6.1: Два з'єднані осцилятори

Обговоримо коливання в системах з декількома ступенями свободи, починаючи з найпростішого випадку двох лінійних (гармонічних), вільних від дисипації, 1D осциляторів. Якщо осцилятори незалежні один від одного, функція Лагранжа їх системи може бути представлена у вигляді суми двох незалежних членів типу (5.1):\[L=L_{1}+L_{2}, \quad L_{1,2}=T_{1,2}-U_{1,2}=\frac{m_{1,2}}{2} \dot{q}_{1,2}^{2}-\frac{\kappa_{1,2}}{2} q_{1,2}^{2} .\] Відповідно, Eqs. (2.19) для\(q_{j}=q_{1,2}\) дає два незалежних рівняння руху осциляторів, кожне з яких схоже на Eq. (5 .2):\[m_{1,2} \ddot{q}_{1,2}+m_{1,2} \Omega_{1,2}^{2} q_{1,2}=0, \quad \text { where } \Omega_{1,2}^{2}=\frac{\kappa_{1,2}}{m_{1,2}} .\] (У контексті того, що далі, іноді\(\Omega_{1,2}\) називають частковими частотами.) Це означає, що в цьому найпростішому випадку довільний рух системи - це всього лише сума незалежних синусоїдальних коливань на двох частотах, рівних частковим частотам (2).

Однак, як тільки осцилятори з'єднуються (тобто взаємодіють), повний Лагранж\(L\) містить додатковий змішаний термін\(L_{\text {int }}\) залежно як від узагальнених координат, так\(q_{1}\) і\(q_{2}\) та/або узагальнених швидкостей. Як простий приклад розглянемо систему, показану на малюнку 1, там дві малі маси\(m_{1,2}\) обмежені рухатися тільки в одному напрямку (показані горизонтально), і утримуються між двома жорсткими стінками з трьома пружинами.

Рис.6.1. Проста система з двох зв'язаних лінійних осциляторів.

При цьому кінетична енергія ще відокремлюється\(T=T_{1}+T_{2}\), але сумарної потенційної енергії, що складається з пружних енергій трьох пружин, немає:\[U=\frac{\kappa_{\mathrm{L}}}{2} q_{1}^{2}+\frac{\kappa_{\mathrm{M}}}{2}\left(q_{1}-q_{2}\right)^{2}+\frac{\kappa_{\mathrm{R}}}{2} q_{2}^{2},\] де\(q_{1.2}\) розташовані горизонтальні зсуви частинок з їх положень рівноваги. Зручно переписати цей вираз як\[U=\frac{\kappa_{1}}{2} q_{1}^{2}+\frac{\kappa_{2}}{2} q_{2}^{2}-\kappa q_{1} q_{2}, \quad \text { where } \kappa_{1} \equiv \kappa_{\mathrm{L}}+\kappa_{\mathrm{M}}, \quad \kappa_{2} \equiv \kappa_{\mathrm{R}}+\kappa_{\mathrm{M}}, \quad \kappa \equiv \kappa_{\mathrm{M}},\] показує, що функція\(L=T-U\) Лагранжа цієї системи містить, крім часткових членів (1), білінійний термін взаємодії:\[L=L_{1}+L_{2}+L_{\text {int }}, \quad L_{\text {int }}=\kappa q_{1} q_{2} .\] результуючі рівняння руху Лагранжа\[\begin{aligned} &m_{1} \ddot{q}_{1}+m_{1} \Omega_{1}^{2} q_{1}=\kappa q_{2}, \\ &m_{2} \ddot{q}_{2}+m_{2} \Omega_{2}^{2} q_{2}=\kappa q_{1} . \end{aligned}\] Таким чином взаємодія призводить до ефективного \(\kappa q_{2}\)узагальнена сила, що чиниться на підсистему 1 підсистемою 2, і зворотна ефективна сила\(\kappa q_{1}\).

Зверніть увагу на два важливих аспекти цієї (інакше досить простої) системи рівнянь. По-перше, на відміну від фактичних сил фізичної взаємодії (наприклад,\(F_{12}=-F_{21}=\kappa_{\mathrm{M}}\left(q_{2}-q_{1}\right)\) для нашої системи\(^{1}\)) ефективні сили на правій стороні Eqs. (5) не підкоряються закону\(3^{\text {rd }}\) Ньютона. По-друге, сили пропорційні одному і тому ж коефіцієнту\(\kappa\), ця особливість є результатом загальної білілінійної структури (4) енергії взаємодії, а не будь-якої особливої симетрії.

