6.2: N З'єднані осцилятори

Обчислення попереднього розділу можуть бути легко узагальнені на випадок довільного числа (скажімо,\(N\)) зв'язаних гармонічних осциляторів, з довільним типом зв'язку. Очевидно, що в цьому випадку Eq. (4) слід замінити на\[L=\sum_{j=1}^{N} L_{j}+\sum_{j, j^{\prime}=1}^{N} L_{j j^{\prime}}\] Крім того, ми можемо узагальнити вищевказаний вираз для змішаних членів\(L_{j j}\), враховуючи їх можливу залежність не тільки від узагальнених координат, а й від узагальнених швидкостей, у білінійній формі, подібній до Ур. (4). Отриманий Лагранж може бути представлений у компактній формі,\[L=\sum_{j, j^{\prime}=1}^{N}\left(\frac{m_{i j^{\prime}}}{2} \dot{q}_{j} \dot{q}_{j^{\prime}}-\frac{\kappa_{i j^{\prime}}}{2} q_{j} q_{j^{\prime}}\right),\] де позадіагональні члени індексово-симетричні:\(m_{j j^{\prime}}=m_{j^{\prime} j}, \kappa_{j j^{\prime}}=\kappa_{j j}\), а фактори\(1 / 2\) компенсують подвійний підрахунок кожного члена з\(j \neq j\) ', що відбувається при підсумовуванні двох незалежно працюючих індексів. Можна стверджувати, що Eq. (16) є досить загальним, якщо ми все ще хочемо зберегти рівняння руху лінійними - як вони завжди, якщо коливання досить малі.

Включивши Eq. (16) в загальний вигляд (2.19) рівняння Лагранжа, отримаємо\(N\) рівняння руху системи, по одному на кожне значення індексу\(j^{\prime}=1,2, \ldots, N:\)\[\sum_{j=1}^{N}\left(m_{i j j} \ddot{q}_{j}+\kappa_{j j^{\prime}} q_{j}\right)=0 .\] Так само, як і в попередньому розділі, шукаємо конкретне рішення цієї системи у вигляді В\[q_{j}=c_{j} e^{\lambda t} .\] результаті ми отримання системи\(N\) лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь\[\sum_{j=1}^{N}\left(m_{i j^{\prime}} \lambda^{2}+\kappa_{j j^{\prime}}\right) c_{j}=0,\] для множини коефіцієнтів\(N\) розподілу\(c_{j}\). Умова, що ця система є самоузгодженою, полягає в тому, що детермінант її матриці дорівнює нулю:\[\operatorname{Det}\left(m_{i j^{\prime}} \lambda^{2}+\kappa_{i j^{\prime}}\right)=0 .\] Це характеристичне рівняння є алгебраїчним рівнянням ступеня\(N\) для\(\lambda^{2}\), і так має\(N\) коріння\(\left(\lambda^{2}\right)_{n}\). Для будь-якої гамільтонової системи зі стабільною рівновагою матриці\(m_{i j}\) 'і\(\kappa_{i j}\)' гарантують, що всі ці корені є реальними і негативними. В результаті загальним розв'язком Eq. (17) є сумою членів, пропорційних exp\(\left\{\pm i \omega_{n} t\right\}, n=1,2, \ldots, N\), де всі\(N\) власні частоти\(\omega_{n}\) є дійсними.\(2 N\)

