24.8: Діагоналізація тензора інерції

Інерційний тензор має вигляд дійсної симетричної матриці. При відповідному виборі осей\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) будь-який такий тензор можна поставити в діагональну форму, щоб

\ begin {рівняння}
Т_ {\ текст {гниль}} =\ розрив {1} {2}\ ліворуч (I_ {1}\ Омега_ {1} ^ {2} +I_ {2}} ^ {2} +I_ {3}\ Omega_ {3} ^ {2}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

Ці осі, щодо яких тензор інерції діагональний, називаються основними осями інерції, моменти близько них\(I_{1}, I_{2}, I_{3}\) - основними моментами інерції.

Якщо ви вже знайомі з процедурою діагоналізації реальної симетричної матриці, ви можете пропустити цей огляд.

Діагоналізація тензора/матриці протікає наступним чином.

Спочатку знайдіть власні значення\(\lambda_{i}\) та відповідні власні вектори\(\mathbf{e}_{i}\) інерційного тензора\(I\):

\ begin {рівняння}
\ mathbf {I e} _ {\ mathbf {i}} =\ лямбда_ {i}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {i}} (i=1,2,3,\ текст {не підсумований})
\ кінець {рівняння}

(\(\lambda_{i} \text { turn out to be the principal moments } I_{i}, \text { but we'll leave them as } \lambda_{i}\)На даний момент нам потрібно спочатку встановити, що вони реальні.)

Тепер, оскільки\(I\) є реальним і симетричним,\(\mathbf{I}^{\mathrm{T}}=\mathbf{I}\) то власні значення є реальними. Щоб довести це, візьміть рівняння для\(\mathbf{e}_{1}\) вище і попередньо помножте на вектор рядка\(\mathbf{e}_{1}^{* \mathrm{T}}\), складний сполучений транспонувати:

\ почати {рівняння}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {*\ математика {T}}\ mathbf {е} _ {\ mathbf {1}} =\ лямбда_ {1}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1} bf {*}\ mathbf {T}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}}
\ кінець {рівняння}

Ліва сторона - це дійсне число: це можна встановити, взявши його складний сполучений. Те, що тензор реальний і симетричний, має вирішальне значення!

\ begin {рівняння}
\ ліворуч (e_ {1 i} ^ {*} I_ {i j} e_ {1 j}\ праворуч) ^ {*} =e_ {1 i} I_ {i j} ^ {1 j} ^ {*} =e_ {1 i} I_ {j i} e_ {1 j} ^ {*} I_ {j i} e_ {1 i}
\ end {рівняння}

І так як це фіктивні суфікси, ми можемо поміняти місцями я і j, щоб встановити, що це число ідентично його складні сполучених, отже, це реально. Ясно,\(\mathrm{e}_{1}^{* \mathrm{T}} \mathrm{e}_{1}\) що є реальним і позитивним, тому власнізначення реальні.

(Примітка: реальна симетрична матриця не обов'язково має позитивних коренів: наприклад\ (\ left (\ begin {array} {ll}
0 & 1\
1 & 0
\ end {array}\ right)\)

Беручи власні значення, щоб бути різними (вироджений випадок легко мати справу) власні вектори ортогональні, за стандартним доказом, для цієї матриці ліві власні вектори (рядки) мають ті ж власні значення, що і їх транспонувати, тому

\ почати {рівняння}
\ mathbf {e} _ {2} ^ {\ математика {T}}\ mathbf {I}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} =\ лямбда_ {\ mathbf {2}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {2} {T}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} =\ лямбда_ {\ mathbf {1}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}}
\ кінець {рівняння}

і\(\mathbf{e}_{2}^{\mathrm{T}} \mathbf{e}_{1}=0\).

Матриця діагоналізації складається з цих власних векторів (припускається нормалізованих):

\ почати {рівняння}
\ mathbf {R} =\ ліво (\ почати {масив} {c}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {T}}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {T}}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {3}} ^ {\ mathbf {T}}
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

стовпчик векторів рядків.

Щоб перевірити, що це дійсно вектор обертання, від одного ортогонального набору осей до іншого, спочатку зверніть увагу, що його транспонувати\ (\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ left (\ begin {масив} {lll}
\ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}
\ end {масив}\ право)\) є його зворотним (за потребою для обертання), так як власні вектори утворюють ортонормальну множину.