З наших попередніх обговорень ми вже знаємо, як розв'язувати Eqs. (5), оскільки це все ще система лінійних і однорідних диференціальних рівнянь, так що його загальне рішення являє собою суму окремих розв'язків виду, подібного до Eqs. (5.88),\[q_{1}=c_{1} e^{\lambda t}, \quad q_{2}=c_{2} e^{\lambda t},\] з усіма можливими значеннями\(\lambda\). Ці значення можна знайти шляхом підключення Eq. (6) до Eqs. (5) і вимагаючи,\[\begin{aligned} &m_{1} \lambda^{2} c_{1}+m_{1} \Omega_{1}^{2} c_{1}=\kappa c_{2} \\ &m_{2} \lambda^{2} c_{2}+m_{2} \Omega_{2}^{2} c_{2}=\kappa c_{1} \end{aligned}\] щоб отримана система двох лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь для коефіцієнтів\(c_{1,2}\) розподілу була самоузгодженою. У нашому конкретному випадку ми отримуємо характеристичне рівняння,\[\left|\begin{array}{cc} m_{1}\left(\lambda^{2}+\Omega_{1}^{2}\right) & -\kappa \\ -\kappa & m_{2}\left(\lambda^{2}+\Omega_{2}^{2}\right) \end{array}\right|=0,\] тобто квадратичне в\(\lambda^{2}\), і, таким чином, дозволяє отримати просте аналітичне рішення:\[\left(\lambda^{2}\right)_{\pm}=-\frac{1}{2}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right) \mp\left[\frac{1}{4}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right)^{2}-\Omega_{1}^{2} \Omega_{2}^{2}+\frac{\kappa^{2}}{m_{1} m_{2}}\right]^{1 / 2}\]\[\equiv-\frac{1}{2}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right) \mp\left[\frac{1}{4}\left(\Omega_{1}^{2}-\Omega_{2}^{2}\right)^{2}+\frac{\kappa^{2}}{m_{1} m_{2}}\right]^{1 / 2} .\] Відповідно до Eqs. (2) і (3b), для будь-яких позитивних значень пружинних констант, твір завжди більше\(\Omega_{1} \Omega_{2}=\)\(\left(\kappa_{L}+\kappa_{M}\right)\left(\kappa_{R}+\kappa_{M}\right) /\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2}\) \(\kappa /\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2}=\kappa_{M} /\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2}\), так що квадратний корінь у Eq. (9) завжди менше, ніж\(\left(\Omega_{1}{ }^{2}+\Omega_{2}{ }^{2}\right) / 2\). В результаті обидва значення\(\lambda^{2}\) є від'ємними, тобто загальним розв'язком Eq. (5) є сумою чотирьох членів, кожен пропорційний\(\exp \left\{\pm i \omega_{\pm} t\right\}\), де обидві власні частоти («власні частоти»)\(\omega_{\pm} \equiv i \lambda_{\pm}\) дійсні:

\[\ \text{Anticrossing description}\quad\quad\quad\quad\omega_{\pm}^{2} \equiv-\lambda_{\pm}^{2}=\frac{1}{2}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right) \pm\left[\frac{1}{4}\left(\Omega_{1}^{2}-\Omega_{2}^{2}\right)^{2}+\frac{\kappa^{2}}{m_{1} m_{2}}\right]^{1 / 2}.\]

Ділянка цих власних частот як функція однієї з часткових частот (скажімо,\(\Omega_{1}\)), з фіксованою іншою частковою частотою, дає нам знамениту антиперехресну (також звану «уникнення перетину» або «непересічення») діаграму - див. Рис. Можна помітити, що при слабкій зв'язці частоти\(\omega_{\pm}\) близькі до часткових частот\(\Omega_{1,2}\) скрізь, крім вузького діапазону поблизу точки антиперетину\(\Omega_{1}=\Omega_{2}\). Найдивовижніше, що при проходженні через цю область\(\omega_{+}\) плавно «перемикається» з наступних\(\Omega_{2}\) на наступні\(\Omega_{1}\) і навпаки.

Малюнок 6.2. Діаграма антиперетину для двох значень нормованої міцності зчеплення\(\kappa /\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2} \Omega_{2}^{2}: 0.3\) (червоні лінії) і\(0.1\) (сині лінії). У цьому сюжеті\(\Omega_{1}\) передбачається зміна,\(\kappa_{1}\) а не змінюючи\(m_{1}\), але в зворотному випадку діаграма якісно схожа.

