Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

24.3: Обертання тіла навколо фіксованої осі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75405

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    В якості попереднього розглянемо тіло, міцно прикріплене до стрижня, закріпленого в просторі, і обертається з кутовою швидкістю\(\Omega\) радіанів/сек. навколо цієї осі. Ви згадаєте з фізики першокурсника, що кутовий імпульс і енергія обертання - це\(L_{z}=I \Omega, \quad E_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I \Omega^{2}\) де

    \ почати {рівняння}
    I=\ сума_ {i} m_ {i} r_ {\ perp i} ^ {2} =\ int д х г г г\ рхо (x, y, z) r_ {\ perp} ^ {2}
    \ кінець {рівняння}

    \(\text { (here } r_{\perp}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \text { is the distance from the axis). }\)

    clipboard_e099e355295e9cb0cb1256bfcda4efc7b.png

    Але ви також знаєте, що і кутова швидкість, і кутовий імпульс є векторами. Очевидно, що для цього прикладу кутова швидкість - це вектор, що вказує уздовж осі обертання,\(\vec{\Omega}=\left(0,0, \Omega_{z}\right)\). Може виникнути спокуса зробити висновок, що кутовий імпульс також вказує вздовж осі, але це не завжди так. Повчальний приклад наводяться двома масами m на кінцях стрижня довжини,\(2\alpha\) утримуваного під фіксованим кутом\(\theta\) до осі z, яка є віссю обертання.

    Очевидно,

    \ begin {рівняння}
    L_ {z} =2 м a^ {2}\ sin ^ {2}\ тета\ cdot\ Омега
    \ кінець {рівняння}

    clipboard_e38a15b75379726c9bcb9c9ae99ff9ee2.png

    Але зверніть увагу, що, припускаючи, що стрижень на мить знаходиться в площині xz, як показано, то

    \ (\ begin {рівняння}
    L_ {x} =-2 м a^ {2}\ cos ^ {2}\ тета\ cdot\ Омега
    \ кінець {рівняння}\)

    Сумарний кутовий імпульс не паралельний загальній кутовій швидкості!

    Насправді, як повинно бути очевидно, загальний кутовий імпульс обертається навколо постійного вектора кутової швидкості, тому вісь повинна забезпечувати крутний момент. Саме тому незбалансовані колеса автомобіля напружують вісь.