23.3: Експоненти Ляпунова і розміри дивних атракторів

Масштабування атрактора

Дивлячись на дивний атрактор, зображений у попередньому розділі, ми виявили, що на збільшенні невеликої його частини ми побачили таку ж структуру, яку має атрактор в цілому: якщо ми подивимось на\(\gamma = 1.5\) атрактор, з демпфуванням 0,75, є довгі тонкі розтяжки, вони закінчуються зациклюванням. Ми помічаємо, що зменшення демпфування вдвічі до 0.375 відгодовує раніше квазіодновимірні розтяжки та виявляє складну петлю на декількох рівнях. (Пам'ятайте, що те, що ми дивимося тут, - це розділ Пуанкаре атрактора, інший вимір - періодичний час (або фаза водія, те саме), тому крива тут є ділянкою якогось аркуша). Якщо використовується більша обчислювальна потужність, переходячи в менші і менші масштаби, то виходить, що збільшена крихітна частина атрактора виглядає приблизно так само, як і атрактор. Цей вид інваріантності шкали є характеристикою фракталу. Загадковим аспектом фракталів є їх розмірність. Подивіться на дивний атрактор. Немає місць, де він міцно заповнює ділянку двовимірного простору, це зрозуміліше переходити до більшого та більшого збільшення: ми бачимо все більше і більше одновимірних структур, без кінця, тому він, безумовно, має розмір менше двох, але більший за один - як ми це маємо сенс?

Фрактали: набір Кантора

Щоб спробувати знайти узагальнене поняття розмірності множини (тобто не просто цілого числа), почнемо з, мабуть, найпростішого прикладу фракталу, множини Кантора: візьмемо числа від 0 до 1 і вирізаємо середню третину. Тепер у вас є дві смужки чисел, від 0 до 1/3, і від 2/3 до 1. Для кожної з цих смужок виріжте середню третину. Тепер у вас є чотири смужки - виріжте середню третину кожної з них (це може допомогти намалювати це). Робіть це назавжди. Що залишилося, так це набір Кантора. Ви можете бачити, що це масштаб інваріантний: зробивши це багато разів, візьміть одну з решти крихітних смужок, що відбувається з нею при продовженні процесу ідентично (відповідно зменшено) тому, що сталося з початковою смужкою.

Наскільки великий цей набір Кантора? На кожному кроці відрізаємо загальну довжину включеної волосіні на 2/3. Оскільки\((2/3)^n\) йде до нуля, як\(n\) йде до нескінченності, він явно має нульовий розмір, чи не так? Але очевидно, що в наборі Кантора є більше, ніж є в одній точці, або для цього має значення кінцева кількість точок. А як щодо незліченно нескінченної кількості точок - наприклад, раціональних чисел від 0 до 1? Ну і виписати їх можна в список, упорядкований по збільшенню знаменників, а для одного знаменника збільшуючи чисельники. Потім ви можете помістити їх по черзі в крихітні інтервали, 1/2 йде в інтервал довжини\(\varepsilon\), 1/3 в інтервалі\(\varepsilon /2\), 2/3 в одній довжини\(\varepsilon /2^2\), 1/4 дюйма\(\varepsilon /2^3\), і так далі, загальна довжина нескінченного числа інтервалів буття\(2\varepsilon \), так що всі раціональні можуть бути охоплені довільно малий набір інтервалів. Чи можемо ми порахувати в порядку числа в Канторі, встановлених таким же чином? Відповідь - ні, і зрозуміти, чому спочатку думати про всі цифри від 0 до 1, раціональні та ірраціональні. Якщо ви зробите нескінченний список з них, я можу показати вам пропустив деякі: я просто беру ваш список і запишіть десяткове число, яке відрізняється від вашого\(n^{th}\) числа в\(n^{th}\) місці. Таким чином, ми не можемо поставити всі числа в інтервалі в маленьких коробках, які додають до нуля, що очевидно в будь-якому випадку!

Але тепер до набору Кантора: припустимо, ми запишемо всі числа між 0 і 1, використовуючи базу 3, замість традиційної бази 10. Тобто кожне число є рядком 0, 1 і 2. Тоді набір Кантора - це всі ті числа, які не мають жодних 1, наприклад 0.2, 0.02202 тощо (Перевірте це самостійно.) Але кількість цих чисел точно таке ж, як і всі числа від 0 до 1 в двійковій системі числення! Так напевно набір Кантора має вимір 1? (Ці нескінченності складні.)

Суть з наведеного вище аргументу полягає в тому, що ми можемо правдоподібно стверджувати, що набір Кантора має розмір 0, і що він має вимір 1. Щоб краще зрозуміти і класифікувати фрактали, нам потрібно робоче визначення розмірності для фракталів. Одним з підходів є вимір ємності.

