Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

27.2: Кутова швидкість і енергія з точки зору кутів Ейлера

  • Page ID
    75417
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Оскільки положення однозначно визначається кутами Ейлера, кутова швидкість виражається через ці кути та їх похідні.

    Стратегія тут полягає в тому, щоб знайти компоненти кутової швидкості вздовж осей тіла\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \text { of } \dot{\theta}, \dot{\phi}, \dot{\psi}\) по черзі. Після того, як ми маємо компоненти кутової швидкості вздовж основних осей, кінетична енергія легка.

    Примітка

    Можливо, ви думаєте: почекайте хвилинку, хіба осі не вбудовані в тіло? Хіба вони не звертаються з цим? Як можна говорити про обертання про ці осях? Хороший момент: ми тут знаходимо компоненти кутової швидкості щодо набору осей, закріплених у просторі, а не тіла, але на мить збігаються з основними осями тіла.

    \ [\ begin {вирівняний}
    &\ text {З діаграми,}\ точка {\ тета}\ текст {знаходиться уздовж лінії} O N,\ text {і тому в} x_ {1}, x_ {2}\ text {{площині: зверніть увагу, що вона знаходиться під кутом} -\ psi\ text {стосовно}\\
    &x_ {1}. \ text {Тому його складовими є}\ vec {\ theta} = (\ точка {\ тета}\ cos\ psi, -\ точка {\ тета}\ sin\ psi, 0)
    \ end {вирівняний}\]

    Тепер\(\dot{\phi}\) про вісь Z. Основна вісь\(x_{3}\) знаходиться під кутом\(\theta\) до осі Z, тому\(\dot{\phi}\) має\(\dot{\phi} \cos \theta \text { about } x_{3}, \text { and } \dot{\phi} \sin \theta \text { in the } x_{1}, x_{2}\) площину компонента, що остання складова вздовж лінії, перпендикулярної до ON, і, отже, під кутом\(-\psi \text { from the } x_{2} \text { axis. Hence } \vec{\phi}=(\dot{\phi} \sin \theta \sin \psi, \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi, \dot{\phi} \cos \theta)\).

    Кутова швидкість\(\dot{\psi}\) вже вздовж головної осі,\(x_{3}\).

    Підводячи підсумок, кутові швидкості Ейлера (складові вздовж головних осей тіла) є:

    \ [\ почати {масив} {l}
    \ точка {\ vec {\ тета}} =(\ точка {\ тета}\ cos\ psi, -\ точка {\ тета}\ sin
    \ PSI, 0)\\ точка {\ vec {\ phi}} = (\ точка {\ phi}\ sin\ тета\ грін\ псі\,\ точка {\ phi}\ cos\ тета)\\ точка {
    \ psi} =( 0,0,\ точка {\ psi})
    \ кінець {масив}\]

    з яких, компоненти кутової швидкості вздовж цих осях в тілі\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \text { are: }\)

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ Омега_ {1} &=\ точка {\ фі}\ син\ тета\ син\ пси+\ точка {\ тета}\ cos\ PSI\
    \ Омега_ {2} &=\ точка {\ Phi}\ sin\ тета\ cos\ psi-\ точка {\ тета}\ sin\ psi\\
    \ Омега_ {3} &=\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi}
    \ кінець {вирівняний}\]

    Для симетричної вершини, тобто\(I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\), обертальна кінетична енергія

    \(T_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3} \Omega_{3}^{2}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\dot{\phi}^{2} \sin ^{2} \theta+\dot{\theta}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2}\)

    Для цього симетричного випадку, як вказує Ландау, ми могли б взяти\(x_{1}\) вісь на мить уздовж лінії вузлів ON, даючи

    \(\vec{\Omega}=(\dot{\theta}, \dot{\phi} \sin \theta, \dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})\)