25.2: Аналіз рухомого руху
- Page ID
- 75086
Кінетична енергія конуса, що котиться на площині
Конус котиться без ковзання по горизонтальній площині XY. Короткочасна лінія зіткнення з площиною - ОА, під кутом θ в горизонтальній площині від осі Х.
Важливим моментом є те, що ця лінія зіткнення, що розглядається як частина конуса кочення, на мить знаходиться в стані спокою при зіткненні з площиною. Це означає, що в цей момент конус обертається навколо нерухомої лінії ОА. Тому вектор кутової швидкості\(\vec{\Omega}\) вказує уздовж ОА.
Беручи конус, щоб мати напіввертикальний кут\(\alpha\) (мається на увазі це кут між ОА і центральною віссю конуса), центр маси, який знаходиться на відстані a від вершини, а по центральній лінії рухається по колу на висоті\(a \sin \alpha\) над площиною, це коло по центру на осі Z, і мають радіус\(a \cos \alpha\). Центр мас рухається зі швидкістю\(V=\dot{\theta} a \cos \alpha\), тому сприяє поступальної кінетичної енергії
\[\dfrac{1}{2} M V^{2}=\dfrac{1}{2} M \dot{\theta}^{2} a^{2} \cos ^{2} \alpha\]
Тепер візуалізуємо конус кочення, що обертається навколо миттєво зафіксованої лінії ОА: центр маси, на висоті\(a \sin \alpha\), рухається на V, тому кутова швидкість
\[\Omega=\dfrac{V}{a \sin \alpha}=\dot{\theta} \cot \alpha.\]
Далі ми спочатку визначаємо новий набір осей з початком O: один,\(x_{3}\) це власна центральна лінія конуса, інша,\(x_{2}\) перпендикулярна до цього і до ОА, це визначає\(x_{1}\) (Для цих останніх двох, оскільки вони через вершину, момент інерції - це той, що виробляється в кінці попередній розділ див. Вище.)
Так як\(\vec{\Omega} \text { is along } O A, \text { its components with respect to these axes }\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \text { are }(\Omega \sin \alpha, 0, \quad \Omega \cos \alpha)\)
Однак, щоб обчислити сумарну кінетичну енергію, для обертального внеску нам потрібно використовувати паралельний набір осей через центр мас. Це просто означає віднімання з вершини перпендикулярних моментів інерції, знайдених вище коефіцієнта\(M a^{2}\).
Загальна кінетична енергія
\[\begin{align*} T &=\dfrac{1}{2} M \dot{\theta}^{2} a^{2} \cos ^{2} \alpha+\dfrac{1}{2} I_{1} \dot{\theta}^{2} \cos ^{2} \alpha+\dfrac{1}{2} I_{3} \dot{\theta}^{2} \dfrac{\cos ^{4} \alpha}{\sin ^{2} \alpha} \\[4pt] &=3 M h^{2} \dot{\theta}^{2}\left(1+5 \cos ^{2} \alpha\right) / 40 \end{align*}\]
за допомогою
\[I_{1}=\dfrac{3}{20} M R^{2}+\dfrac{3}{80} M h^{2}, \quad I_{3}=\dfrac{3}{10} M R^{2}, \quad a=\dfrac{3}{4} h, \quad R=h \tan \alpha\]