутої в п. \(1-\)див. рис. 1.)

Рис.6.4. (а) рівномірний 1D ланцюг пружно зв'язаних частинок та їх малі (б) поздовжні та (c) поперечні зміщення (значно перебільшені для наочності).

Попереднє розтягування пружини не впливає на дрібні поздовжні\(q_{j}\) коливання частинок щодо їх рівноважних положень\(z_{j}=j d\) (де ціле\(j\) число частинок послідовно)\(-\) див. Малюнок\(4 \mathrm{~b} .{ }^{5}\) Дійсно, в законі\(2^{\text {nd }}\) Ньютона для такого поздовжнього рух\(j^{\text {th }}\) частинки, сили\(\mathscr{T}\) і\(-\mathscr{T}\) чинилися пружинами праворуч і ліворуч від неї, скасовують. Однак пружні доповнення\(\kappa \Delta q\), до цих сил, як правило, різні:\[m \ddot{q}_{j}=\kappa\left(q_{j+1}-q_{j}\right)-\kappa\left(q_{j}-q_{j-1}\right) .\] Навпаки, для поперечних коливань в межах однієї площини (рис. 4с), чиста поперечна складова сили попереднього розтягування, що чиниться на\(j^{\text {th }}\) частинку\(\mathscr{T}_{\mathrm{t}}=\mathscr{T}\left(\sin \varphi_{+}-\sin \varphi_{-}\right)\), де\(\varphi_{\pm}\) знаходяться сили напрямок кутів, не зникає. В результаті прямі внески в цю силу від невеликих поперечних коливань, при\(\left|q_{j}\right|<<d, \mathscr{T} \kappa\), мізерно малі. Також через першого з цих сильних умов кути\(\varphi_{\pm}\) невеликі, а значить, можуть бути наближені, відповідно, як\(\varphi_{+} \approx\left(q_{j+1}-q_{j}\right) / d\) і\(\varphi_{-} \approx\left(q_{j}-q_{j-1}\right) / d\). Підключаючи ці вирази в подібне наближення,\(\mathscr{T}_{\mathrm{t}} \approx \mathscr{T} \varphi_{+}-\varphi_{-}\)) для поперечної сили, ми бачимо, що вона може бути виражена як\(\mathscr{T}\left(q_{j+1}-q_{j}\right) / d-\mathscr{T}\left(q_{j}-q_{j-1}\right) / d\), тобто абсолютно схожа на таку в поздовжньому випадку, просто з заміною\(\kappa \rightarrow \mathscr{T} / d\). В результаті ми можемо записати рівняння руху\(j^{\text {th }}\) частинки для цих двох випадків в однаковому вигляді:\[m \ddot{q}_{j}=\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j+1}-q_{j}\right)-\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j}-q_{j-1}\right),\] де\(\kappa_{\text {ef }}\) «ефективна постійна пружини», рівна\(\kappa\) для поздовжніх коливань, і до\(\mathscr{T} / d\) для поперечних коливань. \({ }^{6}\)Крім (формально) нескінченного розміру системи, Eq. (24) є лише окремим випадком Eq. (17), і, таким чином, його конкретне рішення можна шукати у вигляді (18), де в світлі нашого попереднього досвіду ми можемо негайно взяти\(\lambda^{2} \equiv-\omega^{2}\). При цій заміщенні еквалайзер (24) дає таку просту форму загальної системи рівнянь (17) для коефіцієнтів розподілу\(c_{j}\):\[\left(-m \omega^{2}+2 \kappa_{\mathrm{ef}}\right) c_{j}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j+1}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j-1}=0 .\] Тепер настає найважливіший концептуальний крок до хвильової теорії. Поступальна симетрія еквалайзера (25), тобто його інваріантність до заміни\(j \rightarrow j+1\), дозволяє йому мати конкретні розв'язки наступного виду:\[c_{j}=a e^{i \alpha j}\] де коефіцієнт\(\alpha\) може залежати від\(\omega\) (і параметрів системи), але не від числа частинок\(j\). Дійсно, підключивши Eq. (26) до Eq. (25) і скасовуючи загальний фактор\(e^{i \alpha j}\), ми бачимо, що він дійсно однаково задоволений, за умови, що\(\alpha\) підпорядковується наступному алгебраїчному\[\left(-m \omega^{2}+2 \kappa_{\mathrm{ef}}\right)-\kappa_{\mathrm{ef}} e^{+i \alpha}-\kappa_{\mathrm{ef}} e^{-i \alpha}=0 .\] рівнянню: Фізичний сенс рішення (26) стає зрозумілим, якщо ми використовуємо його і Eq. (18) з\(\lambda=\mp i \omega\), записати\[q_{j}(t)=\operatorname{Re}\left[a \exp \left\{i\left(k z_{j} \mp \omega t\right)\right\}\right]=\operatorname{Re}\left[a \exp \left\{i k\left(z_{j} \mp v_{\mathrm{ph}} t\right)\right\}\right]\], де число хвилі\(k\) визначається як\(k \equiv \alpha / d\). Еквал. (28) описує\({ }^{7}\) синусоїдальну біжучу хвилю переміщень частинок, яка поширюється, залежно від знака раніше\(v_{\mathrm{ph}}\), вправо або вліво вздовж ланцюга частинок, з так званою фазовою швидкістю\[v_{\mathrm{ph}} \equiv \frac{\omega}{k} .\] Мабуть, найважливішою характеристикою хвильової системи є так -зване дисперсійне відношення, тобто відношення між частотою хвилі\(\omega\) та її хвилею номер\(k-\) один, можна сказати, між часовою та просторовою частотами хвилі. Для нашої нинішньої системи це співвідношення задається Eq. (27) с\(\alpha \equiv k d\). Беручи до уваги це\(\left(2-e^{+i \alpha}-e^{-i \alpha}\right) \equiv 2(1-\cos \alpha) \equiv 4 \sin ^{2}(\alpha / 2)\), співвідношення дисперсії може бути переписано в простішому вигляді:\[\omega=\pm \omega_{\max } \sin \frac{\alpha}{2} \equiv \pm \omega_{\max } \sin \frac{k d}{2}, \quad \text { where } \omega_{\max } \equiv 2\left(\frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m}\right)^{1 / 2}\] Цей результат, намальований на малюнку 5, є досить примітним у кількох аспектах. Я детально їх обговорю, тому що більшість цих ознак характерні для хвиль будь-якого типу (включаючи навіть «хвилі де Броля», тобто хвильові функції, в квантовій механіці), що поширюються в періодичних структурах.