Підключивши кожне з цих\(2 N\) значень\(\lambda=\pm i \omega_{n}\) назад до певного набору лінійних рівнянь (17), можна знайти відповідний набір коефіцієнтів розподілу\(c_{j \pm}\). Як правило, коефіцієнти складні, але, щоб зберегти\(q_{j}(t)\) реальні, коефіцієнти,\(c_{j+}\) відповідні\(\lambda=+i \omega_{n}\), і\(c_{j}\) - відповідні\(\lambda\)\(=-i \omega_{n}\) повинні бути комплексно-сполученими один з одним. Так як множини коефіцієнтів розподілу можуть бути різними для кожного\(\lambda_{n}\), вони повинні бути позначені двома індексами,\(j\) і\(n\). Таким чином, при загальних початкових умовах тимчасова еволюція\(j^{\text {th }}\) координати може бути представлена як\[q_{j}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N}\left(c_{j n} \exp \left\{+i \omega_{n} t\right\}+c_{j n}^{*} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}\right) \equiv \operatorname{Re} \sum_{n=1}^{N} c_{j n} \exp \left\{i \omega_{n} t\right\}\] Ця формула знову дуже чітко показує фізичний сенс коефіцієнтів розподілу\(c_{j n}\): набір цих коефіцієнтів, з різними значеннями індексу,\(j\) але однаковими \(n\), Надає комплексні амплітуди коливань координат для особливих початкових умов, що забезпечують чисто синусоїдальний рух всієї системи, з частотою\(\omega_{n}\).

Обчислення власних частот і коефіцієнтів розподілу певної зв'язаної системи з багатьма ступенями свободи від Eqs. (19) - (20) - це завдання, яке часто може бути виконано лише чисельно. \({ }^{4}\)Давайте обговоримо лише два конкретні, але дуже важливі випадки. По-перше, нехай всі коефіцієнти зчеплення будуть невеликими в наступному сенсі:\(\left|m_{j j^{\prime}}\right|<<m_{j} \equiv m_{j j}\) і\(\left|\kappa_{i j^{\prime}}\right|<<\kappa_{j} \equiv \kappa_{j j}\), для всіх\(j \neq j\), і все часткові частоти\(\Omega_{j} \equiv\left(\kappa_{j} / m_{j}\right)^{1 / 2}\) не дуже близькі один до одного:

\[\ \frac{\left|\Omega_{j}^{2}-\Omega_{j^{\prime}}^{2}\right|}{\Omega_{j}^{2}}>>\frac{\left|\kappa_{j j^{\prime}}\right|}{\kappa_{j}}, \frac{\left|m_{j j^{\prime}}\right|}{m_{j}}, \quad \text { for all } j \neq j^{\prime}.\]

(Така ситуація часто трапляється, якщо параметри системи «випадкові» в тому сенсі, що вони не слідують якомусь особливому, простому правилу - наприклад, в результаті якоїсь простої симетрії системи.) Результати попереднього розділу мають на увазі, що в цьому випадку зв'язок не виробляє помітної зміни частот коливань:\(\left\{\omega_{n}\right\} \approx\left\{\Omega_{j}\right\}\). У даній ситуації коливання на кожній власноїчастоті сильно концентруються в одному ступені свободи, тобто в кожному наборі коефіцієнтів розподілу\(c_{j n}\) (для даного\(n\)) величина одного коефіцієнта набагато більше всіх інших.

Тепер нехай умови (22) будуть дійсні для всіх, крім однієї пари часткових частот, скажімо\(\Omega_{2}\),\(\Omega_{1}\) і, поки ці дві частоти настільки близькі, що зв'язок відповідних часткових осциляторів стає важливим. У цьому випадку наближення все ще\(\left\{\omega_{n}\right\} \approx\left\{\Omega_{j}\right\}\) діє для всіх інших ступенів свободи, і відповідними термінами можна знехтувати в Eqs. (19) for\(j=1\) and 2. В результаті ми повертаємося до Eqs. (7) (можливо, узагальнено для швидкісного зв'язку) і, отже, до діаграми антиперетину (рис. 2), розглянутої в попередньому розділі. В результаті розширена зміна тільки однієї часткової частоти (скажімо,\(\Omega_{1}\)) слабозв'язаної системи дає послідовність власних частотних антиперехресних - див. Рис.

Малюнок 6.3. Рівень антиперетину в системі\(N\) слабозв'язаних осциляторів - схематично.

---

\({ }^{4}\)На щастя, для цієї задачі діагоналізації матриці були розроблені дуже ефективні алгоритми - див., наприклад, посилання в MA Sec. 16 (iii) - (iv). Наприклад, популярний програмний пакет MATLAB спочатку був створений саме для цієї мети. («MAT» у своїй назві розшифровується як «матриця», а не «математика».)