5.9: Проблеми з вправами

5.1. Для системи з функцією відповіді, заданої Eq. (17), доведіть Eq. (26) і використовуйте підхід, відмінний від того, який використовується в п. 1, для отримання еквалайзера (34).

Підказка: Ви можете використовувати інтегральну теорему Коші та інтегральну формулу Коші для аналітичних функцій комплексної змінної\({ }^{42}\)

5.2. Квадратно-хвильовий імпульс сили (див. Малюнок праворуч) чиниться на лінійний генератор з власною частотою\(\omega_{0}\) (без демпфування), спочатку в стані спокою. Обчисліть закон руху\(q(t)\), накидайте його та інтерпретуйте результат.

5.3. At\(t=0\), синусоїдальна зовнішня сила\(F(t)=F_{0} \cos \omega t\), чиниться на лінійний генератор з власною частотою\(\omega_{0}\) і демпфуванням\(\delta\), який був в стані спокою\(t \leq 0\).

(i) Вивести загальний вираз для еволюції часу координати осцилятора та інтерпретувати результат.

(ii) Розкажіть результат для точного резонансу\(\left(\omega=\omega_{0}\right)\) в системі з низьким\(\left(\delta<<\omega_{0}\right)\) демпфуванням, і, зокрема, дослідіть межу\(\delta \rightarrow 0\).

5.4. Імпульс зовнішньої сили\(F(t)\), з кінцевою тривалістю\(\tau\), чиниться на лінійний генератор, спочатку в стані спокою в його рівноважному положенні. Нехтуючи розсіюванням, обчислити зміну енергії генератора, використовуючи два різних підходи, і порівняйте результати.

5.5. Для системи з наступною функцією Лагранжа:\[L=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}-\frac{\kappa}{2} q^{2}+\frac{\varepsilon}{2} \dot{q}^{2} q^{2},\] обчислити частоту вільних коливань в залежності від їх амплітуди\(A\), при\(A \rightarrow 0\), використовуючи два різних підходи.

5.6. Для системи з функцією Лагранжа\[L=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}-\frac{\kappa}{2} q^{2}+\varepsilon \dot{q}^{4},\] з малим параметром використовується метод ван дер Поля\(\varepsilon\), щоб знайти частоту вільних коливань в залежності від їх амплітуди.

5.7. На площині двох\(\left[a_{1}, a_{2}\right]\) реальних, незалежних від часу параметрів\(a_{1}\) і\(a_{2}\), знайдіть області, в яких фіксована точка наступної системи рівнянь,\[\begin{aligned} &\dot{q}_{1}=a_{1}\left(q_{2}-q_{1}\right), \\ &\dot{q}_{2}=a_{2} q_{1}-q_{2}, \end{aligned}\] є нестабільною, і намалюйте області кожної фіксованої точки типу\(-\) стійких і нестабільних вузлів, фокусів і т.д.

5.8. Розв'яжіть задачу 3 (ii) за допомогою приведених рівнянь (57) і порівняйте результат з точним розв'язком.

5.9. Використовувати приведені рівняння для аналізу вимушених коливань в осциляторі зі слабким нелінійним демпфуванням, описаним наступним рівнянням:\[\ddot{q}+2 \delta \dot{q}+\omega_{0}^{2} q+\beta \dot{q}^{3}=f_{0} \cos \omega t,\] з\(\omega \approx \omega_{0} ; \beta, \delta>0\); і\(\beta \omega A^{2}<<1\). Зокрема, знайти нерухому амплітуду вимушених коливань і проаналізувати їх стійкість. Обговорити вплив (и) нелінійного терміна на резонанс.

5.10. У рамках підходу, розглянутого в п. 4, обчислити середню частоту автогенератора поза діапазоном його фазового блокування зовнішньою синусоїдальною силою.

5.11.* Використовуйте приведені рівняння для аналізу стійкості вимушених нелінійних коливань, описаних рівнянням Даффінга (43). Зіставте результат з нахилом резонансних кривих (рис. 4).

5.12. За допомогою методу ван дер Поля знайти умову параметричного збудження осцилятора, описаного наступним рівнянням:\[\ddot{q}+2 \delta \dot{q}+\omega_{0}^{2}(t) q=0,\] де\(\omega_{0}^{2}(t)\) знаходиться квадратно-хвильова функція, показана на малюнку праворуч, с\(\omega \approx \omega_{0}\).

5.13. Використовувати метод ван дер Поля для аналізу параметричного збудження генератора зі слабким нелінійним демпфуванням, описаним наступним рівнянням:\[\ddot{q}+2 \delta \ddot{q}+\beta \dot{q}^{3}+\omega_{0}{ }^{2}(1+\mu \cos 2 \omega t) q=0 \text {, }\] з\(\omega \approx \omega_{0} ; \beta, \delta>0 ;\) і\(\mu, \beta \omega A^{2}<<1\). Зокрема, знайти амплітуду стаціонарних коливань і проаналізувати їх стійкість.

5.14. \({ }^{*}\)Додавання нелінійного члена\(\alpha q^{3}\) до лівого боку ур. (75),

(i) знайти відповідне доповнення до приведених рівнянь,

(ii) обчислити стаціонарну\(A\) амплітуду параметричних коливань,

(iii) знайти тип і стійкість кожної фіксованої точки відновлених рівнянь,

(iv) ескіз фазових площин Пуанкаре системи в основних регіонах параметрів.

5.15. За допомогою методу ван дер Поля знайти умову параметричного збудження генератора зі слабкою модуляцією як ефективної маси, так\(m(t)=m_{0}\left(1+\mu_{m} \cos 2 \omega t\right)\) і ефективної постійної пружини\(\kappa(t)=\kappa_{0}\left[1+\mu_{\kappa} \cos (2 \omega t-\psi)\right]\), з однаковою частотою\(2 \omega \approx 2 \omega_{0}\), при довільному співвідношенні глибини модуляції\(\mu_{m} / \mu_{k}\) та зсуві фаз\(\psi\). Інтерпретувати результат з точки зору модуляції миттєвої\(\omega(t) \equiv[\kappa(t) / m(t)]^{1 / 2}\) частоти і\(Z(t) \equiv[\kappa(t) m(t)]^{1 / 2}\) механічного імпедансу генератора.

5.16. \({ }^{*}\)Знайти умову параметричного збудження нелінійного осцилятора описується наступним рівнянням:\[\ddot{q}+2 \delta \dot{q}+\omega_{0}^{2} q+\gamma q^{2}=f_{0} \cos 2 \omega t,\] з досить малим\(\delta, \gamma, f_{0}\), і\(\xi \equiv \omega-\omega_{0}\).

5.17. Знайти умову стійкості точки\(q=0\) рівноваги параметричного осцилятора, описаного ур. (75), в межі, коли\(\delta<<\left|\omega_{0}\right|<<\omega\) і\(\mu<<1\). Використовуйте отриманий результат для аналізу стійкості маятника Капіца, згаданого в п. 5.

---

\({ }^{42}\)Див., наприклад, MA Eq. (15.1).