24.7: Визначення тензора

Ми маємо певне правило, як векторні компоненти трансформуються при зміні базису:\(x_{i}^{\prime}=R_{i j} x_{j}\). А як щодо компонентів тензора інерції\(I_{i k}=\sum_{n} m_{n}\left(x_{n l}^{2} \delta_{i k}-x_{n i} x_{n k}\right)\)?

Ми зробимо це з двох частин, і по одній частинці за раз. По-перше, візьміть другий термін для однієї частинки, він має вигляд\(-m x_{i} x_{k}\). Але ми вже знаємо, як векторні компоненти трансформуються, тому це повинно перейти до

\ begin {рівняння}
-м x_ {i} ^ {\ прайм} x_ {k} ^ {\ прайм} =R_ {i l} R_ {j м}\ ліворуч (-м x_ {l} x_ {m}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

Та ж матриця обертання\(R_{i j}\) застосовується до всіх частинок, тому ми можемо додати більше n.

Насправді тензор інерції складається з елементів саме такої форми у всіх дев'яти місцях плюс діагональні долі\(m r_{i}^{2}\), очевидно інваріантні при обертанні. Щоб це було зрозуміло, запишемо тензор інерції:

\ begin {рівняння}
\ left [\
begin {масив} {ccc}\ сума m\ left (y^ {2} +z^ {2}\ право) & -\ сума m x y &
-\ сума m x y\\ сума m\ ліворуч (z^ {2} +x^ {2}\ праворуч) & -\ сума m y z\\
-\ сума m\\ сума x z & -\ сума m y z &\ сума m\ ліворуч (x^ {2} +y^ {2}\ праворуч)
\ end {масив}\ праворуч] =\ сума м\ ліворуч (x^ {2} +y^ {2} +z^ {2}\ праворуч)\ mathbf {1} -\ лівий [\ початок {масив} {c}
\ сума m x {2}\ сума m x y &\ сума m x z\
\ сума m x y\\ сума m x y\\ сума m y^ {2} &\ сума m y z
\\ сума м х z &\ сума m y z &\ сума m z^ {2}
\ кінець { масив}\ право]
\ end {рівняння}

де 1 - матриця ідентичності 3 × 3. (Не плутати з\(I!\))

Вправа: переконати себе, що це те саме, що\ (\ begin {рівняння}
\ mathbf {I} =\ сума м\ ліворуч [\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\ праворуч)\ mathbf {1} -\ mathbf {x} ^ {mathbf {x} ^ {\ mathbf {thbf {T}}\ право]
\ кінець {рівняння}\)

Ця властивість перетворення є визначенням декартового тривимірного тензора з двома суфіксами: так само, як вектор в цьому просторі може бути визначений як масив з трьох компонентів, які трансформуються при зміні основи шляхом застосування матриці обертання\(x_{i}^{\prime}=R_{i j} x_{j}\), тензора з двома суфіксами в той же простір являє собою двовимірний масив з дев'яти чисел, які трансформуються як

\(T_{i j}^{\prime}=R_{i l} R_{j m} T_{l m}\)

Записуючи це в матричні позначення, і стежачи за індексами, ми бачимо, що при стандартному визначенні матричного добутку,\((\mathbf{A B})_{i j}=\mathbf{A}_{i k} \mathbf{B}_{k j}\)

\ почати {рівняння}
\ mathbf {T} ^ {\ прайм} =\ mathbf {R}\ mathbf {T}\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ mathbf {R}\ mathbf {T}\ mathbf {R} ^ {-\ mathbf {1}
\ кінець рівняння}

(Властивість перетворення для нашого тензора випливає відразу з цього для вектора, оскільки наш тензор побудований з векторів, але за визначенням одне і те ж правило застосовується до всіх декартових тензорів, які не завжди виражаються з точки зору векторних компонентів.)