26.1: Кутовий момент і кутова швидкість

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75385

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

На відміну від кутової швидкості, кутовий момент тіла залежить від точки, щодо якої вона визначена. Поки що приймаємо його (слідуючи за Ландау, звичайно) як щодо центру маси, але позначаємо його\(\vec{L}\), слідуючи сучасному використанню. Цей «внутрішній» момент імпульсу схожий на кутовий імпульс Землі від її добового обертання, на відміну від його орбітального кутового імпульсу при обході Сонця.

Тобто

\ почати {рівняння}
\ vec {L} =\ sum_ {n}\ vec {r} _ {n}\ раз m_ {n}\ vec {v} _ {n} =\ sum_ {r} _ {n}\ раз м_ {n}\ ліво (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} _ {n}\ право) =\ сума {n}} m_ {n}\ лівий [r_ {n} ^ {2}\ vec {\ Омега} -\ vec {r} _ {n}\ лівий (\ vec {r} _ {n}\ cdot\ vec {\ Омега}\ праворуч)\ праворуч] =\ mathbf {I}\ vec {\ Омега}
\ кінець { рівняння}

де\(I\) тензор інерції: це якраз означає\(L_{i}=I_{i k} \Omega_{k}\)

Явно, приймаючи головні осі як\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) осі,

\ begin {рівняння}
L_ {1} =I_ {1}\ Омега_ {1},\ квад L_ {2} =I_ {2}\ Омега_ {2},\ квад L_ {3} =I_ {3}\ Омега_ {3}
\ кінець {рівняння}

Для чогось із сферичною інерційною симетрією (наприклад, куб або тетраедр!) \(\vec{L}=I \vec{\Omega}\)

Ландау визначає ротатор як сукупність масивних частинок на лінії. (Я припускаю, що включає в себе двоатомні молекули, і, наприклад\(\mathrm{CO}_{2}\), нехтування електронами і ядерними розмірами). Ми знаємо, що для цих молекулярних ротаторів існує лише два фізичні обертальні ступені свободи (завдяки квантовій механіці), і, очевидно, дві головні осі перпендикулярні лінії мас і вироджені. Знову ж таки, потім,\(\vec{L}=I \vec{\Omega}\).