1.4: Закони про збереження

(i) Енергозбереження, мабуть, є найзагальнішим законом фізики, але в механіці воно приймає більш скромну форму механічного збереження енергії, яка має обмежену застосовність. Щоб отримати його, ми спочатку повинні визначити кінетичну енергію частинки,\({ }^{13}\)\[T \equiv \frac{m}{2} v^{2}\] а потім переробити її диференціал як\({ }^{14}\)\[d T \equiv d\left(\frac{m}{2} v^{2}\right) \equiv d\left(\frac{m}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right)=m \mathbf{v} \cdot d \mathbf{v}=m \frac{d \mathbf{r} \cdot d \mathbf{v}}{d t}=d \mathbf{r} \cdot \frac{d \mathbf{p}}{d t} .\] Тепер підключіть похідну імпульсу від закону\(2^{\text {nd }}\) Ньютона\(d \mathbf{p} / d t=\mathbf{F}\), де\(\mathbf{F}\) діє повна сила на частку, отримуємо\(d T=\mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}\). Інтеграція цієї рівності по траєкторії частинки, що з'єднує деякі точки А і В, дає формулу, яку іноді називають принципом робота-енергія:\[\Delta T \equiv T\left(\mathbf{r}_{\mathrm{B}}\right)-T\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},\] де інтеграл з правого боку називають роботою сили\(\mathbf{F}\) на шляху від\(\mathrm{A}\) до \(\mathrm{B}\).

Наступний крок може бути зроблений лише для потенційної (також званої «консервативної») сили, яка може бути представлена як (мінус) градієнт якоїсь скалярної функції\(U(\mathbf{r})\), званої потенційною енергією. \({ }^{15}\)Векторний оператор\(\nabla\) (званий або del або nabla) просторової диференціації\({ }^{16}\) дозволяє дуже компактно вираз цього факту:\[\mathbf{F}=-\nabla U \text {. }\] Наприклад, для рівномірного гравітаційного поля (16),\[U=m g h+\text { const },\] де\(h\) вертикальна координата спрямована «вгору» - протилежний напрямку вектора\(\mathbf{g}\) .Інтегруючи тангенціальну складову\(F_{\tau}\) вектора,\(\mathbf{F}\) заданого Eq. (22), по довільному шляху, що з'єднує точки А і\(\boldsymbol{B}\), отримаємо\[\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} F_{\tau} d r \equiv \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=U\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)-U\left(\mathbf{r}_{\mathrm{B}}\right),\] тобто роботу потенційних сил можна представити у вигляді різниця значень функції\(U(\mathbf{r})\) в початковій і кінцевій точках шляху. (Зверніть увагу, що згідно з еквалайзером (24) робота потенційної сили на будь-якому замкнутому шляху, з\(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}=\mathbf{r}_{\mathrm{B}}\), дорівнює нулю.)

Тепер повертаючись до Eq. (21) і порівнюючи його з Eq. (24), ми бачимо, що\[T\left(\mathbf{r}_{\mathrm{B}}\right)-T\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)=U\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)-U\left(\mathbf{r}_{\mathrm{B}}\right), \text { i.e. } T\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)+U\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)=T\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right)+U\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right),\] так, що загальна механічна енергія\(E\), визначена як

дійсно законсервовано:\[\begin{gathered} E \equiv T+U, \\ E\left(\mathbf{r}_{\mathrm{A}}\right) \equiv E\left(\mathbf{r}_{\mathrm{B}}\right), \end{gathered}\] але тільки для консервативних сил. (Неконсервативні сили можуть змінюватися або\(E\) шляхом передачі енергії з її механічної форми в іншу форму, наприклад, нагріватися в разі тертя, або шляхом перекачування енергії в розглянуту систему з іншої, «зовнішньої» системи.)

Механічне збереження енергії дозволяє нам повернутися на секунду до задачі, показаної на малюнку 3, і вирішити її за один кадр, написавши Eq. (27) для початкової та кінцевої точок:\({ }^{17}\)\[0+m g R=\frac{m}{2} v^{2}+0 .\] (елементарне) рішення Eq. (28) для\(v\) негайно дає нам бажану відповідь. Дозвольте мені сподіватися, що читач погодиться з тим, що такий спосіб вирішення проблеми набагато простіший, і я заслужив їхню увагу, щоб обговорити інші закони збереження - які можуть бути однаково ефективними.

