Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

26.2: Прецесія симетричного верху

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75397

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Більш цікавий випадок - вільне обертання (нульовий зовнішній крутний момент) симетричного верху, тобто\(I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\).

    clipboard_e12dda2c2cec10bfccf07660725f74b7b.png

    Ми можемо взяти будь-яку пару ортогональних осей, перпендикулярних осі симетрії тіла, як\(x_{1}, x_{2}\) осі. Ми виберемо\(x_{2}\) наступні Ландау, як перпендикулярно площині, що містить\(\vec{L}\) і миттєве положення\(x_{3}\) осі, так на схемі\(x_{2}\) тут перпендикулярно з паперу/екрану, до глядача.

    Це означає, що компонент кутового моменту\(L_{2}=0\) і тому\(\Omega_{2}=0 . \text { Hence } \vec{\Omega}\) знаходиться в тій же\(\vec{L}, x_{3}, \text { and so the velocity } \vec{v}=\vec{\Omega} \times \vec{r}\) площині, що і кожна точка на осі вершини перпендикулярна цій площині (в папір/екран). Вісь верхньої частини\(O x_{3}\) повинна обертатися рівномірно щодо напрямку\(\vec{L}\).

    Швидкість віджиму вершини навколо власної осі становить

    \ begin {рівняння}
    \ Омега_ {3} =L_ {3}/I_ {3} =\ ліворуч (L/I_ {3}\ праворуч)\ cos\ тета
    \ кінець {рівняння}

    Вектор кутової швидкості\(\vec{\Omega}\) можна записати у вигляді суми двох складових, однієї вздовж\(O x_{3}\) осі тіла і однієї паралельної кутового моменту\(\vec{L}\) (ці складові показані пунктирними на малюнку)

    \ begin {рівняння}
    \ vec {\ Омега} =\ vec {\ Омега} _ {\ текст {прецесія}} +\ vec {\ Омега} _ {3}
    \ кінець {рівняння}

    Компонент вздовж осі тіла\(O x_{3}\) не сприяє прецесії, яка все виходить від складової вздовж (закріпленого в просторі) вектора кутового імпульсу.

    Швидкість прецесії випливає з

    \ begin {рівняння}
    \ Омега_ {\ текст {прецесія}}\ sin\ theta=\ Омега_ {1}
    \ кінець {рівняння}

    і

    \ begin {рівняння}
    \ Омега_ {1} =L_ {1}/I_ {1} =\ лівий (L/I_ {1}\ правий)\ sin\ тета
    \ кінець {рівняння}

    тому

    \ begin {рівняння}
    \ Омега_ {\ текст {прецесія}} =L/I_ {1}
    \ end {рівняння}

    Зверніть увагу також на співвідношення швидкості прецесії до обертання навколо осі

    \ begin {рівняння}
    \ Омега_ {\ текст {прецесія}}/\ Omega_ {3} =\ left (I_ {3}/I_ {1}\ праворуч)\ сек\ тета
    \ кінець {рівняння}

    Це означає, що швидкість прецесії і спина дуже порівнянні, за винятком випадків, коли\(\theta\) поруч\(\pi / 2\), коли прецесія стає набагато швидше. Пам'ятайте, що це прецесія тіла без зовнішнього крутного моменту, і явно зовсім інша - набагато швидша прецесія - ніж знайомий випадок швидкого спінінгу під дією сили тяжіння.