24.5: Тензор інерції

Щодо твердого тіла як системи окремих частинок, ми знаходимо кінетичну енергію

\ begin {масив} {c}
T=\ sum_ {n}\ розрив {1} {2} m_ {n} v_ {n} ^ {2} =\ sum_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ ліворуч (\ vec {V} +\ vec {\ Омега}\ times\ vec {r} _ {n}\ праворуч)\\\ сума _ {n}\ розрив {1} {2} м_ {n} V^ {2} +\ sum_ {n} м_ {n}\ vec {V}\ cdot\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} _ {n} +\ сума {n}\ frac {1} {2} м_ {n}\ ліво (\ vec {\ Омега}\ раз
\ vec {r} _ {n}\ право) ^ {2}
\ end {масив}

Перший термін в останньому рядку

\ begin {рівняння}
\ sum_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n} V^ {2} =\ frac {1} {2} М V^ {2}
\ end {рівняння}

де M - загальна маса тіла.

Другий термін - це

\ почати {рівняння}
\ сума_ {n} m_ {n}\ vec {V}\ cdot\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} _ {n} =\ vec {V}\ cdot\ vec {\ vec {v}\ cdot\ vec {n} =0
\ кінець {рівняння}

від визначення центру мас (наше походження тут)\(\sum_{n} m_{n} \vec{r}_{n}=0\)

Третій термін можна переписати:

\ begin {рівняння}
\ sum_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ ліворуч (\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} _ {n}\ право) ^ {2} =\ sum_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ ліворуч [\ Омега^ {2} r_ {n} ^ {2} ліворуч (\ vec {\ Омега}\ cdot\ vec {r} _ {n}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч]
\ кінець {рівняння}

Тут ми використали

\ begin {рівняння}
|\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} |=\ Омега р\ син\ тета,\ квад|\ vec {\ Омега}\ cdot\ vec {r} |=\ Омега р\ cos\ тета
\ кінець {рівняння}

Крім того, ви можете використовувати векторну ідентичність продукту

\ почати {рівняння}
(\ vec {a}\ times\ vec {b})\ раз\ vec {c} =-\ vec {a} (\ vec {b}\ cdot\ vec {c}) +\ vec {b} (\ vec {a}\ cdot\ vec {c})
\ кінець {рівняння}

разом з

\ begin {рівняння}
(\ vec {a}\ times\ vec {b})\ cdot (\ vec {c}\ раз\ vec {d}) =(\ vec {a}\ times\ vec {b})\ час\ vec {c}\ cdot\ vec {d}
\ кінець {рівняння}

знайти

\ почати {рівняння}
(\ vec {a}\ раз\ vec {b})\ cdot (\ vec {c}\ раз\ vec {d}) = (\ vec {a}\ cdot\ vec {c}) (\ vec {b}\ cdot {d}) - (\ vec {a}\ cdot\ vec {d}) (\ vec {b}\ cdot\ cdot\ {c})
\ end {рівняння}

Суть в тому, що кінетична енергія

\ begin {рівняння}
T =\ розрив {1} {2} М V^ {2} +\ sum_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ лівий [\ Омега^ {2} r_ {n} ^ {2} -\ вліво (\ vec {\ Омега}\ cdot\ vec {r} _ {n}\ праворуч) ^ {2} =T_ {\ mathrm {tr}} +T_ {\ mathrm {rot}}
\ кінець {рівняння}

поступальна кінетична енергія плюс обертальна кінетична енергія.

Попередження про позначення: на цьому етапі все стає трохи брудним. Причина полягає в тому, що для подальшого прогресу в роботі з обертальною кінетичною енергією нам потрібно записати її в терміні окремих компонентів векторів положення\(n\) частинок\(\vec{r}_{n}\). Слідуючи Ландау та іншим, ми напишемо ці компоненти двома різними способами:

\ begin {рівняння}
\ vec {r} _ {n} =\ ліво (x_ {n}, y_ {n}, z_ {n}\ праворуч)\ equiv\ left (x_ {n 1}, x_ {n 2}, x_ {n 3}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

Позначення x, y, z корисно для надання більш чіткої картини обертальної енергії, але\(x_{n i}\) позначення має важливе значення для обробки математики, як стане очевидним.

Рішення Ландау для занадто великої кількості суфіксів для ясності полягає в тому, щоб опустити суфікс\(n\), що позначає окремі частинки, я вважаю за краще тримати його.

