1.2: Кінематика - Основні поняття

Основні поняття кінематики можуть бути визначені різними способами, і деякі математики приділяють багато уваги аналізу таких систем аксіом, і відносин між ними. У фізиці ми, як правило, дотримуємося менш суворих способів (для того, щоб швидше приступити до певних проблем) і закінчуємо обговорення будь-якого визначення, як тільки «всі в кімнаті» погоджуються з тим, що ми всі говоримо про одне і те ж - принаймні в контексті, про який вони обговорюються. Дозвольте сподіватися, що такі поняття, що використовуються в класичній механіці, задовольняють цьому критерію в нашій «кімнаті»:

(i) Усі поняття евклідової геометрії, включаючи точку, пряму лінію, площину тощо.

(ii) Референтні рамки: платформи для спостереження та математичного опису фізичних явищ. Опорна рамка включає в себе систему координат, яка використовується для вимірювання положення точки (а саме її радіусний вектор,\(\mathbf{r}\) який з'єднує координатний початок з точкою - див. Рис. 1) і годинник, що вимірює час\(t\). Під системою координат можна розуміти певний метод вираження\(\mathbf{r}\) радіусного вектора точки як набору її скалярних координат. Найважливішими з таких систем (але далеко не єдиною) є декартові (ортогональні, лінійні) координати\({ }^{3} r_{j}\) точки, в яких її радіусний вектор може бути представлений у вигляді такої суми:\[\mathbf{r}=\sum_{j=1}^{3} \mathbf{n}_{j} r_{j},\] де\(\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}\), і\(\mathbf{n}_{3}\) є одиничними векторами, спрямованими вздовж осі координат - див. Малюнок 1. \({ }^{4}\)

Малюнок 1.1. Декартові координати точки

(iii) абсолютний («ньютонівський») простор/час,\({ }^{5}\) який не залежить від розподілу матерії. Передбачається, що простір має евклідову метрику, яка може бути виражена у наступному співвідношенні між довжиною будь-якого\(r\) радіусного вектора\(\mathbf{r}\) та його декартовими координатами:\[r \equiv|\mathbf{r}|=\left(\sum_{j=1}^{3} r_{j}^{2}\right)^{1 / 2}\] тоді як час\(t\) вважається, що час проходить аналогічно у всіх еталонних кадрах.

(iv) (миттєва) швидкість точки,

Швидкість

\[\ \mathbf{v}(t) \equiv \frac{d \mathbf{r}}{d t} \equiv \dot{\mathbf{r}},\]

і його прискорення:

Прискорення\[\begin{array}{r} \mathbf{v}(t) \equiv \frac{d \mathbf{r}}{d t} \equiv \dot{\mathbf{r}} \\ \mathbf{a}(t) \equiv \frac{d \mathbf{v}}{d t} \equiv \dot{\mathbf{v}}=\ddot{\mathbf{r}} \end{array}\] (v) Передача між опорними кадрами. Наведені вище визначення векторів\(\mathbf{r}, \mathbf{v}\), а залежать від обраного еталонного кадру (є «специфічними для відліку кадрів»), і нам часто потрібно пов'язати ці вектори, як це спостерігається в різних кадрах. У межах евклідової геометрії співвідношення векторами радіусів у двох кадрах з відповідними осями, паралельними в цікавий момент (рис. 2), дуже просте:

Трансформація радіуса

Малюнок 1.2. Перенесення між двома опорними кадрами.

Якщо кадри рухаються один проти одного лише перекладом (без взаємного обертання!) , подібні відносини справедливі і для швидкості і прискорення, а також:\[\begin{aligned} &\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in } 0^{\prime}}=\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in } 0}+\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in } 0^{\prime}} \\ &\left.\mathbf{a}\right|_{\text {in } 0^{\prime}}=\left.\mathbf{a}\right|_{\text {in } 0}+\left.\mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in } 0^{\prime}} \end{aligned}\] Зверніть увагу, що у випадку взаємного обертання контрольних кадрів закони передачі швидкостей і прискорень є більш складними, ніж ті, що задаються Eqs. (6) і (7). Дійсно, в цьому випадку поняття\(\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in } 0^{\prime}}\) подібне недостатньо чітко визначені: різні точки уявного твердого тіла, з'єднаного з рамкою 0, можуть мати різні швидкості при спостереженні в кадрі 0 '. Для мене буде більш природно обговорити ці більш загальні відносини в кінці глави 4, присвяченої руху жорсткого тіла.

(vi) Частка (або «точкова частка»): локалізований фізичний об'єкт, розмір якого незначний, а форма не має значення для даної проблеми. Відзначимо, що остання кваліфікація вкрай важлива. Наприклад, розмір і форма космічного корабля не надто важливі для обговорення його орбітального руху, але мають першорядне значення при розробці процедур його посадки. Оскільки класична механіка нехтує квантово-механічною невизначеністю,\({ }^{6}\) в ній положення частинки в будь-який конкретний момент може бути ідентифіковано з єдиною геометричною точкою, тобто з одним радіусним вектором\(\mathbf{r}(t)\).\(t\) Формальною кінцевою метою класичної механіки є знаходження\(\mathbf{r}(t)\) законів руху всіх частинок, що беруть участь в даній задачі.

---

\({ }^{3}\)У цій серії декартові координати (введені в 1637 році Рене Декарт, він же Cartesius) позначаються або як\(\left\{r_{1}, r_{2}, r_{3}\right\}\) або\(\{x, y, z\}\), залежно від зручності в кожному конкретному випадку. Зверніть увагу, що нумерація осей важлива для таких операцій, як векторний («хрест») твір; «правильний» (мається на увазі загальноприйнятий) порядок нумерації такий, що обертання\(\mathbf{n}_{1} \rightarrow \mathbf{n}_{2} \rightarrow \mathbf{n}_{3} \rightarrow \mathbf{n}_{1} \ldots\) виглядає проти годинникової стрілки, якщо дивитися з точки з усіма\(r_{j}>0\) - як показано на малюнку 1.

\({ }^{4}\)Зауважте, що представлення (1) також можливо для локально ортогональних, але криволінійних (наприклад, циліндричних/полярних і сферичних) координат, які будуть широко використовуватися в цій серії. Однак такі координати не є декартовими, і для них деякі відносини, наведені нижче, є недійсними - див., наприклад, MA Sec. 10.

\({ }^{5}\)Ці поняття були офіційно введені сером Ісааком Ньютоном в його основній роботі, тритомний Philosopiae Naturalis Principia Mathematica опублікований в 1686-1687 роках, але кореняться в більш ранніх ідеях Галілео Галілея, опублікованих в\(1632 .\)

\({ }^{6}\)Це наближення є законним, коли добуток координатної та імпульсної шкали руху частинок набагато більше, ніж константа Планка\(\hbar \sim 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\). Більш детальні умови застосування класичної механіки залежать від конкретної системи - див., наприклад, частину QM цієї серії.