Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

29.2: Рівномірно обертається рамка

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75486

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для важливого випадку кадру, що має рівномірне обертання і відсутність руху трансляції,

    \ begin {рівняння}
    м d\ vec {v}/d t=-\ частковий U/\ частковий\ vec {r} +2 м\ vec {v}\ раз\ vec {\ Омега} +м (\ vec {\ Омега}\ час\ vec {r})\ час\ vec {\ Омега}
    \ кінець {рівняння}

    Останній термін - це (як стверджує Ландау) «відцентрова сила», але цей термін зараз політично некоректний, оскільки це не «справжня сила», а лише ефект перебування у обертовій рамці. (Це все ще нормально сказати, гравітаційна сила, хоча це теж не реальна сила, я думаю, оскільки вона зникає в місцевому інерційному «вільно падаючому» кадрі, як це було вперше помічено Галілео, а через століття Ейнштейн, який назвав це «найщасливішою думкою мого життя».)

    Другий термін\(2 m \vec{v} \times \vec{\Omega}\) Ландау називає силою Коріоліса. (Знову ж таки, політкоректні, як правило, говорять про ефект Коріоліса, що означає відхилення снаряда, скажімо, від траєкторії інерційного кадру, що виникає в результаті дії цієї «сили».) Дуже приємна ілюстрація цієї «сили» - у фільмі Frames of Reference 2, починаючи з часу 3:50.

    Зверніть увагу, що сила Коріоліса залежить від швидкості частинки і нагадує магнітну силу на зарядженій частинці. Наприклад, він не працює над частинкою, але робить криву шляху частинки.

    Енергію частинки можна знайти зі стандартного рівняння Лагранжа

    \ begin {рівняння}
    E=\ сума\ точка {x} _ {i}\ frac {\ часткова L} {\ часткова\ точка {x} _ {i}} -L=\ vec {v}\ cdot\ vec {p} -L
    \ кінець {рівняння}

    де

    \ begin {рівняння}
    \ vec {p} =\ часткова L/\ часткова\ vec {v} =м\ vec {v} +м\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r}
    \ кінець {рівняння}

    Це цікаво! Пам'ятаючи\(\vec{v}_{0}=\vec{v}+\vec{\Omega} \times \vec{r}\), імпульс, визначений таким чином як канонічна змінна, а не тільки\(m \vec{v}\) в кадрі, в якому ми перебуваємо, однаковий у двох кадрах\(K_{0}, K\)

    \[\vec{p}_{0}=\vec{p}\]

    \(\vec{L}_{0}=\vec{r} \times \vec{p}_{0} \text { and } \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\)Кутові моменти також рівні в двох кадрах.

    Лагранж - це

    \ почати {рівняння}
    L=\ розриву {1} {2} м\ vec {v} ^ {2} +м\ vec {v}\ cdot\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} +\ frac {1} {2} м (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r}) ^ {2} -U (\ vec {r})
    \ кінець {рівняння}

    тому

    \ begin {рівняння}
    \ почати {масив} {c}
    E=\ vec {p}\ cdot\ vec {v} -L\\
    = м\ vec {v} ^ {2} +м\ vec}\ vec {r}\ cdot\ vec {v} -\ ліво (\ frac {1} {2} м\ vec {v} ^ {2} +m\ vec v}\ cdot\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} +\ frac {1} {2} м (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r}) ^ {2} -U (\ vec {r})\ право)\\
    =\ гідророзриву {1} {2} м\ vec {v} ^ {2} -\ гідророзриву {1} {2} м (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r}) ^ {2} +U (\ vec {r})
    \ кінець {масив}
    \ кінець {рівняння}

    Новий термін - це відцентрова потенційна енергія. Це негативно, тому що потрібна робота, щоб привести щось до осі обертання. Щоб побачити, як ця енергія відноситься до енергії в вихідному нерухомому кадрі, підставляємо в цьому рівнянні\(\vec{v}=\vec{v}_{0}-\vec{\Omega} \times \vec{r}\) знайти

    \ begin {рівняння}
    E=E_ {0} -\ vec {L}\ cdot\ vec {\ Омега}
    \ кінець {рівняння}

    вірно для однієї частинки, і шляхом додавання для будь-якої системи частинок.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Підтвердіть це\(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}=\vec{r} \times \vec{p}_{0}\). Зверніть увагу, що різниця може бути позитивною або негативною - дайте просту ілюстрацію з однієї частинки цього.