1.6: Гаразд, чи можемо ми зараз піти додому?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75028

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вибачте, поки немає. У багатьох випадках закони збереження, розглянуті вище, надають невелику допомогу, навіть у системах без розсіювання. Розглянемо для прикладу узагальнення задачі «бісер-на-кільці», показаної на малюнку 3, в якій кільце обертається зовнішніми силами, з постійною кутовою швидкістю\(\omega\), щодо свого вертикального діаметра. \({ }^{25}\)У цій задачі (до якої я неодноразово повернуся нижче, використовуючи її в якості аналітичної механіки «випробувального стенду») жоден з трьох законів збереження, перерахованих в останньому розділі, не тримається. Зокрема, енергія намистини, не\[E=\frac{m}{2} v^{2}+m g h,\] є постійною, оскільки зовнішні сили, що обертають кільце, можуть змінити її. Звичайно, ми все ще можемо вирішити проблему, використовуючи закони Ньютона, але це ще складніше, ніж для вищезгаданого випадку кільця в спокої, зокрема тому, що сила, що\(\mathbf{N}\) чиниться на намистину кільцем, тепер може мати три, а не дві декартові компоненти, які не просто пов'язані між собою. З іншого боку, зрозуміло, що намистина все ж має всього один ступінь свободи (кут\(\theta\)), так що її динаміка не повинна бути занадто складною.

Цей факт дає підказку, як такі ситуації можна спростити: якби ми могли виключити так звані сили реакції, такі як\(\mathbf{N}\), які заздалегідь враховують зовнішні обмеження, накладені на рух частинок, це повинно дуже допомогти. Таке обмеження виключення може забезпечити аналітична механіка, зокрема її формулювання Лагранжа, до якої ми зараз і перейдемо.

Звичайно, значення підходу Лагранжа виходить далеко за рамки простих систем, таких як намистина на обертовому кільці. Дійсно, ця система має відразу два накладені зовні обмеження: фіксовану відстань намистини від центру кільця, і миттєвий кут повороту кільця щодо його вертикального діаметра. Тепер розглянемо рух твердого тіла. По суті, це система з дуже великої кількості частинок (з\(10^{23}\) них\(N \gg 1\), якщо думати про атоми в тілі масштабу 1 см). Якби єдиним способом проаналізувати його рух було б написання законів Ньютона для кожної з частинок, ситуація була б абсолютно безнадійною. На щастя, кількість обмежень, що накладаються на його рух, майже аналогічно величезна. (При незначних деформаціях тіла відстані між кожною парою його частинок повинні бути постійними.) В результаті кількість фактичних ступенів свободи такого тіла невелика (при мізерно малих деформаціях всього шість - див. Розділ 6.1), так що при добрій допомоги аналітичної механіки рух тіла може бути, у багатьох важливих випадках, аналізуватися навіть без числових розрахунків.

Ще одну важливу мотивацію для аналітичної механіки дає динаміка «немеханічних» систем, наприклад, електромагнітного поля - можлива взаємодія з зарядженими частинками, провідними тілами тощо У багатьох таких системах найпростіший (а іноді і єдиний практичний) спосіб знайти рівняння руху полягає в тому, щоб вивести їх з лагранжевої або гамільтонової функції системи. Крім того, гамільтонова формулювання аналітичної механіки (мова піде в главі 10) пропонує прямий шлях до отримання квантово-механічних гамільтонових операторів різних систем, необхідних для аналізу їх квантових властивостей.

\({ }^{25}\)Це по суті спрощена модель механічного пристрою управління, званого відцентровим (або «флайболом», або «відцентровим флайболом») губернатором - див., наприклад, http://en.wikipedia.org/wiki/Centrifugal губернатора. (Іноді пристрій називають «губернатором Ватта», на честь знаменитого Джеймса Уоттса, який використовував його в 1788 році в одній зі своїх перших парових машин, але він використовувався на європейських вітряках принаймні з початку 1600-х років.) Так само як цікавість: нині двозначний термін кібернетика був придуманий Норбертом Вінером у 1948 році від слова «губернатор» (а точніше від його давньо-грецького оригіналу кß\ varepsilon\ rhov\ tau) саме в цьому значенні тому, що це був перший добре вивчений пристрій управління.