(ii) Лінійний імпульс. Збереження повного лінійного імпульсу будь-якої системи частинок, ізольованих від решти світу, вже обговорювалося в попередньому розділі, і може служити основним постулатом класичної динаміки - див. Ур. (8). У випадку з однією вільною частинкою закон зводиться до тривіального результату\(\mathbf{p}=\) const, тобто\(\mathbf{v}=\) const. Якщо на систему\(N\) частинок впливають зовнішні сили\(\mathbf{F}^{(\text {ext })}\), ми можемо написати\[\mathbf{F}_{k}=\mathbf{F}_{k}^{(\mathrm{ext})}+\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k k^{\prime}} .\] Якщо підсумувати отримані Eqs. (13) для всіх частинок системи, то, завдяки закону\(3^{\text {rd }}\) Ньютона (11), дійсні для будь-яких показників\(k \neq k^{\prime}\) внески всіх внутрішніх сил \(\mathbf{F}_{k k}\)'до отриманої подвійної суми з правого боку скасувати, і ми отримуємо наступне рівняння:\[\dot{\mathbf{P}}=\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}, \quad \text { where } \mathbf{F}^{(\mathrm{ext})} \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k}^{(\mathrm{ext})}\] Це говорить нам, що поступальний рух системи в цілому подібний до руху однієї частинки, під дією чистої зовнішньої сили\(\mathbf{F}^{\text {(ext) }}\). Як простий перевірки розсудливості, якщо зовнішні сили мають нульову суму, повертаємося до постулату (8). Лише одне нагадування: Eq. (30), як його попередник Eq. (13), дійсний лише в інерційній системі відліку.

Я сподіваюся, що читач знає численні приклади застосування закону збереження лінійного імпульсу, включаючи всі ці проблеми бакалаврату при зіткненнях автомобілів, де великі сили зіткнення, як правило, не відомі, так що безпосереднє застосування Eq. (13) до кожного автомобіля є нездійсненним.

(iii) Кутовий момент частинки\({ }^{18}\) визначається як наступний вектор:\({ }^{19}\)\[\mathbf{L} \equiv \mathbf{r} \times \mathbf{p}\] де\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) означає векторний (або «хрест-») добуток векторних операндів. \({ }^{20}\)Диференціюючи Eq. (31) з часом, ми отримуємо\[\dot{\mathbf{L}}=\dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{p}+\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{p}}\] У першому добутку просто вектор швидкості\(\mathbf{v}\), паралельний імпульсу частинки\(\mathbf{p}=m \mathbf{v}\), так що цей термін зникає, оскільки векторний добуток будь-яких двох паралельних векторів дорівнює нулю.\(\dot{\mathbf{r}}\) У другому творі\(\dot{\mathbf{p}}\) дорівнює повній силі, що\(\mathbf{F}\) діє на частинку, так що Eq. (32) зводиться до

де вектор\[\begin{gathered} \dot{\mathbf{L}}=\boldsymbol{\tau}, \\ \boldsymbol{\tau} \equiv \mathbf{r} \times \mathbf{F}, \\ \hline \end{gathered}\] називається крутним моментом, що чиниться силою\(\mathbf{F} \cdot{ }^{21}\) (Зверніть увагу, що крутний момент є специфічним для еталонної рами - і знову ж таки, рамка повинна бути інерційною, щоб Eq. (33) бути дійсним, оскільки ми використовували Eq. (13) для його виведення.) Для важливого конкретного випадку центральної сили\(\mathbf{F}\), яка спрямована вздовж\(\mathbf{r}\) радіусного вектора частинки, крутний момент зникає, так що (тільки в цій конкретній системі відліку!) кутовий момент зберігається:\[\mathbf{L}=\text { const. }\] Для системи\(N\) частинок загальний кутовий момент, природно, визначається як\[\mathbf{L} \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{L}_{k}\] Диференціювання цього рівняння з часом, використовуючи Eq. (33) для кожного\(\dot{\mathbf{L}}_{k}\), і знову розділивши кожну силу на еквалайзер (29), ми отримуємо \[\dot{\mathbf{L}}=\sum_{k, k^{\prime}=1 \atop k^{\prime} \neq k}^{N} \mathbf{r}_{k} \times \mathbf{F}_{k k^{\prime}}+\boldsymbol{\tau}^{(\mathrm{ext})}, \quad \text { where } \boldsymbol{\tau}^{(\mathrm{ext})} \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{r}_{k} \times \mathbf{F}_{k}^{(\mathrm{ext})}\]Перша (подвійна) сума завжди може бути розділена на пари типу\(\left(\mathbf{r}_{k} \times \mathbf{F}_{k k^{\prime}}+\mathbf{r}_{k^{\prime}} \times \mathbf{F}_{k^{\prime} k}\right)\). При природному припущенні центральних сил кожна з цих пар дорівнює нулю.\(\mathbf{F}_{k k^{\prime}} \|\left(\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right)\) Адже в даному випадку кожна складова пари являє собою вектор, перпендикулярний площині, що містить положення обох частинок і початок відлікового кадру, тобто до площини креслення рисунка.\(4 .\)

Малюнок 1.4. Внутрішні і зовнішні сили, а також внутрішнє скасування крутного моменту в системі з двох частинок.

