1.7: Проблеми самоперевірки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75039

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1.1. Велосипед, який їхав зі швидкістю\(v\) по мокрому тротуару, не має бризговиків на колесах. Наскільки далеко позаду повинен наступний байкер їздити, щоб уникнути бризок над? Нехтувати впливом опору повітря.

1.2. Два круглих диска радіусу\(R\) міцно з'єднані з коаксіальним циліндром меншого радіуса\(r\), а на отриману золотник намотується нитка. Шпуля розміщується на горизонтальній поверхні, а кінець нитки зливається під кутом\(\varphi\) - див. Малюнок праворуч. Припускаючи, що шпуля не ковзає по поверхні, в якому напрямку вона буде котитися?

Знімок екрана 2022-01-25 в 8.49.22 PM.png

1.3.* Обчисліть рівноважну форму гнучкої, важкої мотузки довжини\(l\), з постійною масою\(\mu\) на одиницю довжини, якщо вона підвішена в рівномірному гравітаційному полі між двома точками, розділеними горизонтальною відстанню\(d\) - див. Малюнок праворуч.

Знімок екрана 2022-01-25 в 8.53,11 PM.png

1.4. Рівномірний, довгий, тонкий брусок розміщений горизонтально на двох подібних круглих циліндрах, що обертаються назустріч один одному з однаковою кутовою швидкістю\(\omega\) і зміщені на відстань (\(d-\)див. Рисунок праворуч). Обчисліть закони відносно повільного горизонтального руху штанги в межах площини креслення, для обох можливих напрямків обертання циліндра, припускаючи, що сила тертя між ковзаючими поверхнями штанги і кожним циліндром підпорядковується простому кулонівському наближенню\({ }^{26}|F|=\mu N\), де\(N\) є нормальною силою тиску між ними, і\(\mu\) являє собою постійний (незалежний від швидкості) коефіцієнт. Сформулюйте умову обгрунтованості вашого результату.

Знімок екрана 2022-01-25 в 8.54.52 PM.png

1.5. Невеликий блок ковзає, без тертя, вниз плавним слайдом, який закінчується круглою петлею радіуса\(R\) - див. Малюнок праворуч. Яка найменша початкова висота\(h\) дозволяє блоку пробиватися навколо петлі, не падаючи з гірки, якщо він запущений з незначною початковою швидкістю?

Знімок екрана 2022-01-25 в 8.55.42 PM.png

1.6. Супутник маси\(m\) запускається з висоти\(H\) над поверхнею сферичної планети з радіусом\(R\) і масою\(M \gg m-\) див. Рисунок праворуч. Знайти діапазон початкових швидкостей\(\mathbf{v}_{0}\) (нормаль до радіуса), що забезпечують замкнуті орбіти над поверхнею планети.

Знімок екрана 2022-01-25 в 8.58.30 PM.png

1.7. Довести, що тонко-рівномірно-дискова модель галактики описує малі гармонічні коливання зірок всередині неї вздовж напрямку, нормальному до диска, і обчислити частоту цих коливань через гравітаційну константу Ньютона\(G\) та\(\rho\) щільність речовини диска.

1.8. Вивести диференціальні рівняння руху для малих коливань двох подібних пердул, з'єднаних з пружиною (див. Малюнок праворуч), в межах їх загальної вертикальної площини. Припустимо, що при вертикальному положенні обох пендули пружина не розтягується\((\Delta L=0)\).

Знімок екрана 2022-01-25 в 8.59.09 PM.png

1.9. Однією з популярних футуристичних концепцій подорожі є риття прямого залізничного тунелю через Землю і пропускання поїзда через нього, без початкової швидкості - керованого тільки гравітацією. Розрахуйте час руху поїзда через такий тунель, припускаючи, що\(\rho\) щільність Землі постійна, і нехтуючи ефектами тертя і обертання планети.

1.10. Невелика намистина маси\(m\) може ковзати, без тертя, уздовж легкої струни, натягнутої з силою\(\mathscr{T} \gg m g\), між двома точками, розділеними горизонтальною\(2 d-\) відстанню см. Рисунок праворуч. Обчисліть частоту горизонтальних коливань кульки щодо його рівноважного положення.

Знімок екрана 2022-01-25 в 9.01.03 PM.png

1.11. Для ракети, що розганяється за рахунок свого робочого реактивного двигуна (а значить, витрачає реактивне паливо), обчисліть співвідношення між її швидкістю і масою, що залишилася.

Підказка: Заради простоти розглянемо 1D рух.

1.12. Доведіть наступну віріальну теорему:\({ }^{27}\) для набору\(N\) частинок, що здійснюють періодичний рух,\[\bar{T}=-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \overline{\mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}},\] де верхня планка означає усереднення з часом - в даному випадку протягом періоду руху. Про що говорить віріальна теорема:

(i) 1D рух частинки в обмежувальному потенціалі28\(U(x)=a x^{2 s}\), з\(a>0\) і\(s>0\), і

(ii) орбітальний рух частинки в центральному потенціалі\(U(r)=-C / r\)?

Підказка: Дослідіть похідну від часу наступної скалярної функції часу:\(G(t) \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}\).

\({ }^{26}\)Він був запропонований в 1785 році тим же Шарлем Огюстеном де Кулоном, який відкрив знаменитий Кулонівські закон електростатики, а значить, і став першопрохідцем всієї кількісної науки про електрику - див. \(1 .\)

\({ }^{27}\)Вперше про це заявив Рудольф Клаузіус в 1870 році.

\({ }^{28}\)Тут і нижче я дотримуюся (жалюгідного) звичаю використовувати єдине слово «потенціал» для потенційної енергії частинки - тільки для стислості. Цей звичай поширений і в квантовій механіці, але в електродинаміці ці два поняття слід чітко розрізняти - так як вони є в ЕМ-частині цього ряду.