1.5: Потенційна енергія та рівновага

Ще однією важливою роллю потенційної енергії\(U\), особливо для дисипативних систем, загальна\(E\) механічна енергія яких не зберігається, оскільки вона може бути злита в навколишнє середовище, є знаходження положень рівноваги (іноді їх називають фіксованими точками аналізованої системи) і аналізуючи їх стійкість щодо малих збурень. Для однієї частинки це дуже просто: сила (22) зникає при кожному екстремумі (мінімальному або максимальному) потенційної енергії. \({ }^{22}\)З цих фіксованих точок\(U(\mathbf{r})\) стабільними є лише мінімуми - див. \(3.2\)нижче для обговорення цього питання.

Трохи більш тонкий випадок - частка з потенційною енергією\(U(\mathbf{r})\), піддана додатковій зовнішньої сили\(\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}(\mathbf{r})\). При цьому стабільна рівновага досягається на мінімумі не функції\(U(\mathbf{r})\), а того, що іноді називають потенційною енергією Гіббса.

\[U_{\mathrm{G}}(\mathbf{r}) \equiv U(\mathbf{r})-\int^{\mathbf{r}} \mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime},\]\[\text { (1.39) }\]яка визначається так само, як і\(U(\mathbf{r})\) є, до довільної адитивної константи. \({ }^{23}\)Доказ Eq. (39) дуже простий: в екстремумі цієї функції сумарна сила, що діє на частинку,\[\mathbf{F}^{(\mathrm{tot})}=\mathbf{F}+\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})} \equiv-\nabla U+\nabla \int^{\mathbf{r}} \mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime} \equiv-\nabla U_{\mathrm{G}},\] зникає, як слід.

Фізично різниця,\(U_{\mathrm{G}}-U\) задана еквалайзером (39), є\(\mathbf{r}\) -залежною частиною потенційної енергії\(U^{\text {(ext) }}\) зовнішньої системи, що відповідає за силу\(\mathbf{F}^{\text {(ext) }}\), так що\(U_{\mathrm{G}}\) це всього лише сумарна потенційна енергія\(U+U^{(\mathrm{ext})}\), виключаючи її частину, яка не залежить від \(\mathbf{r}\)а значить, не має значення для аналізу. Згідно із законом\(3^{\text {rd }}\) Ньютона, сила, що чиниться часткою на зовнішню систему\(\left(-\mathbf{F}^{\text {(ext) }}\right)\), дорівнює, так що її робота (а значить і зміна\(U^{(\mathrm{ext})}\) внаслідок зміни\(\mathbf{r}\)) задається другим членом на правій стороні ур. (39). Таким чином, умова рівноваги\(-\nabla U_{\mathrm{G}}=0\), є лише умовою екстремуму загальної потенційної енергії,\(U+U^{\text {(ext) }}+\) const, двох взаємодіючих систем.

Для найпростішого (і дуже частого) випадку, коли прикладена сила не залежить від положення частинки, потенційна енергія Гіббса (39) якраз\({ }^{24}\)\[U_{\mathrm{G}}(\mathbf{r}) \equiv U(\mathbf{r})-\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})} \cdot \mathbf{r}+\text { const }\] Як найпростіший приклад розглянемо\(1 \mathrm{D}\) деформацію звичайної пружної пружини, що забезпечує повертає зусилля\((-\kappa x)\), де\(x\) - відхилення від його рівноваги. Як випливає з Eq. (22), його потенційна енергія\(U=\kappa x^{2} / 2+\) є постійною, так що її мінімум відповідає\(x=0\). Тепер застосуємо додаткову зовнішню силу\(F\), скажімо, незалежну від\(x\). Тоді рівноважна деформація пружини\(x_{0}=F / \kappa\), відповідає мінімуму не\(U\), а скоріше потенційної енергії Гіббса (41), в нашому конкретному випадку приймаючи форму\[U_{\mathrm{G}} \equiv U-F x=\frac{\kappa x^{2}}{2}-F x\]

---

\({ }^{22}\)Якщо припустити, що додаткові, неконсервативні сили (наприклад, в'язкість), що відповідають за механічний відтік енергії, зникають при рівновазі - як це зазвичай роблять. (Статичне тертя є одним з зустрічних прикладів.)

\({ }^{23}\)На жаль, в більшості підручників асоціація (неминуче вживаного) поняття\(U_{\mathrm{G}}\) зі славним ім'ям Джосії Віллард Гіббс відкладається до курсу статистичної механіки і/або термодинаміки, де\(U_{\mathrm{G}}\) є частиною вільної енергії Гіббса, на відміну від\(U\), яка входить до складу вільної енергії Гельмгольца - див., наприклад, SM Sec. 1.4. Я використовую це поняття протягом всієї моєї серії, тому що різниця між\(U_{\mathrm{G}}\) і\(U\), а отже, і між вільними енергіями Гіббса і Гельмгольца, не має нічого спільного зі статистикою або тепловим рухом, і належить до всієї фізики, включаючи не тільки механіку, але і електродинаміку і квантову механіка.

\({ }^{24}\)Зауважте, що Eq. (41) є окремим випадком того, що математики називають перетвореннями Лежандра.