29.1: Лагранж у прискоренні та обертові кадри

Цей розділ стосується руху однієї частинки в деякому потенціалі\(U(\vec{r})\) в неінерційній системі відліку. (Ми будемо використовувати\(U(\vec{r}) \text { rather than } V(\vec{r})\) для потенціалу в цьому розділі, оскільки ми будемо використовувати\(\vec{V}\) для відносної швидкості кадру.) Найбільш загальна неінерційна рамка має як лінійне прискорення, так і обертання, а кутова швидкість обертання може сама змінюватися.

Наша стратегія полягає в тому, щоб почати з інерційного кадру\(K_{0}\), а потім перейти до кадру,\(K^{\prime}\) що має лінійне прискорення відносно\(K_{0}\) потім, нарешті, до кадру,\(K\) що обертається відносно\(K^{\prime}\). Ми побудуємо Лагранжа в\(K\), а з нього рівняння руху в цій неінерційній рамці.

По-перше, припустимо, що неінерційна рамка\(K^{\prime}\) рухається відносно змінної\(K_{0}\) в часі швидкості\(\vec{V}(t)\). В інерційній\(K_{0}\) рамці Лагранж знаходиться як зазвичай

\ begin {рівняння}
L_ {0} =\ frac {1} {2} м\ vec {v} _ {0} ^ {2} -U
\ end {рівняння}

тому рівняння Лагранжа дають стандартний результат,

\ begin {рівняння}
м d\ vec {v} _ {0}/d t=-\ часткове U/\ часткове\ vec {r}
\ end {рівняння}

індекс 0, що позначає величини в цьому інерційному кадрі.

Принцип найменшої дії - це концепція, незалежна від рамки, тому обчислення варіацій рівнянь Лагранжа, до якого він призводить,

\ begin {рівняння}
\ frac {d} {d t}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ vec {v}}\ правий) =\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ vec {r}}
\ кінець {рівняння}

також повинні бути правильними в неінерційній рамці.

Як це може бути правдою? Причина в тому, що в неінерційної рамці Лагранж має іншу форму.

Щоб знайти Лагранжа з точки зору швидкості\(\vec{v}^{\prime}\), що означає швидкість, виміряну в кадрі\(K^{\prime}\), ми просто додаємо швидкість\(K^{\prime} \text { relative to } K\).

\ begin {рівняння}
\ vec {v} _ {0} =\ vec {v} ^ {\ прайм} +\ vec {V}
\ кінець {рівняння}

і вкладаючи це в\(L_{0}\), дає Лагранж\(L^{\prime} \text { in the accelerating frame } K^{\prime}:\)

\ begin {рівняння}
L^ {\ прайм} =\ frac {1} {2} м\ vec {v} ^ {\ прайм 2} +м\ vec {v} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {V}\ cdot\ vec {V} -U\ вліво (\ vec {r} ^ {2}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Слідом за Ландау,\(\vec{V}^{2}(t)\) це чисто функція часу, тому може бути виражена як похідна від функції часу, згадати терміни цієї форми не впливають на мінімізацію дії, що дає рівняння руху, і тому можуть бути скинуті з Лагранжа.

Другий термін,

\ почати {рівняння}
м\ vec {V} (t)\ cdot\ vec {v} ^ {\ прайм} =м\ vec {V}\ cdot d\ vec {r} ^ {\ прайм}/д т = д\ вліво (м\ vec {V}\ cdot\ vec {r} ^ {\ прайм}\ праворуч) /д т-м\ vec {r} ^ {\ прайм}\ точка d\ vec {V}/d t\ end {рівняння}

Знову ж таки, загальний похідний термін можна скинути, даючи

\ почати {рівняння}
L^ {\ прайм} =\ frac {1} {2} м\ vec {v} ^ {\ прайм 2} -м (d\ vec {V} (t)/d t)\ cdot\ vec {r} ^ {\ правий} -U\ лівий (\ vec {r} ^ {\ правий}\ правий)
\ кінець {рівняння}

з якого рівняння руху

\ begin {рівняння}
м\ frac {d\ vec {v} ^ {\ прайм}} {d t} =-\ frac {\ частковий U\ лівий (\ vec {r} ^ {\ правий}} {\ partial\ vec {r} ^ {\ правий}} -м\ лівий (\ frac {d\ vec {V}} {d t}\ правий)
\ кінець {рівняння}

Ландау пише це як

\ begin {рівняння}
м\ frac {d\ vec {v} ^ {\ прайм}} {d t} =-\ frac {\ частковий U} {\ частковий\ vec {r} ^ {\ прайм}} -м\ vec {W}
\ кінець {рівняння}

Отже, рух у прискорювальній рамці такий самий, як якщо б додається додаткова сила - ця додаткова сила є лише добутком маси частинки і прискорення кадру, це просто «сила», яка відштовхує вас назад на ваше місце, коли ви наступаєте на газ, лінійний еквівалент «відцентрового». сила» в обертовій рамі.

Говорячи про відцентрову силу, ми тепер вносимо в наш кінцевий кадр\(K\), який має таке ж походження\(K^{\prime}\), як, (так що ми можемо прийняти\(\vec{r}^{\prime}=\vec{r}\) в даний момент), але обертаючись відносно нього з кутовою швидкістю\(\vec{\Omega}(t)\).

Що таке Лагранж перекладається на K змінних? Швидкості в\(K^{\prime}, K\) пов'язані з

\ begin {рівняння}
\ vec {v} ^ {\ прайм} =\ vec {v} +\ vec {\ Omega}\ times\ vec {r}
\ end {рівняння}

і, поклавши це в Лагранж вище,

\ почати {рівняння}
L=\ розриву {1} {2} м\ vec {v} ^ {2} +м\ vec {v}\ cdot\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} +\ frac {1} {2} м (\ vec {\ Омега}\ час\ vec {r}) ^ {2} -м\ vec {W}\ cdot\ vec {r} -U (\ vec {r})
\ кінець {рівняння}

З цього,

\ begin {рівняння}
\ часткова L/\ часткова\ vec {v} =м\ vec {v} +m\ vec {\ Omega}\ times\ vec {r}
\ end {рівняння}

(Зауважте, що це канонічний імпульс,\(p_{i}=\partial L / \partial \dot{x}_{i}=\partial L / \partial v_{i}\)

Використання

\ почати {рівняння}
\ vec {v}\ cdot\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} =\ vec {v}\ раз\ vec {\ Омега}\ cdot\ vec {r},\ квад (\ vec {\ Омега})\ cdot (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r})\ час\ vec {r})\ час\ vec {\ Омега}\ cdot\ vec {r}
\ кінець {рівняння}

у нас є

\ почати {рівняння}
\ часткова L/\ часткова\ vec {r} =м\ vec {v}\ times\ vec {\ Омега} +м (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r})\ час\ vec {\ Омега} -м\ vec {W} -\ частковий U/\ частковий\ vec {r}
\ кінець {рівняння}

рівняння руху

\ begin {рівняння}
\ frac {d} {d t}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ vec {v}}\ правий) =\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ vec {r}}
\ кінець {рівняння}

тому:

\ почати {рівняння}
м д\ vec {v}/d t=-\ частковий U/\ частковий\ vec {r} -м\ vec {W} +м\ vec {r}\ раз\ overrightarrow {\ vec {\ Омега}} +2 м\ vec {\ Омега} +м (\ vec {\ Омега}\ час {\ vec}\ Омега}
\ кінець {рівняння}