Рис.6.5. Співвідношення дисперсії (30).

По-перше, на низьких частотах відношення дисперсії (31) є лінійним:\[\omega=\pm v k, \quad \text { where } v \equiv\left|\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=0}=\frac{\omega_{\max } d}{2}=\left(\frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m}\right)^{1 / 2} d .\] Підключивши Eq. (31) до Eq. (29), ми бачимо, що постійна\(v\) грає в низькочастотній межі роль тієї ж фазової швидкості для хвиль будь-якої частоти.\(\omega<<\omega_{\max }\) Завдяки своїй важливості, ця межа акустичної хвилі буде з темою спеціального наступного розділу.

По-друге, коли частота хвиль порівнянна з\(\omega_{\max }\), співвідношення дисперсії не є лінійним, а система дисперсійна. Це означає, що як хвиля, спектр Фур'є якої має кілька важливих компонентів з частотами порядку\(\omega_{\max }\), рухається по структурі, змінюється її форма хвилі (яка може бути визначена як форма лінії\(q_{j}(z)\), що з'єднує всі точки, одночасно). \({ }^{9}\)Цей ефект може бути проаналізований шляхом представлення загального розв'язку еквалайзера (24) як суми (загалом, інтеграла) компонентів (28) з різними комплексними амплітудами\(a\):\[q_{j}(t)=\operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{i\left[k z_{j}-\omega(k) t\right]\right\} d k .\] Це позначення підкреслює залежність амплітуд\(a_{k}\) і частот компонентів хвиль \(\omega\)по хвильовому числу\(k\). У той час як остання залежність задається співвідношенням дисперсії (в нашому поточному випадку - Eq. (30)), функція\(a_{k}\) визначається початковими умовами. Для додатків особливе значення має випадок, коли істотно\(a_{k}\) відрізняється від нуля лише вузьким інтервалом, шириною\(\Delta k<<k_{0}\) навколо якогось центрального значення\(k_{0}\). Перетворення Фур'є, зворотне Eq. (32) показує, що це вірно, зокрема, для так званого хвильового пакета - синусоїдальної хвилі, модульованої функцією просторової оболонки великої ширини\(\Delta z \sim 1 / \Delta k>>1 / k_{0}-\) див., наприклад, рис. 6.

