24.6: Тензори 101

Ми бачимо, що «тензор інерції», визначений вище як

\ begin {рівняння}
I_ {i k} =\ sum_ {n} m_ {n}\ ліворуч (x_ {n l} ^ {2}\ delta_ {i k} -x_ {n i} x_ {n k}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

являє собою\(3×3\) двовимірний масив термінів, званих компонентами, кожна з яких складається (для цього конкретного тензора) добутків векторних компонентів.

Очевидно, що якби ми обрали інший набір декартових осей з того ж походження\(O\), векторні компоненти були б різними: ми знаємо, як вектор перетворюється при такій зміні осей,\((x, y, z) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \text { where }\)

\ begin {рівняння}
\ left (\ begin {масив} {l}

x^ {\ прайм}\\
y^ {\ прайм}
\ z^ {\ прайм}\ кінець {масив}\ праворуч) =\ left (
\ begin {масив} {ccc}\
cos\ тета &\ sin\ theta & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin {масив} {l}
x\
y\\
z
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Це може бути написано більш лаконічно як

\ почати {рівняння}
x_ {i} ^ {\ прайм} =R_ {i j} x_ {j},\ текст {або}\ mathbf {x} ^ {\ прайм} =\ mathbf {R}\ mathbf {x}
\ кінець {рівняння}

жирний шрифт із зазначенням вектора або матриці.

Насправді перетворення з будь-якого набору декартових осей до будь-якого іншого набору, що має однакове походження, є обертанням навколо якоїсь осі. Це можна легко побачити, спочатку обертаючи таким чином, щоб\(x^{\prime}\) вісь збігалася з віссю x, а потім обертаючись навколо цієї осі. (Звичайно, обидва набори осей повинні мати однакову подачу.) Ми розглянемо ці перетворення обертання більш детально пізніше, а зараз просто згадаємо, що зворотне обертання задається матрицею транспонування (перевірте приклад вище),

\ почати {рівняння}
\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ mathbf {R} ^ {-1},\ квад\ текст {або}\ квад R_ {j i} =R_ {i j} ^ {-1}
\ кінець {рівняння}

так що якщо вектор стовпця

\ почати {рівняння}
x_ {i} ^ {\ прайм} =R_ {i j} x_ {j},\ текст {або}\ mathbf {x} ^ {\ прайм} =\ mathbf {R}\ mathbf {x}
\ кінець {рівняння}

вектор рядка

\ почати {рівняння}
\ mathbf {x} ^ {\ просте\ mathbf {T}} =\ mathbf {x} ^ {\ математика {T}}\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {R} -\ mathbf {1}}
\ кінець {рівняння}

a.k.a.\(x_{i}^{\prime}=R_{i j} x_{j}=x_{j} R_{j i}^{T}=x_{j} R_{j i}^{-1}\), і довжина вектора не змінюється:

\(x_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime}=\mathbf{x}^{\prime \mathrm{T}} \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{R}^{\mathrm{T}} \mathbf{R} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{x}=x_{i} x_{i}\)

Можливо, варто чітко написати тут, що транспонування квадратної матриці (і майже всі наші матриці квадратні) виявляється шляхом просто міняючи рядки та стовпці, або еквівалентно міняючи елементи, які є відображеннями один одного в головній діагоналі, але транспонування вектора, написаного як column, має ті ж елементи, що і рядок, а добуток векторів відповідає стандартним правилам множення матриць:

\ begin {рівняння}
(A B) _ {i j} =A_ {i k} B_ {k j}
\ end {рівняння}

з фіктивним суфіксом\(k\) підсумовується.

Таким чином,

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ початок {масив} {l}
a_ {1}\
a_ {2}\
a_ {3}
\ кінець {масив}\ справа) ^ {T} =\ лівий (\ begin {масив} {lll}
a_ {1} & a_ {2} & a_ {3}
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

і

\ begin {рівняння}
\ mathbf {a} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {a} =\ лівий (\ почати {масив} {lll}
a_ {1} & a_ {3}
\ end {масив}\ праворуч)\ лівий (\ почати {масив} {l}
a_ {1}\
a_ {2}\\
a_ {3}
\ кінець {масив}\ право) =a_ {1} ^ {2} +a_ {2} ^ {2} ^ {2 } +a_ {3} ^ {2}
\ end {рівняння}

проте

\ begin {рівняння}
\ mathbf {a}\ mathbf {a} ^ {\ mathbf {T}} =\ лівий (\ початок {масив} {l}
a_ {1}\
a_ {2}\
a_ {3}\ кінець {масив}
\ праворуч)\ лівий (\ почати {масив} {lll}
a_ {1} & a_ {2} & a_ {3}
\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив } {ccc}
a_ {1} ^ {2} & a_ {1} a_ {2} & a_ {1} a_ {3}\
a_ {1} a_ {2} & a_ {2} & a_ {2} a_ {3}\ a_ {1} a_ {3}
a_ {3} & a_ {2} a_ {3} _ {3} ^ {2}
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Це, можливо, нагадає вам про вектори простору Гільберта в квантовій механіці: транспонований вектор вище аналогічний бюстгальтеру, початковим вектором стовпця є кет. Однією з відмінностей від квантової механіки є те, що всі наші вектори тут реальні, якби це було не так, було б природним додати складне сполучення до транспозиції\(\mathbf{a}^{*} \mathbf{a}=\left|a_{1}\right|^{2}+\left|a_{2}\right|^{2}+\left|a_{3}\right|^{2}\), щоб дати довжину в квадраті вектора.

Різниця, показана вище між\(\mathbf{a}^{\mathbf{T}} \mathbf{a} \text { and } \mathbf{a} \mathbf{a}^{\mathbf{T}}\), точно паралельна різниці між\(\langle a \mid a\rangle \text { and }|a\rangle\langle a|\) квантовою механікою—перше - це число, норма вектора, друга - оператор, проекція в стан\(|a\rangle\)