1.3: Динаміка- Закони Ньютона

Взагалі класична динаміка повністю описується (крім кінематичних відносин, розглянутих вище) трьома законами Ньютона. На відміну від вражень деякі підручники з теоретичної фізики намагаються створити, ці закони носять експериментальний характер і не можуть бути виведені з чисто теоретичних аргументів.

Упевнений, що читач цих заміток вже знайомий з законами Ньютона,\({ }^{7}\) в тій чи іншій формулюванні. Зауважу лише, що в деяких формулюваннях закон\(1^{\text {st }}\) Ньютона виглядає так само, як окремий випадок\(2^{\text {nd }}\) закону - коли чиста сила, що діє на частинку, дорівнює нулю. Щоб уникнути такого дублювання,\(1^{\text {st }}\) закон може бути сформульований у вигляді наступного постулату:

Існує хоча б одна система відліку, звана інерційною, в якій будь-яка вільна частинка (тобто частка, повністю ізольована від решти Всесвіту) рухається з\(\mathbf{v}=\) конст, тобто с\(\mathbf{a}=0\).

Зауважте, що відповідно до Eq. (7), цей постулат відразу означає, що існує також нескінченна кількість інерційних кадрів, оскільки всі кадри 0 'рухаються без обертання або прискорення відносно постульованої інерційної рамки 0 (тобто мають\(\mathbf{a}_{0} \mid\) в 0,\(=0\)) також є інерційними.

З іншого боку,\(2^{\text {nd }}\) закони\(3^{\text {rd }}\) Ньютона можуть бути постульовані разом наступним елегантним чином. Кожна частинка, скажімо\(k\), число, може характеризуватися скалярної константою (називається масою\(m_{k}\)), такою, що при будь-якій взаємодії\(N\) частинок (ізольованих від решти Всесвіту), в будь-якій інерційній системі,\[\mathbf{P} \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \equiv \sum_{k=1}^{N} m_{k} \mathbf{v}_{k}=\text { const. }\] (Кожна складова цієї суми,\[\mathbf{p}_{k} \equiv m_{k} \mathbf{v}_{k},\] є називається механічний імпульс\(^{8}\) відповідної частинки, в той час як сума\(\mathbf{P}\), сумарний імпульс системи.)

Давайте застосуємо цей постулат лише до двох взаємодіючих частинок. Диференціюючи Eq. (8), написаний для цього випадку, з часом\[\dot{\mathbf{p}}_{1}=-\dot{\mathbf{p}}_{2} \text {. }\] отримаємо похідну\(\dot{\mathbf{p}}_{1}\) (яка є вектором) назву сили, що\(\mathbf{F}\) чиниться на частку 1. У нашому нинішньому випадку, коли єдино можливим джерелом сили є частка 2, вона може позначатися як\(\mathbf{F}_{12}: \dot{\mathbf{p}}_{1} \equiv \mathbf{F}_{12}\). Аналогічно\(\mathbf{F}_{21} \equiv \dot{\mathbf{p}}_{2}\), так що Eq. (10) стає законом\(3^{\text {rd }}\) Ньютона\[\mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21} .\]
Підключаючи Eq. (1.9) до цих визначень сили, і диференціюючи продукти\(m_{k} \mathbf{v}_{k}\), беручи до уваги, що маси частинок є константами,\({ }^{9}\) ми отримуємо, що для\(k\) і \(k\)'беручи будь-яке з значень 1,2,\[m_{k} \dot{\mathbf{v}}_{k} \equiv m_{k} \mathbf{a}_{k}=\mathbf{F}_{k k^{\prime}}, \quad \text { where } k^{\prime} \neq k . .\] Тепер, повертаючись до загального випадку декількох взаємодіючих частинок, і роблячи додаткове (але дуже природне) припущення, що всі часткові сили, що\(\mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) діють на частку,\(k\) складаються як вектори, ми можемо узагальнити Eq. (12) в закон\(2^{\text {nd }}\) Ньютона\[m_{k} \mathbf{a}_{k} \equiv \dot{\mathbf{p}}_{k}=\sum_{k^{\prime} \neq k} \mathbf{F}_{k k^{\prime}} \equiv \mathbf{F}_{k},\], що дозволяє чітко трактувати масу як міру інерції частинки.

