24.4: Загальний рух обертового твердого тіла

Ми будемо слідувати позначенню Ландау (яка сама по собі має тенденцію бути двомовними між координатами\((x, y, z) \text { and } \left.\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) .\right)\). Зверніть увагу, що ми будемо позначити компоненти,\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \text { not }\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)\) хоча ми називаємо вектор\(\vec{r}\). Знову ж таки, ми слідуємо Ландау.

Ми беремо фіксовану, інерційну (або лабораторну) систему координат з маркуванням\((X,Y,Z)\) і в цій системі центр маси твердого тіла, позначений\(O\), знаходиться в\(\vec{R}\). У нас є декартова безліч осей, закріплених в тілі, походження в центрі маси, і координати в цій системі, вектори від\(O\) до точки в тілі\(\vec{r}\) позначаються позначені\((x,y,z)\) або\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\).

Вектор від зовнішнього інерційного фіксованого походження до точки в тілі

\(\vec{R}+\vec{r}=\vec{\rho}\)

скажімо, як показано на малюнку.

Припустимо, тепер\(dt\), коли за нескінченно малий час центр маси тіла рухається\(d \vec{R}\) і тіло обертається наскрізь\(d \vec{\phi}\). Тоді частинка\(\vec{r}\) при вимірюванні від центру маси буде рухатися через

\(d \vec{\rho}=d \vec{R}+d \vec{\phi} \times \vec{r}\)

Отже, швидкість цієї частинки у нерухомому кадрі, записуючи центр масової швидкості та кутову швидкість як

\(d \vec{R} / d t=\vec{V}, \quad d \vec{\phi} / d t=\vec{\Omega}\)

є

\(\vec{v}=\vec{V}+\vec{\Omega} \times \vec{r}\)

Тепер, виводячи вищевказане рівняння, ми не використовували той факт, що походження,\(O\) зафіксоване в тілі, знаходиться в центрі маси. (Це виявляється корисним незабаром.) Що робити, якщо замість цього ми взяли якесь інше походження,\(O^{\prime}\) зафіксоване в організмі? Чи знайшли б ми кутову швидкість\(\overrightarrow{\Omega^{\prime}} \text { about } O^{\prime} \text { to be the same as } \vec{\Omega}\)? Відповідь виявляється так, але нам потрібно це довести! Ось доказ:

Якщо позиція\(O^{\prime} \text { relative to } O \text { is } \vec{a} \text { (a vector fixed in the body and so moving with it) then the velocity } \overrightarrow{V^{\prime}} \text { of } O^{\prime}\) є

\(\overrightarrow{V^{\prime}}=\vec{V}+\vec{\Omega} \times \vec{a}\)

Частка при\(\vec{r} \text { relative to } O \text { is at } \overrightarrow{r^{\prime}}=\vec{r}-\vec{a} \text { relative to } O^{\prime}\)

Його швидкість щодо нерухомих зовнішніх осей дорівнює

\ begin {рівняння}
\ vec {v} =\ переправа стрілка {V^ {\ прайм}} +\ переправа стрілка {\ Омега^ {\ прайм}}\ раз\ переправа стрілка {r^ {\ прайм}}
\ кінець {рівняння}

це, звичайно, має дорівнювати

\ почати {рівняння}
\ vec {V} +\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {r} =\ vec {V} +\ vec {\ Омега}\ раз\ overrightarrow {r^ {\ Prime}} +\ vec {\ Omega}\ times\ vec {V} ^ {\ прайм} +\ vec {\ Омега}\ раз\ overrightarrow {r} {\ прайм}}
\ кінець {рівняння}

Звідси випливає, що\(\overrightarrow{\Omega^{\prime}}=\vec{\Omega}\)

Це означає, що якщо ми опишемо рух будь-якої частинки в тілі з точки зору деякого походження, закріпленого в тілі, плюс обертання навколо цього походження, вектор кутової швидкості, що описує рух тіла, однаковий незалежно від походження, яке ми вибираємо. Так можна без двозначності говорити про кутову швидкість тіла.

Відтепер ми будемо вважати, що походження, зафіксоване в тілі, знаходиться в центрі маси.