Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

24.1: Симетрії, інші осі, теорема паралельної осі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75415

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Якщо тіло має вісь симетрії, центр маси повинен знаходитися на цій осі, і це головна вісь інерції. Щоб довести заяву центру маси, зверніть увагу, що тіло складається з пар рівних масових частинок на протилежних сторонам осі, кожна пара має свій центр маси на осі, а центр маси тіла - це центр маси всіх цих пар центрів маси, всі з яких знаходяться на осі.

    Беручи цю вісь до осі x, симетрія означає, що для кожної частинки в\((x,y,z)\) є одна з однакової маси в\((x,−y,−z)\), так що поза діагоналлю точки в рядку і стовпці x,\(-\sum m x y, \quad-\sum m x z\) всі складають до нуля, тобто це дійсно головна вісь.

    Момент інерції навколо довільної осі через центр мас, в напрямку одиничного вектора\(\widehat{\vec{b}}\) дорівнює

    \ почати {рівняння}
    \ сума м\ ліворуч (\ vec {r} ^ {2} - (\ vec {r}\ cdot\ widhat {b}) ^ {2}\ праворуч) =\ overrightarrow {\ vec {b}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {I}\ widehat {\ vec {b}} =b_ {x}} 2} I_ {x} +b_ {y} ^ {2} I_ {y} +b_ {z} ^ {2} I_ {z}
    \ кінець {рівняння}

    Тензор інерції близько\(O^{\prime}\) деякого походження, розташований у положенні\(a\) відносно центру маси, легко знайти як

    \ begin {рівняння}
    I_ {i k} ^ {\ прайм} =I_ {i k} +М\ лівий (\ mathbf {a} ^ {2}\ delta_ {i k} -\ mathbf {a} _ {k}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    Зокрема, ми маємо теорему паралельної осі: момент інерції навколо будь-якої осі через якусь точку\(O^{\prime}\) дорівнює тому, що близько паралельної осі через центр мас O плюс\(M a_{\perp}^{2}, \text { where } a_{\perp}\) - перпендикулярна відстань між осями.

    Вправа: перевірте це!