27.3: Вільний рух симетричного верху
- Page ID
- 75427
Як розминка у використанні кутів Ейлера, ми переробимо вільну симетричну вершину, висвітлену в останній лекції. При відсутності зовнішніх крутних моментів, що діють верхівка матиме постійний кутовий момент\(\vec{L}\).
Ми візьмемо\(\vec{L}\) в фіксованому напрямку Z. Вісь верхівки - уздовж\(x_{3}\).
Прийняття\(x_{1}\) осі уздовж лінії вузлів ON (рис.\(\PageIndex{1}\)) В даний момент вважається, постійна кутова
\[\begin{align*} \vec{L} &=\left(I_{1} \Omega_{1}, I_{1} \Omega_{2}, I_{3} \Omega_{3}\right) \\[4pt] &=\left(I_{1} \dot{\theta}, \quad I_{1} \dot{\phi} \sin \theta, \quad I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})\right) \end{align*}\]
Пам'ятайте, що ця нова\(x_{1}\) вісь (рис.\(\PageIndex{1}\)) перпендикулярна осі Z, яку ми взяли\(\vec{L} \text { along, so } L_{1}=I_{1} \dot{\theta}=0\), і\(\theta\) є постійною, що означає, що головна вісь\(x_{3}\) описує конус навколо вектора постійного кутового імпульсу\(\vec{L}\). Швидкість прецесії випливає з сталості\(L_{2}=I_{1} \dot{\phi} \sin \theta\). Запис абсолютної величини моменту моменту як L,\(L_{2}=L \sin \theta\) (пам'ятайте, L знаходиться в напрямку Z, і\(x_{1}\) на мить уздовж ON) так швидкість прецесії\(\dot{\phi}=L / I_{1}\). Нарешті, складова\(\vec{L}\) вздовж\(x_{3}\) осі симетрії вершини є\(L \cos \theta=I_{3} \Omega_{3}\), тому спина вершини вздовж власної осі є\(\Omega_{3}=\left(L / I_{3}\right) \cos \theta\).