Малюнок 6.6. Фазові та групові швидкості хвильового пакета.

Використовуючи сильну нерівність\(\Delta k<<k_{0}\), поширення хвильового пакету можна проаналізувати, витрачаючи дисперсійне відношення до\(\omega(k)\) ряду Тейлора в точці\(k_{0}\), і, в першому наближенні\(\Delta k / k_{0}\), обмежуючи розширення його першими двома членами:\[\omega(k) \approx \omega_{0}+\left.\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} \tilde{k}, \quad \text { where } \omega_{0} \equiv \omega\left(k_{0}\right), \text { and } \widetilde{k} \equiv k-k_{0} .\] У цьому наближенні Еквал. (32) дає\[\begin{aligned} q_{j}(t) & \approx \operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{i\left[\left(k_{0}+\tilde{k}\right) z_{j}-\left(\omega_{0}+\frac{d \omega}{d k} \mid k=k_{0} \tilde{k}\right) t\right]\right\} d k \\ & \equiv \operatorname{Re}\left[\exp \left\{i\left(k_{0} z_{j}-\omega_{0} t\right)\right\} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{i \widetilde{k}\left(z_{j}-\left.\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} t\right)\right\} d k\right] . \end{aligned}\] Порівняння останнього виразу з початковою формою хвильового пакета,\[q_{j}(0)=\operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} e^{i k z_{j}} d k \equiv \operatorname{Re}\left[\exp \left\{i k_{0} z_{j}\right\} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{\tilde{k} z_{j}\right\} d k\right],\] і враховуючи, що фазові множники перед інтегралами в останніх формах Eqs. (34) і (35) не впливають на його оболонку, ми бачимо, що в цьому наближенні оболонка підтримує свою початкова форма і поширюється по системі з так званою груповою швидкістю.\[\left.v_{\mathrm{gr}} \equiv \frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} .\] За винятком межі акустичної хвилі (31), ця швидкість, що характеризує поширення огинаючої форми хвилі, відрізняється від фазової швидкості (29), яка описує поширення «несучої» синусоїдальної хвилі , Наприклад, положення одного з його нулів - див. Червоні і сині стрілки на малюнку 6. (Беручи до уваги наступний термін у розширенні функції Тейлора\(\omega(q)\), пропорційно\(d^{2} \omega / d q^{2}\), ми виявимо, що дисперсія призводить до поступової зміни форми оболонки. Такі зміни відіграють важливу роль у квантовій механіці, так що вони детально розглядаються в частині QM цих конспектів лекцій.) Далі, для нашого конкретного співвідношення дисперсії (30) різниця між\(v_{\mathrm{ph}}\) і\(v_{\mathrm{gr}}\) збільшується з\(\omega\) наближенням\(\omega_{\max }\), при цьому групова швидкість (36) прагне до нуля, тоді як фазова швидкість залишається майже постійною. Фізика такої максимальної частоти, доступної для поширення хвилі, може бути легко зрозуміла, помітивши, що відповідно до Eq. (30), при, число хвилі\(k\) дорівнює\(\omega=\omega_{\max }\)\(n \pi / d\), де\(n\) є непарним цілим числом, а отже, фазовий зсув\(\alpha \equiv k d\) є непарним кратним \(\pi\). Включивши це значення в Eq. (28), ми бачимо, що при\(\omega=\omega_{\max }\), коливання двох сусідніх частинок знаходяться в антифазі, наприклад:\[q_{0}(t)=\operatorname{Re}[a \exp \{-i \omega t\}], \quad q_{1}(t)=\operatorname{Re}[a \exp \{i \pi-i \omega t\}]=-q_{0}(t) .\] Зрозуміло, особливо з рис.\(4 \mathrm{~b}\) Для поздовжніх коливань, що при такому зсуві фаз все пружини максимально розтягнуті/стиснуті ( так само, як у жорсткому режимі двох пов'язаних осциляторів, проаналізованих в п. 1), так що природно, що цей режим має максимально можливу частоту.