Також завдяки закону\(3^{\text {rd }}\) Ньютона (11) ці дві сили рівні і протилежні, а величина кожного члена в сумі може бути представлена у вигляді\(\left|F_{k k}\right| h_{k k}\), при рівній «важелю плечі»\(h_{k k}=h_{k^{\prime} k}\). В результаті кожна сума\(\left(\mathbf{r}_{k} \times \mathbf{F}_{k k^{\prime}}+\mathbf{r}_{k} \times \mathbf{F}_{k^{\prime} k}\right)\), а отже і вся подвійна сума в екв. (37) зникає, і вона зводиться до дуже простого результату,\[\dot{\mathbf{L}}=\boldsymbol{\tau}^{\text {(ext) }}\] який схожий на Eq. (33) для однієї частинки, і є кутовим аналогом Eq. (30).

Зокрема, еквалайзер (38) показує, що якщо повний зовнішній крутний момент\(\tau^{(\mathrm{ext})}\) зникає з якоїсь причини (наприклад, якщо система частинок ізольована від решти Всесвіту), закон збереження (35) діє для повного кутового моменту\(\mathbf{L}\), навіть якщо його окремі компоненти не\(\mathbf{L}_{k}\) є зберігається за рахунок міжчастинкових взаємодій.

Відзначимо ще раз, що оскільки закони збереження можуть бути виведені із законів Ньютона (як це було зроблено вище), вони не вносять нічого абсолютно нового в динаміку будь-якої системи. Дійсно, з математичної точки зору закони збереження, розглянуті вище, є лише першими інтегралами диференціальних рівнянь руху другого порядку, що слідують із законів Ньютона, що може звільнити нас від необхідності інтегрувати рівняння двічі.

---

\({ }^{13}\)У такій кількісній формі кінетична енергія була введена (під назвою «жива сила») Готфрідом Лейбніцем і Йоганном Бернуллі (близько 1700), хоча її основні властивості (21) і (27) не були чітко розкриті до 1829 року роботи Гаспарда-Гюстава де Коріоліса. Сучасний термін «кінетична енергія» був придуманий тільки в\(1849-\) 1851 році лордом Кельвіном (народився Вільям Томсон).

\({ }^{14}\)У цих примітках\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) позначається скалярний (або «точка-») добуток векторів\(\mathbf{a}\) і\(\mathbf{b}\) - див., наприклад, MA Eq. (7.1).

\({ }^{15}\)Зауважте, що через його визначення за допомогою градієнта потенційна енергія визначається лише довільною адитивною константою. Це поняття по суті було використано вже Г. Лейбніц, хоча термін, який ми використовуємо для нього зараз, був введений набагато пізніше (в середині\(19^{\text {th }}\) століття) Вільямом Ренкіном.

\({ }^{16}\)Його основні властивості перераховані в MA Sec. 8.

\({ }^{17}\)Тут довільна константа в Eq. (23) вибирається так, щоб потенційна енергія була нульовою в кінцевій точці.

\({ }^{18}\)Тут ми маємо на увазі, що внутрішні рухи частинки, включаючи її обертання навколо своєї осі, мізерно малі. (В іншому випадку він не може бути представлений точкою, як це було постульовано в п. 1.)

\({ }^{19}\)Таке явне визначення моменту моменту (в різних математичних формах, і під назвою «момент обертального руху») з'явилося в наукових публікаціях тільки в 1740-х роках, хоча факт його збереження (35) в області центральних сил, у вигляді\(2^{\text {nd }}\) Закон Кеплера (див. Малюнок\(3.4\) нижче), був доведений І.Ньютоном в його Principia.

\({ }_{20}\)Див., наприклад, MA Eq. (7.3).

\({ }^{21}\)Як варіант, особливо в машинобудуванні, крутний момент називається силовим моментом. Це поняття можна простежити аж до теорії важелів Архімеда, розробленої в\(3^{\text {rd }}\) столітті до нашої ери.