Розміри: Ємність і кореляція

Припустимо, ми покриваємо інтервал 0,1 набором маленьких коробок, довжини\(\varepsilon \), там явно\(N(\varepsilon )=1/\varepsilon\) такі коробки (припустимо, що це ціле число). Тепер розглянемо підмножину чисел від 0 до 1, виберіть і знайдіть\(\varepsilon \), скільки\(N(\varepsilon )\) ящиків потрібно для покриття цієї підмножини. Розмір ємності визначається як

\[d_C= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log N(\varepsilon )}{\log (1/\varepsilon )}.\]

Для простоти ми вибираємо\(1/\varepsilon =3,9,27,...\) так, щоб необхідні номери ящиків для покриття набору Кантора, описаного в попередньому розділі,\(2, 4, 8...\) були поза загальною кількістю коробок\(3, 9, 27, ... \). Тому

\[d_C (\text{Cantor})= \frac{n \log 2}{n \log 3} = \frac{\log 2}{\log 3},\]

звичайно між 0 і 1. (Існує багато способів визначити розмірність множин чисел - це визначення дає нуль для скінченної множини точок, і один для всіх чисел між 0 і 1, але також 1 для набору раціональних, які ми показали вище, можуть бути покриті нескінченним набором інтервалів довільно малої загальної довжина.)

Інша використовувана міра - це кореляційна вимірність, в якій для великої кількості точок (наприклад, нашого представлення атрактора) кореляційний інтеграл\(C(r)\) визначається як загальна кількість пар двох точок менше, ніж\(r\) один від одного. Для малого\(r\) це йде як сила\(r^{\nu}\), і виявляється, що в багатьох випадках\(\nu\) близька до визначення ємності фрактальної розмірності. (Грассбергер і Прокачча.)

Час розвитку систем у фазовому просторі

Нагадаємо, спочатку, що простір стану або фазовий простір, який ми будували, насправді є проекцією повного орбітального простору на два виміри, третій вимір, необхідний для прогнозування майбутнього руху, є фазою рушійної сили синусоїди, тому це лише час (хоча, звичайно, циклічний).

Припустимо, що тепер ми заповнимо цей тривимірний простір багатьма точками, як газ, кожна з яких представляє керований затухаючий маятник. З плином часу газ буде текти, шлях кожного атома газу повністю визначений, і жоден двоє ніколи не опиниться в одній точці в цьому повному просторі (за винятком, можливо, асимптотично в нескінченний час).

Візьміть тепер невеликий обсяг, скажімо куб зі сторонами, паралельними осям, що містить багато точок. Розглянемо спочатку недемпфіровану систему: потім Теорема Ліувіля (посилання на мою лекцію) говорить нам, що з плином часу куб взагалі буде спотворюватися, але він не зміниться в обсязі. Іншими словами, газ систем тече як нестислива рідина. (Деталі виведення наведені в пов'язаній лекції—коротко, рухи сторін у часі\(\Delta t\) походять від рівнянь руху тощо)

Однак, якщо система має демпфування - як це робить наш - той же аналіз призводить до висновку, що обсяг, який системи займають у фазовому просторі (пам'ятайте, це зараз тривимірно) скорочується зі швидкістю, визначеною демпфуванням. Як тривіальний приклад, подумайте про некеровану демпфіровану маятник - всі вони будуть схильні до нижньої точки спокою. Злегка ведена пендула перейде в одновимірний цикл.

Довести цю усадку можна з рівняння руху:

\[\ddot{\phi}+2\beta \dot{\phi}+\omega^2_0 \sin\phi =\gamma \omega^2_0 \cos\omega t.\]

У тривимірному фазовому просторі положення маятника можна записати в координатах\(\psi =\omega t\),\((\phi ,\dot{\phi},\psi )\) де, рухаюча фаза, між 0 і\(2\pi \).

Локальну швидкість фазового простору\(\overrightarrow{F}\) можна записати через координати (це якраз вищевказане рівняння переписано!) :

\[\begin{align}& \frac{\partial \phi}{ \partial t} =\dot{\phi}, \\ &\frac{\partial \dot{\phi}}{\partial t}=−2\beta \dot{\phi}−\omega^2_0 \sin\phi +\gamma \omega^2_0 \cos\psi , \\ &\frac{\partial \psi}{ \partial t} = \omega , \end{align}\]

Таким чином, це локальна швидкість атомів газу (мається на увазі системи), і це банально перевірити

\[\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{F}=−2\beta .\]

Це означає, що якщо у нас є невелика сфера, що містить багато точок, відповідних системам («газ» систем), то обсяг (тепер спотворює) сфери, що охоплює ці точки, зменшується в обсязі з експоненціальною швидкістю\(V(t)=V_0e^{−2\beta t}\).