Цей факт викликає закономірне питання: що відбувається з системою, якщо вона збуджена з частотою\(\omega>\omega_{\max }\), скажімо зовнішньою силою, прикладеною на її кордоні? Розглядаючи розрахунки, які привели до співвідношення дисперсії (30), ми бачимо, що всі вони дійсні не тільки для реальних, але і будь-яких складних значень\(k\). Зокрема, при цьому\(\omega>\omega_{\max }\) дає\[k=\frac{(2 n-1) \pi}{d} \pm \frac{i}{\Lambda}, \quad \text { where } n=1,2,3, \ldots, \quad \Lambda \equiv \frac{d}{2 \cosh ^{-1}\left(\omega / \omega_{\max }\right)} .\] Підключення цього відношення до Eq. (28), ми бачимо, що амплітуда хвилі стає експоненціальною функцією положення частинки:\[\left|q_{j}\right|=|a| e^{\pm j \operatorname{Im} k d} \propto \exp \left\{\pm z_{j} / \Lambda\right\} .\] Фізично це означає, що проникаючи в структуру, хвиля розпадається експоненціально (від точки збудження), падіння на коефіцієнт\(e \approx 3\) на так звану глибину проникнення\(\Lambda\). (Згідно з еквалайзером (38), на\(\omega \sim \omega_{\max }\) цій глибині становить порядок відстані\(d\) між сусідніми частинками, і зменшується, але досить повільно, оскільки частота збільшується за межі\(\omega_{\max }\).) Таке обмежене проникнення є дуже поширеною властивістю хвиль, в тому числі електромагнітних хвиль, що проникають в різні плазми і надпровідники, і квантово-механічних хвиль де Броля, що проникають в класично заборонені області простору. Відзначимо, що цей ефект «вигнання хвилі» із середовища не вимагає ніякої розсіювання енергії.

Нарешті, ще однією захоплюючою особливістю дисперсійного відношення (30) є його періодичність: якщо відношення задовольняється деяким хвильовим числом\(k_{0}(\omega)\), воно також задовольняється при будь-якому\(k_{n}(\omega)=k_{0}(\omega)+2 \pi n / d\), де\(n\) ціле число. Це властивість не залежить від конкретної динаміки системи і є загальною властивістю всіх систем, які є\(d\) -періодичними в звичайному («прямому») просторі. Це має особливо важливі наслідки для квантових хвиль де Броля в періодичних системах - наприклад, кристалах - приводячи, зокрема, до відомої смуги/щілинної структури їх енергетичного спектра. \({ }^{10}\)

---

\({ }^{5}\)Відзначимо необхідність чіткого розмежування положення\(z_{j}\) рівноваги\(j^{\text {th }}\) точки і її відхилення від неї,\(q_{j}\). Така відмінність повинна бути витримана в безперервному межі (див. Нижче), де його часто називають описом Ейлера - названим на честь Л.Ейлера, навіть незважаючи на те, що його ввів в механіку Дж. У цьому курсі відмінність підкреслюється за допомогою різних букв - відповідно,\(z\) і\(q\). (У випадку 3D,\(\mathbf{r}\) і\(\mathbf{q}\).)

\({ }^{6}\)Повторне виведення Eq. (24) від формалізму Лагранжа, з одночасним суворим доказом того, що малі коливання в поздовжньому напрямку та два взаємно перпендикулярні поперечні напрямки незалежні один від одного, є дуже гарною вправою, залишеною для читача.

\({ }^{7}\)В оптиці та квантовій механіці такі хвилі зазвичай називають монохроматичними; я не буду використовувати цей термін до відповідних частин (EM і QM) моєї серії.

\({ }^{8}\)Цей термін є чисто історичним. Хоча звичайні звукові хвилі в повітрі належать до цього класу, хвилі, про які ми обговорюємо, можуть мати частоти як значно нижче, так і значно вище діапазону чутливості людського вуха.

\({ }^{9}\)Деформацію форми хвилі внаслідок дисперсії (яку ми зараз розглядаємо) слід чітко відрізняти від її можливої зміни внаслідок загасання, тобто втрат енергії - що не враховується наша поточна енергозберігаюча модель - див.

\({ }^{10}\)Більш докладно див., наприклад, QM Sec. \(2.5\).