Позначення підсумовування подвійного суфікса: щоб скоротити кількість\(\Sigma\) в виразах, ми будемо слідувати Ландау та іншим у використанні правила Ейнштейна, що якщо суфікс, як\(i,j,k\) з'являється двічі у добутку, він повинен бути підсумований над значеннями 1,2,3. Це називається «фіктивним суфіксом», тому що не має значення, що ви його позначили, якщо він з'являється двічі. Наприклад,

внутрішній добуток двох векторів\(\vec{A} \cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^{3} A_{i} B_{i}\) можна записати як\(A_{i} B_{i} \text { or equally as } A_{k} B_{k}\). Крім того,\(\Omega_{i}^{2} \text { means } \Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}+\Omega_{3}^{2}=\Omega^{2}\).

Але не використовуйте грецькі літери для фіктивних суфіксів у цьому контексті: стандарт полягає в тому, що вони використовуються в релятивістських рівняннях для позначення сум за чотири виміри простору часу, латинські літери для сум над трьома просторовими вимірами, як ми робимо тут.

Потім кінетична енергія обертання

\ begin {масив} {л}
Т_ {\ текст {рот}} =\ розрив {1} {2}\ sum_ {n} m_ {n}\ лівий (\ Омега_ {i} ^ {2} x_ {n i} ^ {2} -\ Омега_ {i} x_ {n i}\ Омега_ {k} x_ {n k}\ право)\
=\ розрив {1} {2}\ sum_ {n} m_ {n}\ ліворуч (\ Омега_ {i}\ Омега_ {k}\ дельта_ {i k} x_ {n l} ^ {2} -\ Омега_ {i}\ Омега_ {k} x_ {n i} x_ {n k}\ право)\
\ quad=\ розрив {1} {2}\ Омега_ {i}\ Омега_ {k}\ sum_ {n} m_ {n}\ лівий (\ дельта_ {i k} x_ {n l} ^ {2} -x_ {n i} x_ {n k}\ праворуч)
\ кінець {масив}

Попередження: Цей перший рядок трохи заплутаний: копіювання Ландау, я написав\(\Omega_{i}^{2} x_{n i}^{2}\), ви можете подумати, що це так\(\Omega_{1}^{2} x_{n 1}^{2}+\Omega_{2}^{2} x_{n 2}^{2}+\Omega_{3}^{2} x_{n 3}^{2}\), але погляд на попереднє рівняння (і другий рядок цього рівняння) дає зрозуміти, що це насправді\(\Omega^{2} r^{2}\). Ландау повинен був написати\(\Omega_{i}^{2} x_{n l}^{2}\). Насправді я навіть не зацікавлений у тому, щоб\(\Omega_{i}^{2}\) мати на увазі подвійне підсумовування. Наприклад, стандартне використання в теорії відносності полягає в тому, що обидва суфікси є явними для підсумовування. У GR можна було б написати\(\Omega_{i} \Omega_{i} . \text { (Well, actually } \Omega_{i} \Omega^{i}\), але це вже інша історія.)

Так чи інакше, рухаючись далі, вводимо тензор інерції

\ begin {рівняння}
I_ {i k} =\ sum_ {n} m_ {n}\ ліворуч (x_ {n l} ^ {2}\ delta_ {i k} -x_ {n i} x_ {n k}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

З точки зору якої кінетична енергія рухомого, що обертається жорсткого тіла

\ begin {рівняння}
T =\ розрив {1} {2} М V^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {i k}\ Омега_ {i}\ Омега_ {k}
\ кінець {рівняння}

Як завжди, Лагранж,\(L=T−V\) де потенційна енергія\(V\) є функцією шести змінних загалом, центру розташування маси та орієнтації тіла щодо центру маси.

Ландау пише тензор інерції явно як:

\ begin {рівняння}
I_ {i k} =\ left [\ begin {масив} {ccc}
\ сума m\ left (y^ {2} +z^ {2}\ праворуч) & -\ сума m x z\ -\ сума m x y &\ сума m\ ліворуч (z^ {2} +x^ {2}\ праворуч) &
-\ сума m x y\\ сума m\ ліворуч (z^ {2} +x^ {2}\ праворуч) &
-\ сума m x y\\ -\ сума m x z & -\ сума m y z &\ сума m\ ліва (x^ {2} +y^ {2}\ праворуч)
\ end {масив}\ право]
\ end {рівняння}

але ви повинні мати на увазі, що\(-\sum m x z \text { means }-\sum_{n} m_{n} x_{n} z_{n}\).