Причину такої контрінтуїтивної поведінки можна знайти, вивчивши коефіцієнти розподілу,\(c_{1,2}\) відповідні кожній гілці діаграми, які можна отримати шляхом підключення відповідного значення\(\lambda_{\pm}=-i \omega_{\pm}\) назад до Eqs. (7). Наприклад, у\(\Omega_{1}=\Omega_{2} \equiv \Omega\) точці антиперетину Eq. (10) зводиться до\[\omega_{\pm}^{2}=\Omega^{2} \pm \frac{\kappa}{\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2}}=\Omega^{2}\left(1 \pm \frac{\kappa}{\left(\kappa_{1} \kappa_{2}\right)^{1 / 2}}\right) .\] Підключення цього виразу назад до будь-якого з Eqs. (7), ми бачимо, що для двох гілок діаграми антиперетину коефіцієнт розподілу однаковий за величиною, але протилежний за знаком:\[\left(\frac{c_{1}}{c_{2}}\right)_{\pm}=\mp\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{1 / 2}, \text { at } \Omega_{1}=\Omega_{2} .\] Зокрема, якщо система симетрична\(\left(m_{1}=m_{2}, \kappa_{\mathrm{L}}=\kappa_{\mathrm{R}}\right)\), то у верхньої гілки, відповідної\(\omega_{+}>\omega_{-}\), отримуємо\(c_{1}=-c_{2}\). Це означає, що в цьому так званому жорсткому режимі\({ }^{2}\) маси коливаються в антифазі:\(q_{1}(t) \equiv-q_{2}(t)\). Отримане істотне подовження/стиснення середньої пружини (див. Рис. 1 знову) дає додаткову поворотну силу, що збільшує частоту коливань. Навпаки, у нижньої гілки\(q_{1}(t) \equiv q_{2}(t)\), відповідної, т. Е.\(\omega_{\text {., the particle oscillations are in phase: } c_{1}}=c_{2}\) В результаті в цьому м'якому режимі частота\(\omega_{-}\) коливань нижче, ніж\(\omega_{+}\), і не залежить від\(\kappa_{\mathrm{M}}\):\[\omega_{-}^{2}=\Omega^{2}-\frac{\kappa}{m}=\frac{\kappa_{\mathrm{L}}}{m}=\frac{\kappa_{\mathrm{R}}}{m} .\] Зверніть увагу, що для обох режимів коливання однаково зачіпають обидві частинки.

Далеко від точки антиперетину ситуація зовсім інша. Дійсно, подібний розрахунок\(c_{1,2}\) показує, що на кожній гілці діаграми величина одного з коефіцієнтів розподілу набагато більше, ніж у її аналога. Значить, в цій межі будь-який конкретний режим коливань задіює практично тільки одну частинку. Повільна зміна параметрів системи, приводячи її через антихрест, призводить, спочатку, до максимальної делокалізації кожного режиму при\(\Omega_{1}=\Omega_{2}\), а потім до відновлення локалізації, але в різну часткову ступінь свободи.

Ми могли б легко провести подібні розрахунки для випадку, коли системи з'єднані за допомогою своїх швидкостей\(L_{\text {int }}=m \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}\), де\(m\) коефіцієнт зв'язку\(-\) не обов'язково певна фізична маса. \({ }^{3}\)Результати, як правило, подібні до розглянутих вище, знову ж таки з максимальним рівнем розщеплення на\(\Omega_{1}=\Omega_{2} \equiv \Omega\):\[\omega_{\pm}^{2}=\frac{\Omega^{2}}{1 \mp|m| /\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2}} \approx \Omega^{2}\left[1 \pm \frac{|m|}{\left(m_{1} m_{2}\right)^{1 / 2}}\right],\] останнє відношення дійсне для слабкого зчеплення. Узагальнення до випадку як координатного, так і швидкісного зв'язку також нескладне - див. Наступний розділ.

Відзначимо, що антиперехресна діаграма, показана на малюнку 2, є ще більш повсюдною в квантовій механіці, оскільки через часово-коливальний характер розв'язків рівняння Шредінгера слабка зв'язок будь-яких двох квантових станів призводить до якісно подібної поведінки власних частот\(\omega_{\pm}\) системи, а значить і її власнихенергій («енергетичних рівнів»)\(E_{\pm}=\hbar \omega_{\pm}\) системи.

Ще одна властивість слабозв'язаних осциляторів, періодична повільна передача енергії від одного генератора до іншого і назад, особливо добре виражена в точці антиперетину або поблизу неї\(\Omega_{1}=\Omega_{2}\), також важливіше для квантової, ніж для класичної механіки. Ось чому я посилаю читача до QM частини цієї серії для детального обговорення цього явища.

---

\({ }^{1}\)Використовуючи ці вирази, Eqs. (5) можна легко отримати з законів Ньютона, але використаний вище підхід Лагранжа зробить їх узагальнення в наступному розділі більш простим.

\({ }^{2}\)У фізиці термін «режим» зазвичай використовується для опису розподілу змінної в просторі, при її коливаннях з однією частотою. У нашому поточному випадку, коли поняття простору зводиться до двох осциляторних чисел, «режим» означає просто набір з двох коефіцієнтів розподілу\(c_{1,2}\) для певної власної частоти.

\({ }^{3}\)У механіці, при\(q_{1,2}\) стоянні фактичних лінійних переміщень частинок, таке зчеплення не дуже природне, але існує безліч динамічних систем немеханічної природи, в яких таке зчеплення є найбільш природним. Найпростіший приклад - система з двох\(L C\) («танкових») контурів, з ємнісним або індуктивним зв'язком. Дійсно, як було розглянуто в п. 2.2, для такої системи самі поняття потенційної і кінетичної енергій є умовними і взаємозамінними.