26.4: Рівняння руху твердого тіла із зовнішніми силами
- Page ID
- 75384
Переклад
Вільне тверде тіло має шість ступенів свободи (наприклад, координати центру маси і орієнтація тіла). Тому існує шість рівнянь руху, три для швидкості зміни просторового положення центру мас, іншими словами для складових швидкості\(\vec{V}\), і три для швидкості зміни орієнтації, кутова швидкість\(\vec{\Omega}\).
Ці рівняння, звичайно, не що інше, як закони Ньютона, легко отримані шляхом підсумовування над набором рівнянь\(\vec{f}_{i}=d\left(m_{i} \vec{v}_{i}\right) / d t\) для кожної частинки.
Позначаючи сумарний імпульс тіла по\(\vec{P}\).
\ почати {рівняння}
\ сума_ {n}\ розрив {d} {d t}\ ліворуч (m_ {n}\ vec {v} _ {n}\ право) =\ frac {d\ vec {P}} {d t} =\ sum_ {n}\ vec {f} _ {n} =\ vec {F}
\ кінець {рівняння}
\(\text { and } \vec{P}=M \vec{V}, \text { where } \vec{V}=d \vec{R} / d t\)це швидкість центру мас. (Це можна встановити шляхом диференціації щодо часу визначення центру маси,\(\left.M \vec{R}=\sum_{n} m_{n} \vec{r}_{n} .\right)\)
Загальна сила на всіх частинках - це сума загальної зовнішньої сили на тіло і сума внутрішніх сил між частинками - але ці внутрішні сили надходять у рівних і протилежних парах, з Третього закону Ньютона, і тому додають до нуля.
Суть, отже, полягає в тому, що швидкість зміни імпульсу жорсткого тіла дорівнює загальній зовнішній силі на тіло. Якщо ця сила з незалежного від часу потенціалу, то
\ begin {рівняння}
\ vec {F} =-\ часткова V/\ часткова\ vec {R}
\ кінець {рівняння}
тому що якщо тіло переміщається через\(\begin{equation}\delta \vec{R}\end{equation}\) (без обертання, звідси і часткова похідна), кожна окрема частинка рухається через те ж саме\(\delta \vec{R}\), робота, виконана зовнішнім потенціалом над\(n^{\text {th }}\) частинкою\(\vec{f}_{n}^{\operatorname{ext}} \cdot \delta \vec{R}=-\delta V_{n}\), є, і підсумовування по всіх частинок дає\(\vec{F} \cdot \delta \vec{R}=-\delta V_{\mathrm{tot}}\), даючи вищевказане рівняння як\(\delta \vec{R} \rightarrow 0\).
Обертання
Щоб вивести рівняння руху для обертання твердого тіла, ми вибираємо інерційну рамку, в якій центр маси на мить знаходиться в спокої, і приймаємо центр маси як початок.
Швидкість зміни моменту моменту навколо центру маси (походження),
\ почати {рівняння}
\ vec {L} =( d/d t)\ sum_ {n}\ vec {r} _ {n}\ раз\ vec {p} _ {n} =\ сума_ {n}\ ліворуч [\ точка {\ vec {r}} _ {п} _ {п} _ {n}\ праворуч) +\ vec {r} {_ n}\ times\ overrightarrow {\ vec {p}} _ {n}\ право)\ право] =\ sum_ {n}\ vec {r} _ {n}\ times\ vec {f} _ {n} =\ vec {K}
\ кінець {рівняння}
де ми скинули,\(\dot{\vec{r}}_{n} \times \vec{p}_{n} \text { term because } \dot{\vec{r}}_{n}=\vec{v}_{n} \text { is parallel to } \vec{p}_{n}=m \vec{v}_{n}, \text { then we used } \vec{f}_{n}=\vec{p}_{n}\) щоб отримати сумарний момент зовнішніх сил про центр маси, крутний момент.
Кутовий момент навколо центру мас однаковий в будь-якій інерційній рамці, так як додатковий термін на додавання швидкості\(\vec{v}_{0}\) до кожної маси дорівнює
\ почати {рівняння}
\ сума\ vec {r} _ {n}\ раз m_ {n}\ vec {v} _ {0} =-\ vec {v} _ {0}\ час\ сума m_ {n}\ vec {r} _ {n} _ {n} =0
\ кінець {рівняння}
від визначення центру мас.
Якщо центр маси не знаходиться біля початку, позначте координати частинок по\(\vec{\rho}_{n}=\vec{R}+\vec{r}_{n}\) в звичайних позначеннях, так
\ почати {рівняння}
\ vec {L} _ {\ текст {нове походження}} =\ sum_ {n}\ vec {\ rho} _ {n}\ раз m_ {n}\ vec {v} _ {n} =\ sum_ {n}\ vec {r} _ {n}\ times m_ {n}\ vec {v} _ {n} {R}\ раз m_ {n}\ vec {v} _ {n} =\ vec {L} _ {\ mathrm {см}} +\ vec {R}\ times\ vec {P}
\ end {рівняння}
сума внутрішнього («спина») кутового моменту і зовнішнього («орбітального») кутового імпульсу.
Аналогічно, якщо крутний момент зовнішніх сил щодо центру мас такий,\(\vec{K}=\sum_{n} \vec{r}_{n} \times \vec{f}_{n}\) як визначено вище, то щодо нового походження крутний момент дорівнює
\ почати {рівняння}
\ vec {K} _ {\ текст {нове походження}} =\ sum_ {n}\ vec {\ rho} _ {n}\ час\ vec {f} _ {n} =\ sum_ {n}\ vec {R}\ час\ vec {f} _ {n} +\ сума {n}\ vec {r} _ {n} _ {n} =\ vec {R}\ час\ vec {F} +\ vec {K} _ {\ mathrm {см}}
\ кінець {рівняння}
тобто крутний момент про нове походження - це крутний момент навколо центру маси плюс крутний момент про нове походження загальної зовнішньої сили, що діє в центрі маси.
Важливим особливим випадком є пара: пара рівних, але протилежно спрямованих сил, що діють уздовж паралельних, але відокремлених ліній (як дві руки, протилежно розміщені, повертаючи кермо). Сили додають до нуля, тому з наведеного вище рівняння пара чинить однаковий крутний момент щодо будь-якого походження.
Більш загально термін пара часто використовується (в тому числі Ландау) для позначення будь-якого набору сил, які додають до нуля, але дають ненульовий крутний момент через їх ліній дії, і такий набір дає однаковий крутний момент щодо будь-якого походження.
Вправа: довести, що для твердого тіла, вільно падаючого в рівномірному гравітаційному полі, кутовий імпульс навколо центру мас залишається постійним, а ось про іншу точку він взагалі буде змінюватися. А як щодо зарядженого жорсткого тіла, що рухається в просторі (без сили тяжіння) через рівномірне електричне поле?