В принципі, якщо відома залежність всіх\(\mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) парних сил позицій частинок (і загалом часу також), екв. (13), доповнена кінематичними співвідношеннями (2) і (3), дозволяє обчислювати закони\(\mathbf{r}_{k}(t)\) руху всіх частинок системи. Наприклад, для однієї частинки\(2^{\text {nd }}\) закон (13) дає звичайне диференціальне рівняння другого порядку,\[m \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}(\mathbf{r}, t),\] яке може бути інтегрованим - або аналітично, або чисельно. У деяких випадках це дуже просто. Як елементарний приклад, сила тяжіння Ньютона\({ }^{10}\)\[\mathbf{F}=-G \frac{m m^{\prime}}{R^{3}} \mathbf{R}\] (де\(\mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\) - відстань між частинками мас\(m\) і\(\left.m^{\prime}\right)^{11}\), є практично рівномірною і може бути наближена так само, як і\[\mathbf{F}=m \mathbf{g}\] з вектором\(\mathbf{g} \equiv\left(G m^{\prime} / r^{\prime 3}\right) \mathbf{r}^{\prime}\) постійний, для місцевих рухів з\(r<<r^{\prime} \cdot{ }^{12}\) Як результат,\(m\) в Eq. (13) скасовує, він зменшується до просто\(\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{g}=\) const, і може бути легко інтегрований двічі:\[\dot{\mathbf{r}}(t) \equiv \mathbf{v}(t)=\int_{0}^{t} \mathbf{g} d t^{\prime}+\mathbf{v}(0)=\mathbf{g} t+\mathbf{v}(0), \quad \mathbf{r}(t)=\int_{0}^{t} \mathbf{v}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\mathbf{r}(0)=\mathbf{g} \frac{t^{2}}{2}+\mathbf{v}(0) t+\mathbf{r}(0),\]  таким чином даючи загальне рішення всіх тих проблем бакалаврату на рух снаряда, який повинен бути таким знайомі читачеві.

Все це виглядає (і дійсно є) дуже просто, але в більшості інших випадків Eq. (13) призводить до більш складних розрахунків. Як приклад, давайте подумаємо, чи використали б ми його для вирішення іншої простої задачі: кулька маси\(m\) ковзає, без тертя, уздовж круглого радіусного кільця\(R\) в гравітаційному полі, що підкоряється Eq. (16) - див. Рис. 3. (Ця система еквівалентна звичайному точковому маятнику, тобто точкової маси, підвішеної до точки 0 на легкому стрижні або струні, і обмежена для переміщення в одній вертикальній площині.)

Малюнок 1.3. Намистина, що ковзає по вертикальному кільцю.

Припустимо, нас цікавить тільки швидкість кульки в\(v\) найнижчій точці, після того, як вона була скинута з решти в крайньому правому положенні. Якщо ми хочемо вирішити цю проблему, використовуючи лише закони Ньютона, ми повинні зробити наступні кроки:

(i) розглядати намистину в довільному проміжному положенні на кільці, описаному, наприклад, кутом,\(\theta\) зображеним на малюнку 3;

(ii) намалювати всі сили, що діють на частинку - в нашому поточному випадку силу тяжіння\(m g\) і силу реакції, що\(\mathbf{N}\) чиниться кільцем - див. Рис. 3 вище

(iii) запишіть декартові складові закону\(2^{\text {nd }}\) Ньютона (14) для прискорення бісеру:\(m a_{x}=\)\(N_{x}, m a_{y}=N_{y}-m g\),