Відносимо цю картину до експонентів Ляпунова

Продовжуючи думати про розвиток невеликої сфери (що містить багато точок, відповідних системам) в фазовому просторі, вона буде рухатися по орбіті, але в той же час спотворювати, скажімо, до еліпсоїда як початкового першого наближення, і перекидатися навколо. У хаотичному режимі ми знаємо, що він повинен зростати в якомусь напрямку, принаймні в середньому (темпи будуть змінюватися по орбіті), тому що ми знаємо, що точки спочатку близько один до одного розділяються в середньому з експоненціальною швидкістю, заданою першим показником Ляпунова,\(\propto e^{\lambda_1t}\). Ми зробимо спрощення припущення, що еліпсоїд має свої осі спочатку змінюються в часі\((e^{\lambda_1t},e^{\lambda_2t},e^{\lambda_3t})\), як, с\(\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3\). З наведеного вище результату робимо висновок\(\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{F}=−2\beta\), що

\[\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=−2\beta .\]

Треба сказати щось більше про\(\lambda_1\). Ми приймаємо це як визначено швидкістю зростання відстані між траєкторіями після будь-яких початкових перехідних процесів, але до того, як відстань порівнянна з розміром системи (знаходження цього інтервалу правдоподібно називалося «темним мистецтвом»). Ми уявляємо, що наша спочатку невелика сфера газу подовжується і перекидається навколо, коли вона рухається вздовж. Сподіваюся, його швидкість подовження добре корелює з тим, що ми насправді вимірюємо, тобто швидкість зростання чистого\(\phi\) зміщення, координатний поділ двох спочатку близьких орбіт, які ми будуємо і приблизно підходять з експоненціальною,\(\propto e^{\lambda_1t}\).

Для маятника\(\psi\) напрямок - це просто час, а не масштабоване, так\(\lambda_3=\lambda_\psi =0\). Потім обов'язково\(\lambda_2<0\) задовольнити рівняння демпфування.

Таким чином, приймаючи локальну (у фазовому просторі) колекцію систем, що знаходяться всередині заданої замкнутої поверхні, як маленька сфера, і після їх еволюції в часі в хаотичному режимі, сфера буде розширюватися в одному напрямку; напрямок, однак, що змінюється з часом, але стискається або залишається постійний в інших напрямках. З ростом поверхні це ускладнюється, оскільки вона обмежена кінцевим загальним фазовим простором. І він продовжує розширюватися з тією ж швидкістю, що і час, тому постійне збільшення поверхні повинно означати більш жорсткі і жорсткі складки, щоб залишатися в фазовому просторі. І ось так виглядає дивний атрактор.

A Фрактальна гіпотеза

У 1979 році Каплан і Йорк припустили, що розмірність дивного атрактора випливає з тих, хто брав участь в його створенні експонентів Ляпунова. У нашому випадку - керований демпфірований маятник—є лише два відповідні показники\(\lambda_1>0\),\(\lambda_2<0\) і\(\lambda_1+\lambda_2=−2\beta \).

Аргумент правдоподібності наведено в книзі Бейкера і Голлуба «Хаотична динаміка». Вони визначають Ляпунова\(dL\) розмірність атрактора по

\[dL= \lim_{\varepsilon \to 0} \left[\frac{d(\log N(\varepsilon ))}{d(\log (1/\varepsilon ))}\right],\]

точно аналогічно визначенню розмірності ємності в попередньому розділі.

Тепер, з плином часу, невеликий квадратний елемент матиме свою площу, помножену на коефіцієнт\(e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}\). (Масштабування не відбувається в третьому (часовому) напрямку.) При цьому вони стверджують, що одиниця довжини\(\varepsilon\) змінюється як\(e^{\lambda_2t}\). Потім\(N(\varepsilon )\) - площа,\(\varepsilon^2_0e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}\) розділена на скорочується основну площу\(\varepsilon^2_0e^{2\lambda_2t}\). Диференціал\(\log N(\varepsilon )\) є\(\lambda_1−\lambda_2\), що з\(\log(1/\varepsilon )\) є\(−\lambda_2\), тому їх аргумент дає

\[dL=1−\frac{\lambda_1}{\lambda_2}.\]

Аплет Ляпунова призначений для вимірювання\(\lambda_1\) шляхом відстеження поділу спочатку близьких траєкторій. Спробуйте кілька разів: стає зрозуміло, що в такому підході існує значна невизначеність. З огляду на\(\lambda_1\),\(\lambda_2\) випливає з\(\lambda_1 + \lambda_2 = −2\beta \). Існують різні способи призначити розмір атрактору, наприклад, розміри ємності та кореляції, згадані вище. Були зроблені різні спроби перевірити цей зв'язок, але невизначеність є значною, і хоча результати, здається, знаходяться в правильному ballpark, результати вимкнені на десять або двадцять відсотків зазвичай. Здається, над цією захоплюючою проблемою ще належить зробити роботу.

Рекомендуємо прочитати: глава 5 Бейкера і Голлуба, Хаотична динаміка. Коротка дискусія вище ґрунтується на їх викладі.