29.3: Ефект Коріоліса - частинки, що рухаються поблизу поверхні Землі

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 29.2: Рівномірно обертається рамка
- 29.4: Гіроскопи та гірокомпаси в навігації

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Поверхня Землі є обертовою системою відліку, але кутова швидкість досить мала, що ми часто можемо скидати члени другого порядку. Нагадаємо, рівняння руху в обертовій рамці

\ begin {рівняння}
м d\ vec {v}/d t=-\ частковий U/\ частковий\ vec {r} +2 м\ vec {v}\ раз\ vec {\ Омега} +м (\ vec {\ Омега}\ час\ vec {r})\ час\ vec {\ Омега}
\ кінець {рівняння}

який стає, близьким до Землі і скидаючи термін другого порядку,

\ begin {рівняння}
d\ vec {v}/d t=\ vec {g} +2\ vec {v}\ times\ vec {\ Омега}
\ кінець {рівняння}

Провідним рішенням порядку, ігноруючи невеликий термін обертання, є знайомим

\ begin {рівняння}
\ vec {v} _ {1} =\ vec {v} _ {0} +\ vec {g} t
\ end {рівняння}

Другий член набагато менше, ніж перший, так що це нормально, щоб замінити $\vec{v} \text { there by } \vec{v}_{1}$ , і знайти провідну поправку до шляху покласти

\ begin {рівняння}
\ vec {v} =\ vec {v} _ {1} +\ vec {v} _ {2}
\ кінець {рівняння}

в $\begin{equation}d \vec{v} / d t=\vec{g}+2 \vec{v} \times \vec{\Omega}\end{equation}$ рівнянні, даючи

\ почати {рівняння}
d\ vec {v} _ {2}/d t=2\ vec {v} _ {1}\ раз\ vec {\ Омега}\ конг 2 т\ vec {g}\ раз\ vec {\ Омега} +2\ vec {v} _ {0}\ times {\ vec {\ Омега}
\ кінець {рівняння}

Повне рівняння тепер можна інтегрувати, щоб дати

\ begin {рівняння}
\ vec {r} =\ vec {r} _ {0} +\ vec {v} _ {0} t+\ frac {1} {2}\ vec {g} t^ {2} +\ frac {1} {3}\ vec {g}\ times\ vec {\ Омега} +t^ {2}\ vec {v} _ {0}\ times\ vec {\ Омега}
\ кінець {рівняння}

Спробуємо деякі цифри: у 1803 році в Шлебуші, Німеччина, був проведений експеримент, який викликав інтерес наукового співтовариства. Двадцять дев'ять залізних камінчиків були скинуті в шахтний вал глибиною 90 метрів.

У 1831 році експеримент був повторений у шахті глибиною 158,5 м у Фрайбурзі, Саксонія. З 106 крапель оцінювався середній прогин 28,3 мм, близький до теоретичної величини 27,5 мм. (Це точно узгоджується з нашою формулою, з книги Ландау.)

Вправа $\PageIndex{1}$

Де б ви очікували падіння частинки, порівняно з прямим схилом вниз? Щоб зробити візуалізацію трохи простіше, уявіть собі шахту, яка знаходиться на екваторі. Тоді земля рухається на схід швидше, ніж дно шахти - так галька впаде на схід.

Вправа $\PageIndex{2}$ : Naval Gunnery - HMS Dreadnought, 1906

Пістолет BL 12 дюймів Mk X на Дредноут HMS. Снаряди зі швидкістю 800 м/сек, дальність дії близько 23 км. Для вертикальної швидкості скажімо 400 м/сек, час в повітрі близько 80 сек. Два члени мають приблизно однакову величину, близько 100 метрів.

Я вибираю цей корабель, тому що ходять чутки, що в морській битві 1915 біля Фолклендських островів, біля Аргентини, між британськими та німецькими військово-морськими флотами, англійці пропали без вісті, оскільки вони виправили свою мету щодо відхилень Коріоліса, відповідних північній півкулі. Я не впевнений, чи це правда.