27.2: Кутова швидкість і енергія з точки зору кутів Ейлера
- Page ID
- 75417
Оскільки положення однозначно визначається кутами Ейлера, кутова швидкість виражається через ці кути та їх похідні.
Стратегія тут полягає в тому, щоб знайти компоненти кутової швидкості вздовж осей тіла\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \text { of } \dot{\theta}, \dot{\phi}, \dot{\psi}\) по черзі. Після того, як ми маємо компоненти кутової швидкості вздовж основних осей, кінетична енергія легка.
Примітка
Можливо, ви думаєте: почекайте хвилинку, хіба осі не вбудовані в тіло? Хіба вони не звертаються з цим? Як можна говорити про обертання про ці осях? Хороший момент: ми тут знаходимо компоненти кутової швидкості щодо набору осей, закріплених у просторі, а не тіла, але на мить збігаються з основними осями тіла.
\ [\ begin {вирівняний}
&\ text {З діаграми,}\ точка {\ тета}\ текст {знаходиться уздовж лінії} O N,\ text {і тому в} x_ {1}, x_ {2}\ text {{площині: зверніть увагу, що вона знаходиться під кутом} -\ psi\ text {стосовно}\\
&x_ {1}. \ text {Тому його складовими є}\ vec {\ theta} = (\ точка {\ тета}\ cos\ psi, -\ точка {\ тета}\ sin\ psi, 0)
\ end {вирівняний}\]
Тепер\(\dot{\phi}\) про вісь Z. Основна вісь\(x_{3}\) знаходиться під кутом\(\theta\) до осі Z, тому\(\dot{\phi}\) має\(\dot{\phi} \cos \theta \text { about } x_{3}, \text { and } \dot{\phi} \sin \theta \text { in the } x_{1}, x_{2}\) площину компонента, що остання складова вздовж лінії, перпендикулярної до ON, і, отже, під кутом\(-\psi \text { from the } x_{2} \text { axis. Hence } \vec{\phi}=(\dot{\phi} \sin \theta \sin \psi, \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi, \dot{\phi} \cos \theta)\).
Кутова швидкість\(\dot{\psi}\) вже вздовж головної осі,\(x_{3}\).
Підводячи підсумок, кутові швидкості Ейлера (складові вздовж головних осей тіла) є:
\ [\ почати {масив} {l}
\ точка {\ vec {\ тета}} =(\ точка {\ тета}\ cos\ psi, -\ точка {\ тета}\ sin
\ PSI, 0)\\ точка {\ vec {\ phi}} = (\ точка {\ phi}\ sin\ тета\ грін\ псі\,\ точка {\ phi}\ cos\ тета)\\ точка {
\ psi} =( 0,0,\ точка {\ psi})
\ кінець {масив}\]
з яких, компоненти кутової швидкості вздовж цих осях в тілі\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \text { are: }\)
\ [\ почати {вирівняний}
\ Омега_ {1} &=\ точка {\ фі}\ син\ тета\ син\ пси+\ точка {\ тета}\ cos\ PSI\
\ Омега_ {2} &=\ точка {\ Phi}\ sin\ тета\ cos\ psi-\ точка {\ тета}\ sin\ psi\\
\ Омега_ {3} &=\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi}
\ кінець {вирівняний}\]
Для симетричної вершини, тобто\(I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\), обертальна кінетична енергія
\(T_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3} \Omega_{3}^{2}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\dot{\phi}^{2} \sin ^{2} \theta+\dot{\theta}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2}\)
Для цього симетричного випадку, як вказує Ландау, ми могли б взяти\(x_{1}\) вісь на мить уздовж лінії вузлів ON, даючи
\(\vec{\Omega}=(\dot{\theta}, \dot{\phi} \sin \theta, \dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})\)