(iv) визнати, що за відсутності тертя сила\(\mathbf{N}\) повинна бути нормальною до кільця, щоб ми могли використовувати два додаткових рівняння,\(N_{x}=-N \sin \theta\) і\(N_{y}=N \cos \theta\);

(v) усунути невідомі змінні\(N, N_{x}\), і\(N_{y}\) з отриманої системи чотирьох рівнянь, отримуючи таким чином єдине диференціальне рівняння другого порядку для однієї змінної, наприклад\(\theta\),\[m R \ddot{\theta}=-m g \sin \theta ;\] (vi) використовувати математичну ідентичність\(\ddot{\theta}=(d \dot{\theta} / d \theta) \dot{\theta}\) для інтеграції цього рівняння над \(\theta\)один раз, щоб отримати вираз, що стосується швидкості\(\dot{\theta}\) та кута\(\theta\); і, нарешті,

(vii) використовуючи нашу конкретну початкову умову\((\dot{\theta}=0\) при\(\theta=\pi / 2)\), знайти кінцеву швидкість як\(v=R \dot{\theta}\) при\(\theta=0\).

Все це дуже під силу, але погодьтеся, що процедура його занадто громіздка для такої простої проблеми. Більше того, у багатьох інших випадках навіть написання рівнянь руху за відповідними координатами є дуже складним, і будь-яка допомога, яку може надати загальна теорія, є дуже цінною. У багатьох випадках така допомога надається законами про збереження; давайте розглянемо найзагальніші з них.

---

\({ }^{7}\)Завдяки геніальності сера Ісаака ці закони були сформульовані в тій же Principia (1687), значно випереджаючи фізику свого часу.

\({ }^{8}\)Більш розширений термін лінійний імпульс зазвичай використовується тільки в тих випадках, коли є ймовірність його плутанини з кутовим імпульсом тієї ж частинки/системи - див. Нижче. Сучасне визначення лінійного імпульсу та самого терміна належать Джону Уоллісу (1670), але поняття може бути простежено до більш розпливчастих уявлень кількох попередніх вчених - аж до щонайменше 570 року нашої ери роботи Джона Філопонуса.

\({ }^{9}\)Зауважте, що це може бути невірним для композитних тіл різної загальної маси\(M\) (наприклад, ракети, що випромінюють струмені, див. Задача 11), в цих випадках похідна імпульсу може відрізнятися від\(M \mathbf{a}\).

\({ }^{10}\)Введена в ту ж знамениту Principia!

\({ }^{11}\)Той факт, що маси, що беруть участь в Eqs. (14) і (16) рівні, так званий принцип слабкої еквівалентності, насправді вельми нетривіальний, але був неодноразово перевірений експериментально з поступово поліпшеною відносною точністю, в даний час досягаючи\(\sim 10^{-14}\) - див. P. Toubul et al., Phys. Преподобний Летт. 119, 231101 (2017).

\({ }^{12}\)Звичайно, найважливішим конкретним випадком екв. (16) є рух об'єктів поблизу поверхні Землі. При цьому, використовуючи той факт, що Eq. (15) залишається дійсним для гравітаційного поля, створеного важкою сферою, ми отримуємо\(g=\)\(G M_{\mathrm{E}} / R_{\mathrm{E}}{ }^{2}\), де\(M_{\mathrm{E}}\) і\(R_{\mathrm{E}}\) знаходяться маса і радіус Землі. Підключаємо їх значення,\(M_{\mathrm{E}} \approx 5.97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\) причому\(R_{\mathrm{E}} \approx\)\(6.37 \times 10^{6} \mathrm{~m}\), отримуємо\(g \approx 9.82 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). Експериментальне значення\(g\) варіюється від\(9.78\) до\(9.83 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) в різних місцях на поверхні Землі (через відхилення форми Землі від сфери, і залежного від місця розташування впливу відцентрової «інерційної сили» - див. \(4.5\)нижче), з середнім значенням\(g \approx 9.807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\).