Тепер застосуємо це\(R\) до довільного вектора:

\ почати {рівняння}
\ mathbf {x} ^ {\ прайм} =\ mathbf {R}\ mathbf {x} =\ лівий (\ початок {масив} {c}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {T}}
\\ mathbf {e} _ {\ mathbf 2 ^ {\ mathbf {T}}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {3}} ^ {\ mathbf {T}}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ mathbf {x} =\ лівий (\ почати {масив} {c}
\ mathbf {е} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\
\ mathbf {е} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {3}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

У векторній мові ці елементи є просто\ (\ begin {рівняння}
\ vec {e} _ {1}\ cdot\ vec {x},\ text {і т.д., так} x_ {1} ^ {\ prime} =\ vec {e} _ {1}\ cdot\ vec {x}
\ end {рівняння}\), загрунтовані компоненти є лише складовими\(\vec{x}\) вздовж власних осей вектора, тому оператор \(R\)дає векторні компоненти щодо цих осей, тобто він повернув систему координат до однієї з головними осями тіла тепер є\(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) осями.

Ми можемо підтвердити це, застосувавши обертання до самого тензора інерції:

\ почати {рівняння}
\ mathbf {I} ^ {\ прайм} =\ mathbf {R}\ mathbf {T}\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
\ mathbf {e} _ {1} ^ {\ mathbm {T}}\
\ mathbf f {e} _ {2} ^ {\ mathrm {T}}\
\ mathbf {e} _ {3} ^ {\ mathrm {T}}
\ кінець {масив}\ право)\ mathbf {I}\ left (\ begin { масив} {lll}
\ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}
\ кінець {масив}\ справа) =\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
\ mathbf {e} _ {1} ^ {\ mathrm {T}}\
\ mathbf {e} _ {2} ^ {\ mathrm {T}}\
\ mathbf {e} _ {3} ^ {\ mathrm {T}}
\ end {масив}\ праворуч)\ ліворуч (\ почати {масив} {lll}
\ лямбда_ {1}\ mathbf {e} _ {1} &\ лямбда {2}\ mathbf {e} _ {2} &\ lambda_ {3}\ mathbf {e} _ {3}
\ кінець {масив}\ праворуч) =\ лівий (\ почати {масив} {ccc}
\ lambdad _ {1} & 0\\
0 &\ 0 &\\ лямбда_ {2} &
0\ 0 & 0 amp;\ лямбда_ {3}
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Розглянемо внесок однієї частинки в тензор інерції:

\ почати {рівняння}
\ mathbf {I} _ {\ mathbf {1}} =м\ ліворуч [\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\ праворуч)\ mathbf {1} -\ mathbf {x}\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ праворуч]
\ end {рівняння}

Зверніть увагу, що\(x\) тут представлений вектор стовпця координат частинок, іншими словами, це просто\(\vec{r} !\) І, стежте за тензором інерції I і тензор одиниці 1.

Вони перетворюються як\(\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{R} \mathbf{x}\), зауважте, що з цим погоджується\(\mathbf{I}^{\prime}=\mathbf{R} \mathbf{I} \mathbf{R}^{\mathbf{T}}\). Оскільки при обертанні довжина вектора є інваріантною\(\mathbf{x}^{\prime \mathbf{T}} \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{x}^{\mathbf{T}} \mathbf{x}, \text { and } \mathbf{R} \mathbf{x} \mathbf{x}^{\mathbf{T}} \mathbf{R}^{\mathbf{T}}=\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}^{\mathbf{\prime}} \mathbf{T}\), видно, що в оберненому кадрі (рамці власного вектора) одна частинка сприяє діагональним елементам.

\ почати {рівняння}
м\ лівий [\ лівий (x_ {2} ^ {2} +x_ {3} ^ {2}\ праворуч),\ лівий (x_ {3} ^ {2} +x_ {1} ^ {2}\ праворуч),\ лівий (x_ {1} ^ {2} +x_ {2} ^ {2} ^ {2}\ праворуч]
\ кінець {рівняння}

. Ми скинули прості числа, так як ми будемо працювати в цьому природному кадрі відтепер.